极限运算法则[1]

1、极限运算法则最新1极限运算法则极限运算法则求极限方法举例求极限方法举例小结小结 思考题思考题 作业作业1.5 极限运算法则极限运算法则第一章第一章 函数与极限函数与极限极限运算法则最新2定理定理1则则设设,)(lim,)(limBxgAxf 证证,)(limAxf ,)( Axf(1);)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf .0,)()(lim)3( BBAxgxf其中其中泛指任一种极限泛指任一种极限)(limxf.)( Bxg. 0, 0 其中其中无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系.)(limBxg 一、极限运算法则一、极限运算法则极限运算法则极限运

2、算法则极限运算法则最新3即常数因子可以提到极限符号外面即常数因子可以提到极限符号外面. nxf)(lim 0由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得 )()(xgxf)(lim)(limxfCxCf (2).是正整数是正整数nnxf)(limBA )(lim)(limxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf 的特例是的特例是 BA BA )()(limxgxf极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新4定理定理2 2,limAxnn 那末那末 )(lim)1(nnnyx,nnyx 和和设有数列设有数列,limBynn 如果如果 nnnyxlim)2( ,0, 2 , 10)3(时时且且当当 B

3、nyn nnnyxlim极限运算法则极限运算法则;BA ;BA .BA极限运算法则最新5 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要注意条件: 参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限它们的极限都都商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0. 不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为 不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.存在存在,极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新6解解)35(lim22 xxx3lim5limlim2222 xxxxx3limlim5)lim(2222 xxxxx32522 , 03 . 4 3422

4、3 例例3542lim232 xxxx求求4limlim2232 xxx)35(lim22 xxx 3542lim232xxxx二、求极限方法举例二、求极限方法举例极限运算法则最新7 小小 结结,)()1(110nnnaxaxaxf 设设nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf ,0)(,)()()()2(0 xQxQxPxf且且设设)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 则有则有则有则有极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新8解解)32(lim21

5、xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,例例3214lim21 xxxx求求3214lim21 xxxx. 得得极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新9解解例例332lim23 xxxx求求,3时时x)3()1)(3(lim3 xxxx)1(lim3 xx)00(型型 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限.332lim23 xxxx 方方 法法, 3 x4 分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子极限运算法则极限

6、运算法则极限运算法则最新10例例53123lim32 xxxxx求求解解,时时 x)(型型 3x. 010 无穷小因子析出法无穷小因子析出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大. 方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.3232531123limxxxxxx 53123lim32 xxxxx先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出以分出再求极限再求极限. x求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新11), 0, 0(00为非负

7、整数为非负整数nmba nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim 小小 结结 mn 00bamn 0mn 例例)sin3cos2(32352lim53xxxxxxx 求求解解32352lim53 xxxxx|sin3cos2|xx )sin3cos2(32352lim53xxxxxxx06 , 0 极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新12例例 )12)(12(1531311limnnn求求解解21 先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式= 121121513131121limnnn 1

8、21121limnn不能用运算法则不能用运算法则. 方方 法法极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新13例例)13(lim22 xxxx求求解解)(型型 1313lim22 xxxxx原式原式2113113limxxxx 23 “根式转移根式转移”法法化为化为 型型 不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则. 分子有理化分子有理化)(型型 极限运算法则最新14 解解 当当x x时时 分子及分母的极限都不存在分子及分母的极限都不存在 故关故关于商的极限的运算法则不能应用于商的极限的运算法则不能应用 例例 例例 8 求xxxsin

9、lim 所以 0sinlimxxx 因为xxxxsin1sin 是 是无穷小与有界函数的乘积是无穷小与有界函数的乘积 oyxxxysin极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新15 1211lim)1(21xxx求求解解 原式原式=121lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx21 503020)12()23()32(lim)2( xxxx求求解解原式原式=3023 极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新16 求极限求极限例例 1 求) 12(lim 1xx 例例 解解 解解 ) 35(lim) 1(lim351lim223223 2xxxxxxxxx3731021223例例 2

