极限概念最新课件

1、2 2.1.1.1 1 极限思想极限思想2 2.1.1.2 2 数列的极限数列的极限2 2.1.3.1.3 函数的极限函数的极限极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽2.1.12.1.1 极限思想极限思想极限概念PPT课件 (2)R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS1.1.数列数列无穷多个按一定规则排列的一串数无穷多个按一定规则排列的一串数，

2、 ，1x2x3xnx称作数列，简记作称作数列，简记作 nx2.1.22.1.2 数列的极限数列的极限 其中每一个数称为数列的项，第其中每一个数称为数列的项，第n n项项x xn n为数列的一般项或通项。例如：为数列的一般项或通项。例如：1213141n1， ， ，(1)(1)2132431nn， ，(2)(2)(3)(3)221421nn2) 1(1， ， ，32121(4)(4)1) 1(n， ，1111， ，1234nn) 1(5)(5)213141(6)(6)10， ， ， ， ， ， ， ， ， ，000nn1) 1(3213323433n14，(7)(7)在几何上一个数列可看成实数轴

3、上的一个点列，在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点也可看成实数轴上的一个动点.1x2x3x4xnx注意：注意：2. 数列可看成是以自然数为自变量的函数：数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn = f ( n ) .极限概念PPT课件 (2).)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放极限概念PPT课件 (2)问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无

4、限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:定义定义1 1. .8 8对于数列对于数列 ，如果当无限，如果当无限变大时，趋于一个常数变大时，趋于一个常数, , 则称当趋于无则称当趋于无穷大时，数列以为极限，记作穷大时，数列以为极限，记作nxnn nx nxAA nx nx nx亦称数列亦称数列收敛于收敛于；如果数列没有极；如果数列没有极限，就称是限，就称是发散的发散的Axnnlim)(nAxn或或 ，11012例如()lim,limnnnnnn 观察下面数列的变化趋势，哪些数列收敛？观

5、察下面数列的变化趋势，哪些数列收敛？哪些数列发散？如果收敛，写出它们的极限哪些数列发散？如果收敛，写出它们的极限11312233( )( )( )= = =nnnnnxxnx103nnnnx limlim203limlimnnnnx10nnnxn limlim练习一练习一 1415261( )( )( )nnnnxxnx = = = - 11nnnxlimlim 2n 发散 11n 发散2.1.3 2.1.3 函数的极限函数的极限数列极限是一般函数极限的特殊情况数列极限是一般函数极限的特殊情况. .数列是数列是定义在自然数集上的一个函数，其自变量是离散的，定义在自然数集上的一个函数，其自变量是

6、离散的，而不是连续的而不是连续的. .其自变量的变化过程只有一种，其自变量的变化过程只有一种，即趋于无穷大，记作即趋于无穷大，记作但是，考察一般函数的极限时，自变量的变化但是，考察一般函数的极限时，自变量的变化过程可以是连续的，并出现了多种可能性过程可以是连续的，并出现了多种可能性. .例如：例如：nnn x (1)(1)当自变量绝对值无限增大，即沿轴的当自变量绝对值无限增大，即沿轴的正向和负向同时远离原点时，记作正向和负向同时远离原点时，记作xx极限概念PPT课件 (2)(2)(2)当自变量无限增大当自变量无限增大( (或无限减小或无限减小) )时，记作时，记作xx (或或 )x (3)(3

7、)当自变量从的两侧趋向于时，记作当自变量从的两侧趋向于时，记作x0 x0 x0 xx(4)(4)当自变量从的左侧当自变量从的左侧( ( 的右侧的右侧) )趋向于时，趋向于时，记作记作x0 x0 x0 x0 xx(或或 )0 xx极限概念PPT课件 (2)x1234yx x、y y的变化趋势：的变化趋势：x: xx: x趋向正无穷大（趋向正无穷大（x+x+）y: yy: y无限接近于常数无限接近于常数0 (0 (y0)y0)2141811611.1.时函数的极限时函数的极限x例例1 1. .已知函数已知函数 ，请填下表并指出，请填下表并指出的变化趋势的变化趋势12( )( )xyf x x y,

8、再看函数再看函数 图象图象1( )2xf x即对函数即对函数 , ,当当 时时, ,1( )2xf xx 0y 定义定义1 1. .99如果当且无限增大时，如果当且无限增大时，函数趋于一个常数，则称当时函数趋于一个常数，则称当时函数以为极限记函数以为极限记0 xxA)(xf)(xfAAxfx)(lim)()(xAxf或或由例由例1 1知，对于函数，有知，对于函数，有12xf x ( )( )102xx lim( )例例2 2. .已知函数已知函数 ，试由函数的，试由函数的图像判断趋向负无穷大时函数的变化趋势。图像判断趋向负无穷大时函数的变化趋势。10( )()yf xxxxy 由图可见，对函数

