差分方程最新课件

1、NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)主要内容主要内容差分方程建模实例差分方程建模实例一、差分方程的概念一、差分方程的概念二、差分方程的建立二、差分方程的建立三、差分方程的求解三、差分方程的求解五、一阶非线性方程五、一阶非线性方程四、发生函数方法四、发生函数方法NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经差分方程是一种离散变化的数学模型。现实世界和社会经济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某济生活中，离散变化的现象与过程随处可见；而且，在某些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便

2、于处理些场合，用离散变化来刻画连续变化，能使问题便于处理和研究。和研究。(1)( ( ),0,1, 2,x tf x tt1(),0,1, 2,kkxf xk1112221212(1)( ( ),( ),( )(1)( ( ),( ),( )0,1, 2,(1)( ( ),( ),( )nnnnnx tf x tx tx tx tfx tx tx ttx tfx tx tx t一阶差分方程一阶差分方程n 阶差分方程阶差分方程NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)差分方程建模实例差分方程建模实例例例1 1 种群生态学中的虫口模型种群生态学中的虫口模型。在种群生态学中考

3、虑象蚕、。在种群生态学中考虑象蚕、蝉这种类型的昆虫数目（即蝉这种类型的昆虫数目（即“虫口虫口”）的变化，注意这种）的变化，注意这种虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产虫口一代一代之间是不交叠的，每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。nP 第第n 年的虫口数年的虫口数c成虫平均产卵数成虫平均产卵数1,0,1, 2,nnPc Pn21,0,1, 2,nnnPc PbPnb阻滞系数阻滞系数1(1),0,0,1, 2,nnnxxxn标准形式（标准形式（Logistic方程）方程）NUDT差分方程及其应用差分方

4、程及其应用差分方程PPT课件 (2)影响虫口的因素影响虫口的因素周围环境提供的空间和食物有限周围环境提供的空间和食物有限虫子之间为了生存互相竞争而咬斗虫子之间为了生存互相竞争而咬斗传染病及天敌对虫子生存的威胁传染病及天敌对虫子生存的威胁简化简化规律规律咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件 只虫子配对的事件总数只虫子配对的事件总数nP1(1)2nnP P 21(1)2nnPP影响虫口的因素量化影响虫口的因素量化2nbPNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)例例2 2 鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问题的模型。鲨鱼和小杂鱼的捕食与被捕食问

5、题的模型。12,( )( )xx nn n 单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量单位时间鲨鱼和小杂鱼的数量12,dd 鲨鱼和小杂鱼的繁殖率鲨鱼和小杂鱼的繁殖率（1）不考虑它们相互之间的影响）不考虑它们相互之间的影响11 1222(1)( )(1)( )x nd x nx nd x n（2）考虑它们相互之间的影响）考虑它们相互之间的影响小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为小杂鱼量的增加引起鲨鱼量的增加，因子为b鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为鲨鱼量的增加引起小杂鱼量的减少，因子为c11 122122(1)( )( )(1)( )( )x nd x nbx nx ncx nd x n NUDT差分方

6、程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)用差分方程解决实际问题的步骤：用差分方程解决实际问题的步骤：第一步第一步 设定好实际问题中的未知函数（数列），按照已设定好实际问题中的未知函数（数列），按照已知相关领域的物理、力学、经济的学科的规律建立相邻的知相关领域的物理、力学、经济的学科的规律建立相邻的自变量值（一般就是相邻的时间）的未知函数取值间的依自变量值（一般就是相邻的时间）的未知函数取值间的依赖关系，建立差分方程模型。赖关系，建立差分方程模型。第二步第二步 对已建立的差分方程模型，若能直接求解的则求对已建立的差分方程模型，若能直接求解的则求出其解，若不能求解或直接求解比较困难的，

7、则用定性的出其解，若不能求解或直接求解比较困难的，则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质。方法讨论其解的变化趋势及性质。第三步第三步 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照，然将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照，然后给实际问题一个满意的答复。后给实际问题一个满意的答复。NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)一、差分方程的概念一、差分方程的概念1. 差分的概念及简单性质差分的概念及简单性质实数序列实数序列12:,nnaa aa二阶差分二阶差分21(1, 2,)nnnaaan 一阶差分一阶差分1(1, 2,)nnnaaan差分算子差分算子2121121()()2nn