10、求351lim23 2xxxx 例例 解解 ) 35(lim) 1(lim351lim223223 2xxxxxxxxx 3731021223 11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx11121lim21lim2lim) 12(lim 1 1 1 1xxxxxxx 极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新17 解解 例例 例例 3 求93lim2 3xxx 解解 31lim) 3)(3(3lim9

11、3lim 3 32 3xxxxxxxxx61) 3(lim1lim 3 3xxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3xxxxxxxxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3xxxxxxxxx 61) 3(lim1lim 3 3xxx 解解 例例 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 031241513245lim22 1xxxx4532lim2 1xxxx 根据无穷大与无穷小的关系得根据无穷大与无穷小的关系得 031241513245lim22 1xxxx 因为因为极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新18先用先用x x3 3去除分子及分母去除

12、分子及分母 然后取极限然后取极限 解解 先用先用x x3 3去除分子及分母去除分子及分母 然后取极限然后取极限 例例 例例 5 求357243lim2323xxxxx 解解: : 73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx 例例 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx0

13、20512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx 极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新19例例7 求12352lim223xxxxx 例例 解解 解解 因为052123lim232xxxxx 所以 12352lim223xxxxx 所以所以极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新20 x x = 3 = 3 时分母为时分母为 0 !0 !31lim3xxx934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231934lim223xxxx 解解 极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新21极限运算法则极限运算法则定理定理4 (复合函数的极限运算法

14、则复合函数的极限运算法则)设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 则则)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.A 注注定理中定理中, )(lim0 xgxx0u把把 或或 )(limxg x 而把而把.)(limAuf 0uu u)(xgfy )(ufy )(xgu 极限运算法则最新22例例, 0 a设设求极限求极限: :axax lim3解解ax 3可看作可看作与与axu 复合而成复合而成. .,时时当当ax , 0uuuf )(3并且并且 uu0lim3, 0因而因而 axaxlim3 uu0lim3. 0极限运

15、算法则最新23例例解解,)1(61xu 令令, 1u11lim231 uuu原式原式=11lim21 uuuu23 这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法., 0 x则则极限运算法则极限运算法则故故1111lim0 xxx求求3极限运算法则最新24思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？)(xf)(xg)()(xgxf 极限运算法则极限运算法则解答解答没有极限没有极限假设假设)()(xgxf 由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )(xg必有极限，必有极限

16、，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误)()(xgxf )(xf 有极限，有极限，为什么？为什么？(1)极限运算法则最新25试确定常数试确定常数解解 令令,1xt 则则01 a, a使使即即1 a极限运算法则极限运算法则(2) tatt 3011lim03tatt 1lim30301lim30 att30)1(lim33 xaxx极限运算法则最新26思考及练习?321lim2222nnnnnn解解: : 原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.2.极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新27求. )1(lim2xxxx解法解法 1 1 原式原式 = =xxxx1

17、lim21111lim2xx21解法解法 2 2 令令,1xt tttt1111lim2021则则原式原式 = =22011limttt111lim20tt0t极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新28求.4532lim21xxxx解解: : x x = 1 = 1 时，时，3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0= 0，分子，分子00， 但因但因极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新29求.125934lim22xxxxx解解: : x时时, ,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54分母分母

18、“ “ 抓大头抓大头”原式原式极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新30 求解解: : 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 = =uu61lim6166极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新31求解解: : 方法方法 1 1.11lim1xxx,xu 则则, 1lim1ux令令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 2 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新32例 9 求39lim23xxx 解392xxy是由uy与392xxu复合而成的 解 因为639lim23xxx 所以6lim39lim623uxxux6lim39lim623uxxux 639lim23xxx 所以6lim39lim623uxxux极限运算法则极限运算法则极限运算法则最新33 两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的