9、由图可见，对函数 ， 当当 时时, ,1( )(0)f xxxx 0y 定义定义1 1. .99如果当且的绝对值如果当且的绝对值无限增大时，函数趋于一个常数无限增大时，函数趋于一个常数 ，则，则称函数当时以为极限记作称函数当时以为极限记作0 xx)(xfA)(xfxAAxfx)(lim)()(xAxf或或由例由例2 2知，对于函数知，对于函数 ，有，有10f xxx( )()10 xx lim例例3 3. .已知函数，判断当和已知函数，判断当和时，函数的极限。时，函数的极限。1f xx ( )x x 解解作的图象作的图象1x1100 xxxx limlim,和可以写成和可以写成xxx 例例3

10、3结论又可写成结论又可写成10 xx lim定义定义1 1. .9 9如果当的绝对值无限增大时，如果当的绝对值无限增大时，函数趋于一个常数，则称当时函函数趋于一个常数，则称当时函数以为极限记数以为极限记x)(xf)(xfxAAAxfx)(lim)()(xAxf或或例例4 4求求xx3lim解解当时，即当时，即 x03 x03limxx极限概念PPT课件 (2)例例5 5求求)11 (lim2xx解解函数的图象如图所示当函数的图象如图所示当时，无限变小，函数值趋于时，无限变小，函数值趋于1 1；时，；时，函数值同样趋于函数值同样趋于1 1，所以有，所以有 x21xx1)11 (lim2xxxxx

11、f xAf xf xA limlimlim( )( )( )例例6 6. .已知函数，讨论当已知函数，讨论当是否有极限，为什么？是否有极限，为什么？yx arctanx yx arctan如图如图xxxx lim arctanlim arctan因为由图可知：时，由图可知：时，时，时，2x arctanx x 2x arctanxx limarctan记以不存在例例7 7. .已知函数，讨论当已知函数，讨论当是否有极限，为什么？是否有极限，为什么？yx sinx yx sin如图如图xxxx lim sinlim sin因为和均不存在 时，某一固定的常数时，某一固定的常数A A时，某一固定的常

12、数时，某一固定的常数A Ax sinx x x sinxx limsin记以不存在由图可知：由图可知：2112101324xxxxxxxx( )lim( ) lim( ) lim( )limcos0 0 0 不存在观察下列极限是否存在，如存在请写出极限观察下列极限是否存在，如存在请写出极限练习二练习二定义定义1 1. .1010设函数在点的某个设函数在点的某个邻域邻域( (点本身可以除外点本身可以除外) )内有定义，如果当内有定义，如果当趋于趋于( (但但) )时，函数趋于一个常数时，函数趋于一个常数，则称当趋于时，以为极记作，则称当趋于时，以为极记作或，亦称当或，亦称当时，的极限存在否则称当

13、时，的极限存在否则称当时，的极限不存在时，的极限不存在)(xfy 0 xx0 x0 x0 xx )(xfAx0 x)(xfAAxfxx)(lim0)()(0 xxAxf)(xf0 xx 0 xx )(xf2. 2. 时函数的极限时函数的极限0 xx 注意注意: : () 定义中定义中 表示表示 从小于从小于 和大于和大于 的两个方向趋近于的两个方向趋近于 （）定义中考虑的是（）定义中考虑的是 时函数时函数 的的 变化趋势变化趋势,并不考虑在并不考虑在 处处 的情的情 况况 0“”xxx0 x0 x0 x0 xx( )f x0 x( )f x例例8 8 根据极限定义说明：根据极限定义说明：ccx

14、xlim0(2) (2) 0lim0 xxxx(1) (1) ，解解(1)(1)当自变量趋于时，作为函数当自变量趋于时，作为函数的也趋于，于是依照定义有的也趋于，于是依照定义有0 xxx0 x0lim0 xxxx(2)(2)无论自变量取任何值，无论自变量取任何值， 函数都取函数都取相同的值，那么它当然趋于常数，所以相同的值，那么它当然趋于常数，所以ccccxxlim0极限概念PPT课件 (2)例例9 9 考察函数考察函数 ，写出当，写出当 时函数时函数的极限的极限, ,并作图验证并作图验证. . 2x解：解： 22limxx22 4 oxy2xy 2yx极限概念PPT课件 (2)例例1010