8、nnnnnnnnaaaaaaaaaa 例例 求序列求序列 的一阶差分与二阶差分。的一阶差分与二阶差分。2(1, 2,)nanna n_:n2da n_:a n1a ndda n_:da n1da nMATHEMATICANUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)定理定理1 1 若序列若序列 的通项公式是的通项公式是 的一次函数，则其一阶的一次函数，则其一阶差分为常数，二阶差分为零。反之依然。差分为常数，二阶差分为零。反之依然。nan序列图形（点列）与差分间的关系序列图形（点列）与差分间的关系24681012-1-0.50.511a2a3a4a5a6a7a8a9a10a1

9、1a12aNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)24681012-1-0.50.511a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a21a22a23a24a25a26a27a28a29a210aNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较0nnaa增0nnaa减20 nnaa凹20 nnaa凸( )yf x函数na数列( )0( )fxf x增( )0( )fxf x减( )0( )fxf x凹( )0( )fxf x凸NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程

10、PPT课件 (2)2. 差分方程差分方程由方程的迭代关系可得方程的任意有限项（方程的数值由方程的迭代关系可得方程的任意有限项（方程的数值解），特殊情形能得到序列的通项公式。解），特殊情形能得到序列的通项公式。定义定义 含有序列的任意项含有序列的任意项 且含有其差分的方程称为差分且含有其差分的方程称为差分方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。方程。称序列的一个或几个已知项为方程的初始条件。na定义定义 差分方程的一个解析解是指序列差分方程的一个解析解是指序列 的一个通项公的一个通项公式，把它代入差分方程，就得到一个恒等式。若解中不式，把它代入差分方程，就得到一个恒等式。若解中不含任意常

11、数，称这样的解为方程的特解，若解中含有任含任意常数，称这样的解为方程的特解，若解中含有任意常数，称这样的解为方程的通解。意常数，称这样的解为方程的通解。naNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)二、差分方程的建立二、差分方程的建立例例1 1 某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据：某种真菌培养物的增长，从实验中采集到如下数据：建立方程建立方程10.6nnnnppppNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)11.01200nnaa例例2 2 某人在银行贷款，打算每月还款某人在银行贷款，打算每月还款200元。假定贷款年元。假定贷款年利率为

12、利率为12%（月利率为（月利率为1%），设），设 为第为第 个月开始时个月开始时的欠款，建立还款模型。的欠款，建立还款模型。nan0.01200nnaa（一阶线性常系数非齐次差分方程）（一阶线性常系数非齐次差分方程）MATHEMATICA1nnnaaaNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)51015202530500010000150002000025000贷款分别为贷款分别为5000，20000，25000的还款情况比较的还款情况比较NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)例例3 3 冰箱冷藏室的温度调节在冰箱冷藏室的温度调节在50C。饮

13、料放在冷藏室后每。饮料放在冷藏室后每分钟温度的变化与冰箱温度和饮料温度的差成正比，通过分钟温度的变化与冰箱温度和饮料温度的差成正比，通过实验知比例系数约为实验知比例系数约为0.008。设饮料放入冷藏室。设饮料放入冷藏室n分钟后为分钟后为tn，求其温度变化遵循的差分方程。，求其温度变化遵循的差分方程。10.008(5)nnnttt0.008(5)nntt NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)例例4 4 Fibonaccii问题问题。考虑家兔的繁殖，假定现有一对幼。考虑家兔的繁殖，假定现有一对幼兔（一雌一雄），在它们成长成一对成兔后每月生一对幼兔（一雌一雄），在它们成

14、长成一对成兔后每月生一对幼兔，而每对幼兔在一个月后变成成兔。如果一代一代繁殖兔，而每对幼兔在一个月后变成成兔。如果一代一代繁殖下去，问在下去，问在n个月后将有多少对家兔？个月后将有多少对家兔？第第0个月个月第第1个月个月第第2个月个月第第3个月个月第第4个月个月11235幼兔幼兔成兔成兔NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)第第n个月家兔的对数个月家兔的对数( )P n成兔对数成兔对数|( )( )a nb n 幼兔对数幼兔对数第第n+1个月家兔的对数个月家兔的对数(1)P n成兔对数成兔对数幼兔对数幼兔对数|( )( )( )a nb na n ( )( )( )

