导数运算法则[1]

1、导数运算法则最新一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu导数运算法则最新vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu 导数运算法则最新证证 (2)(2),()()(xvxuxf 设设xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxvxuxxvxxux)()(

2、)()(lim0 xxvxxvxuxxvxuxxux)()()()()()(lim0)()()()(xvxuxvxu );()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 导数运算法则最新 n n2 21 1n n2 21 1n n2 21 1u uu uu uu uu uu u) )u uu u( (u u2推论uC)Cu( 1推论 n21uuu3推论2)1(VVV导数运算法则最新例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 .4cos 例例2 2.4sin36的导数的导数求求 xxy解解56xy 3 .cos x . 0 导数运算法则最新例例4 4.tan的的导导数

3、数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得导数运算法则最新例例5 5.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos0 .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得 )(secx.tansecxx导数运算法则最新基本初等函数的导数有：基本初等函数的导数有：. 0)(C)(.)(1Rxx .cos)(sinxx .)(cossi

4、mxx.ln1)(logaxxa.1)(lnxx .sec)(tan2xx .csc)(cot2xx )(secx.tansecxx.cotcsc)(cscxxx 导数运算法则最新122|11xyyxxy及求设12yxxxy求设cosln导数运算法则最新二、反函数的导数定理定理)(1 )( )()()()(111xfyf，yf，yfxxfxxfy且有存在则在相应点连续且反函数，处有不等于零的导数在点如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.导数运算法则最新例例7 7.arcsin的的导导数数求求函函数数xy )(sin1)(arcsin yxycos1

5、 y2sin11.112x)(arcsin x211x导数运算法则最新.112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc导数运算法则最新yaaayx求且已知)10(例：的反函数是解yxay：axlog)(xa)(log1yaaylnaaxln：即 )(xaaaxln特别地： xxee )(导数运算法则最新三、复合函数的求导法则定理定理000,)(,)()(,)(0000 xxuuxxdxdududydxdyxxfyxuufyxxu且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即即 函数函数对自变量求

6、导对自变量求导, ,等于等于函数函数对中间变量求对中间变量求导导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )导数运算法则最新证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 导数运算法则最新推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 dxdududydxdy 导数运算法则最新

7、例例1010.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 9例例.3的的导导数数求求函函数数xey 解解,3xueyu dxdududydxdy .33223xexexu 导数运算法则最新例例1111.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解xu2109 xx2)1(1092 .)1(2092 xxdxdududydxdy 1,210 xuuy导数运算法则最新例例1212.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy 22122x

8、xa.22xa )0( a2222222222121xaaxaxxa 222xa x20 22a2)(1ax a1xx21)( 211)(arcsinxx 导数运算法则最新例例1313.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy11212 xy)2(3112 xxx例例1414.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解xey1sin xe1sin .1cos11sin2xexx x2 )2(31 x)1(sin xx1cos )1( x导数运算法则最新 只需在方程只需在方程F(x,y)=0的两边同时对的两边同时对x求导。而在求求导。而在

9、求导过程中，把导过程中，把y看成看成x的函数。（导数结果中可含有的函数。（导数结果中可含有y)四、隐函数求导法：四、隐函数求导法：隐函数：隐函数：若若x与与y的函数关系由方程的函数关系由方程F(x,y)=0确定，确定，则称这种函数关系为隐函数。则称这种函数关系为隐函数。.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?导数运算法则最新例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求导求导方程两边对方程两边对x

10、0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 导数运算法则最新五、对数求导法五、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu导数运算法则最新例例1 1解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式

11、两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设导数运算法则最新例例2 2解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 导数运算法则最新六、由参数方程所确定的函数的导数六、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函

12、函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t导数运算法则最新),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 导数运算法则最新例例解解d

13、tdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax导数运算法则最新.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即导数运算法则最新 七、初等函数的求导问题七、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(xxxxxxxC )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)

14、()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc xaxlnxeaxln/1x/121/1x 21/1x )1/(12x )1/(12x 导数运算法则最新2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则),(),(xuufy 而而设设可可导导，则则、设设)()(xvxu )( 10vuv vu u ) ( 20CuuC 03 )(uvvuvu 04 )(vu2vvuvu 的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy ).()()(xufxydxdududydxdy

15、或或导数运算法则最新5、隐函数求导法、隐函数求导法：只需在方程只需在方程F(x,y)=0的两边同时对的两边同时对x求导。求导。而在求导过程中，把而在求导过程中，把y看成看成x的函数。（导数结果中可含有的函数。（导数结果中可含有y)4、反函数的求导法则、反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数的倒数.6、对数求导法、对数求导法：先对函数取对数再求导的方法。先对函数取对数再求导的方法。7、参数方程求导法、参数方程求导法：。导数运算法则最新例例1515.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解xxxy 21xxx 21xxxxx 211(21.812422xxxxxxxxxx )( xxx 1(xx 21)( xx)211(x 导数运算法则最新yxyx 求求例例, 16sin1sinsin xxxy解解：xxyxlnsin )(xfa )(xf指数函数指数函数幂函数幂函数幂指函数幂指函数)(sin xxy)(sinln xxe)(lnsin xxe )(lnsinxxe)ln(sin xx xxsinx(cosxln xsin