15、利用图像考察和利用图像考察和 的值的值 解解 0limsinxx0limcosxx0limsin0 xx作的图像作的图像sinx极限概念PPT课件 (2)0limcos1x作的图像作的图像cosx极限概念PPT课件 (2)24( ),2xf xx设设函函数数解解2,2,( )2xxf xx因因为为且且约约分分得得例例11 11 求极限求极限 ，并作图观察，并作图观察 224lim2xxx2224limlim(2)42xxxxx所所以以有有224( )2xf xx4(2,4)极限概念PPT课件 (2)练习三：练习三： 求下列极限求下列极限 022103223(1)limtan(2)lim2(3)

16、limln(4)lim2(5)lim(2)9(6)lim3xxxxxxxxxxxxx336lim()xx 0 8 0 1 6 定义定义1 1. .1111设函数在点右侧设函数在点右侧的某个邻域的某个邻域( (点本身可以除外点本身可以除外) )内有定义，内有定义，如果当趋于时，函数趋于一如果当趋于时，函数趋于一个常数，则称当趋于时，的右极个常数，则称当趋于时，的右极限是记作限是记作)(xfy 0 x0 x0 xx 0 x)(xfAx0 x)(xfA3.3.左极限与右极限左极限与右极限Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf或或设函数在点设函数在点 左侧的某个邻域左侧的某个邻域( (点本身可以

17、除外点本身可以除外) )内有定义，如果当内有定义，如果当趋于时，函数趋于时，函数 趋于一个常数，则称趋于一个常数，则称当趋于时，的左极限是记作当趋于时，的左极限是记作)(xfy 0 x0 x0 xx 0 x)(xfAx0 x)(xfA或或 Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf定理定理1 1. .1 1当时，以为极限当时，以为极限的充分必要条件是在点处左、的充分必要条件是在点处左、 右极右极限存在且都等于即限存在且都等于即0 xx )(xfA)(xf0 xA，例例1212 设设 1,31, 2)(xxxxxf)(lim1xfx试判断试判断 是否存在是否存在AxfxfAxfxxxxxx)(

18、lim)(lim)(lim000 33lim)(lim11xxfxx，3)2(lim)(lim11xxfxx，)(lim1xfx3)(lim1xfx左、右极限各自存在且相等，所以左、右极限各自存在且相等，所以存在，且存在，且 解解先分别求先分别求当当时的左、右极限：时的左、右极限：)(xf1x解解当当 时，时， ， ， 即；当时，故即；当时，故，即，即 左极限存在，而右极左极限存在，而右极限不存在限不存在, ,由充分必要条件可知由充分必要条件可知 不存在不存在 0 xx1xx10elim 0 xx1x1e0e1x0elim10 xxxx1elim0例例1212 判断判断 是否存在是否存在xx1

19、elim0极限概念PPT课件 (2)解解 -1-2112200(2)lim( )lim()0 xxf xx00lim( )lim0 xxf xx00lim( )lim( )0 xxf xf x因为0lim( )0 xf x所以例例1313 讨论函数讨论函数 当当 和和 时的极限时的极限,0( ),0 x xf xx x0 x 3x 33(1)3,2(3)lim( )lim3xxxxxf xx当时 可以认为在 附近极限概念PPT课件 (2)例例1414 解解讨论函数讨论函数 当当 时的极限是否存在时的极限是否存在1,0( )1,0 xxf xx0 x 00lim( )lim(1)1xxf xx0

20、0lim( )lim( 1)1xxf x 00lim( )lim( )xxf xf x因为0lim( )xf x所以不存在极限概念PPT课件 (2)练习四练习四 求下列函数当求下列函数当 时的左、右极限，时的左、右极限，并指出当并指出当 时极限是否存在时极限是否存在 0 x22,01( ),0 xf xxx、00lim( )0,lim( )2xxf xf x0 x00lim( )lim( )xxf xf x因为0lim( )xf x所以不存在极限概念PPT课件 (2)2( )xf xx、1,0( )1,0 xxf xxx00lim( )1,lim( )1xxf xf x 00lim( )lim

21、( )xxf xf x因为0lim( )xf x所以不存在极限概念PPT课件 (2)3,03( )30 xf xxx、，0lim( )3xf x00lim( )lim(3)3xxf xx00lim( )lim( )3xxf xf x因为0lim( )3()xf x所以极限存在极限概念PPT课件 (2)4.4.设函数设函数，作出函数，作出函数的图形。试问的图形。试问以及以及是否存在？是否存在？11，lim( ) lim( )xxf xf x 31321当时 当时,( ),xxf xxx 1lim( )xf x极限概念PPT课件 (2)1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割

22、之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少

23、，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件 (2)“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入极限概念PPT课件