15、P na nb n( )( )(1)a nb na n(1)( )b na n(2)(2)(2)P na nb n (1)(1)(1)a nb na n(1)( )P nP n(2)(1)( )P nP nP n(0)(1)1PPFibonaccii数列数列NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)例例5 5 硬币喷泉问题（硬币喷泉问题（n个硬币的一种多行排列）个硬币的一种多行排列）。第一行。第一行是是k个硬币两两相邻，任何更高行的每个硬币恰好与其下个硬币两两相邻，任何更高行的每个硬币恰好与其下面一行的两个硬币接触，称其为（面一行的两个硬币接触，称其为（n, k）喷泉。

16、喷泉。两个（两个（17，8）喷泉喷泉喷泉块：每一行的硬币邻接喷泉块：每一行的硬币邻接问题问题 有多少个喷泉块它的第一行恰好是有多少个喷泉块它的第一行恰好是k个硬币？个硬币？喷泉块喷泉块非喷泉块非喷泉块(1),(2),(3),( ),ffff k?NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)(1)1f(2)2f(3)5fk个硬币 j个硬币 ( )(1)(1)(2)(2)1(1) 1(2,3,)f kkfkff kk ( ) (01)f jjk( )f k ？kj种可能递推公式递推公式一般情形一般情形NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)三、差分方

17、程的求解三、差分方程的求解一阶线性方程一阶线性方程一阶线性差分方程一阶线性差分方程1(1)nnnxkxC对应齐次方程对应齐次方程1(2)nnxkx齐次方程（齐次方程（2）的通解为）的通解为0nnxk x设设 为常数，为常数，nCC方程（方程（1）有常值解）有常值解nxB,1CBkBCBk，则，则此时，方程（此时，方程（1）有通解）有通解1nnCxAkk0()11nnCCxxkkk（特解）（特解）NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)二阶线性方程二阶线性方程二阶线性齐次差分方程二阶线性齐次差分方程210(3)nnnxaxbx设设 满足方程（满足方程（3），），nnxt

18、则则20(4)tatb（特征方程）（特征方程）则得通解则得通解1 12 2nnnxCtC t1）若方程（）若方程（4）有两个不同的实根）有两个不同的实根 和和 ，1t2t（ 其中其中 为任意常数）为任意常数） 12,C C2）若方程（）若方程（4）有两相同的实根）有两相同的实根 ，t12nnnxC tC nt则得通解则得通解（ 其中其中 为任意常数）为任意常数）12,C C3）若方程（）若方程（4）有两复数根）有两复数根 ，1,2(cossin )tRi则得通解则得通解12cossinnnnxC RC R（ 其中其中 为任意常数）为任意常数）12,C CNUDT差分方程及其应用差分方程及其应用

19、差分方程PPT课件 (2)例例1 求解求解11.nnnnxkxcx x11nnnnxkxcx x11nnnkxxcx（一阶非线性差分方程）（一阶非线性差分方程）11nnkcxx1nnyx1nnykyc11nncyykk解得解得0()11nnccyykkk0111()11nnnxccykxkk（原方程的解）（原方程的解）NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)例例2 求解求解Fibonaccii方程方程2101,1.nnnFFFFF对应的特征方程为对应的特征方程为 ，210tt 解得解得121515,22tt因此方程的通解为因此方程的通解为1515()()22nnnFA

20、B试用试用Mathematica求出在所给初始条件下的求出在所给初始条件下的 和和 ，并利用该公式求并利用该公式求AB(1,2,100).nFn NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)四、发生函数方法四、发生函数方法( )(1)(1)(2)(2)1(1) 1(0)(1)0,(2,3,)f kkfkff kffk 硬币喷泉问题硬币喷泉问题0( )( )kkF xf k x发生函数或母函数（发生函数或母函数（generating function）因此，只要求出发生函数因此，只要求出发生函数 ，通过求该函数的幂级数展，通过求该函数的幂级数展开，便可得到开，便可得到( )F x( ) (0,1, 2,)f kk NUDT差分方程及其应用差分方程及其应用差分方程PPT课件 (2)( )(1)(1)(2)(2)1(1) 1(0)(1)0,(1, 2,3,)f kkfkff kffk 1 12211112()kkkkkkkkkkka xb xabababx法则法则( )(1)(1)(2)(2)1(1)kk