2014南京清江花苑严老师第5讲指数与指数函数(教案)

1、指数与指数函数教学目标：掌握指数运算（高考要求A）及指数函数的有关概念（高考要求B）.教学重难点：熟悉指数运算，掌握指数函数图像性质及其应用。教学过程：一.知识要点：1指数运算 (1) 根式的定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根（， 当为奇数时，次方根记作；当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。（2）根式性质：；当为奇数时，；当为偶数时，。（3）幂运算法则：N*) ； n个Q，4）、N* 且。（4）幂运算性质： 、Q）；、 Q）； Q）。（注）上述性质对r、R均适用。2.指数函数：(1) 指数函数定义：函数称指数函数，函数的定义域为R；函

2、数的值域为2 / 21；(2)函数图像及性质：指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；当时函数为减函数，当时函数为增函数。指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；对于相同的，函数的图象关于轴对称。函数值的变化特征： 二.基础练习：1.已知a，则化简的结果是 2.算下列各式（式中字母都是正数）： ； （2） ； （3） 解：原式=2×(-6)÷(-3)；（2）原式=；（3）3.已知x+x-1=3,求下列各式的值：解： 原式4.比较大小：（1）.的大小顺序为 （2）.a0,则 ()a，0.2a，2a的大小顺序为(0.2)a

3、()a2a（3）.已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有 5.设函数，则方程的解为 0，2， 6.当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 |a| 三.例题精讲：题型1：指数运算例1（1）已知a=,b=9.求： 的值（2）已知：，求的值.解 （1）=.÷a·= =a.a=，原式=3.（2）由，又1<a<b，从而得，原式= =.例 2已知：，求证：.证明：由已知得，÷，得，即题型2：指数函数例3. （2009北京理）若函数 则不等式的解集为. （1）由. （

4、2）由. 不等式的解集为，应填.例4. 若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是. 例5.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3; （2）g(x)=-(.解 （1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令u=x

5、（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函数f(x)的值域是1，+）.u=,当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由g(x)=-(函数的定义域为R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9. 由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是减函数，要求g(

6、x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.例6.设a0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.解 （ 1） f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x），（a-=0对一切x均成立，a-=0，而a0,a=1. （2）证明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= +-= (

7、 x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数. 题型3：综合应用例7.要使函数y=1+2x+4xa在x（-，1上y0恒成立，求a的取值范围.解 由题意得1+2x+4xa0在x（-,1上恒成立，即a-在x（-，1上恒成立.又-=-(x(.令t=(则f(t)在,+）上为减函数，f(t)f(=-(即f(t). af(t),a（-，+）.例8.已知函数f(x)=(（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的奇偶性；（3）证明：f(x)0.解（1） 由2x-10x0,定义域为（-,0）(0,+).（2） f

8、(x)=( 可化为f(x)=则f(-x)= f(x)=（x3是偶函数.（3）证明 当x0时，2x1,x30.（x30.f(x)为偶函数，当x0时，f(x)=f(-x)0.综上可得f(x)0.例9.已知f（x）=.（1）判断函数奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）求f（x）的值域.解（1）f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数.（2）方法一 f（x）=.令x2x1，则f（x2）-f（x1）=(1-当x2x1时，10-100.又10+10,10+10，故当x2x1时，f（x2）-f（x1）0，即f（x2）f（x1）.所以f（x）是增函数.方法二 考虑复合函数的增减性

9、.由f（x）=y1=10x为增函数，y2=102x+1为增函数，y3=为减函数，y4=-为增函数，f(x)=1-为增函数.f（x）=在定义域内是增函数.（3）解 方法一 令y=f（x），由y=解得102x=.102x0，-1y1.即f（x）的值域为（-1，1）.方法二 f（x）=1-,102x0,102x+11.02,-11-1,即值域为(-1,1). 四自我检测一、填空题1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1） （2）解 （1）原式=（2）原式=-2求值：.解：设，由公式得(1+)+(1-)+3x=x3，即x3+x-2=0，分解因式得：，即x=1，原式=1.3设mn>0，x=，化

10、简：A=.解：x-4=()-4=()，A=，又mn>0，m，n同号. （1）m>0，且n>0，则A=.若mn，则A=；若m<n，则A= . 设m<0，且n<0，则A=. 若nm，则A=；若n<m，则A=.综上所述得：A=.4.已知下列不等式，比较m、n的大小(1)2m2n (2)0.2m0.2n (3)aman（0a1） (4)aman（a1）解：(1)考查函数y2x 21，函数y2x在R上是增函数. 2m2nmn；(2)考查函数y0.2x 00.21 指数函数y0.2x在R上是减函数.0.2m0.2n mn；(3)考查函数yax 0a1 函数yax在

11、R上是减函数. aman mn；(4)考查函数yax a1 函数yax在R上是增函数， aman mn.5.设函数f(x)=a-|x|(a0,且a1),f(2)=4,则 f(-2)f(-1) 6.若函数f(x)=ax-1 (a0,a1)的定义域和值域都是0，2，则实数a等于7.函数(，且)的图象必经过点 （2，2） 8.函数y=ax（a0,且a1）在1，2上的最大值比最小值大，则a的值是 或二、解答题9.(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是 （0，1 10.求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函数的定义域为R.

12、令u=6+x-2x2,则y=(.二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在区间，+）上，u=6+x-2x2是减函数，又函数y=(u是减函数，函数y=(在，+）上是增函数.故y=(单调递增区间为，+）.（2）令u=x2-x-6,则y=2u,二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间，+）上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数，函数y=2在区间，+）上是增函数.故函数y=2的单调递增区间是，+）.11.若函数y=4x-3·2x+3的定义域为集合A，值域为1，7，集合B=（-，01，2，则集合A与集合B的关系为 A=B 12.已知函数f(x)=（ax-a-x） (a0，且a1).（1）判断f(x)的单调性；（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的范围.解 （1）设x1x2,x1-x20,1+0.若a1,则,0,所以f(x1)-f(x2)=0，即f(x1)f(x2),f(x