参数方程化为普通方程(选修4-1)

1、参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程 选修选修4-4一、回顾概念 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一如果曲线上任意一点的坐标点的坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数( ),( ).xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的所确定的点点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这就叫做这条曲线的条曲线的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变叫做参变数数, 简称简称参数参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间相对于参数方

2、程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做关系的方程叫做普通方程普通方程。引入通方程呢？如何将参数方程化为普我们应表示的是同一曲线，那）和（为半径的圆。其实）为圆心，以（是以）（难度，可是我们很清楚现，直接判断有一定的迹的曲线，同学们会发点的轨直接判断试根据参数方程13sin3cos10 , 313sin3cos2222yxyxyxMyx探究：如何消掉参数如：t,1.txy （t为参数）（1）可将可将t=x代入代入ty1需注意：需注意：t t不能为不能为0 0)(2222为参数）（ttytx可利用两式可利用两式相加，消掉参数相加，消掉参数t1sincos223sin33cosyx)(sin3co

3、s333为参数）（yx可转化为可转化为：利用利用： 消去参数消去参数所以所以：参数方程通过：参数方程通过代入消元代入消元、加减消元或三角恒等式加减消元或三角恒等式消去参数消去参数化化为普通方程为普通方程注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的围保持一致，否则，互化就是不等价的. 二、二、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？表示什么曲线？35,(1)()21xttyt 为参数分析：可用加减消元，消掉参数t3631062tytx732 yx解

4、：原式可化为解：原式可化为+，得：，得：整理，得整理，得:0732 yx二、例题讲解二、例题讲解12()1 2tyt x= t( )为参数tyxt211分析：11tx注意解：原式可化为解：原式可化为将将代入代入，得：，得：) 1(21xy整理，得：整理，得：）（ 132xxy 这是一条（这是一条（1,11,1）为端点的一条射线（包括端）为端点的一条射线（包括端点）点）作为一个整体被消掉t1sincos223sin32cosyx2222sincos332 yx为参数）（）（sin3cos323yx分析：可利用分析：可利用消掉参数消掉参数22223sin32cosyx133222 yx解解：原式可

5、化为即即9222yx 该曲线是以（该曲线是以（2,0）为圆心，以）为圆心，以3为半径的圆。为半径的圆。222cossinyx12yx222cossinyx11sinx) 11 - (12xxy解解：可化为可化为)2 , 0(cossin42为参数，）（yx该曲线为抛物线该曲线为抛物线的一部分的一部分练习:将下列参数方程化为普通方程。)(sin5cos63为参数）（yx)(42412为参数）（ttytx为参数）（）（ttytx3131331xy1 yx1253622yx)(2cossin4为参数）（yx) 11(212xxy小结小结: : 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程参数方程化为普通方

6、程的过程就是消参过程常见方法有三种：常见方法有三种： 1.1.代入法代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消去参数。然后代入消去参数。 2.2.加减法加减法：利用互为相等或相反的变量，：利用互为相等或相反的变量，消去参数消去参数t.t. 3 3. .三角法三角法：利用三角恒等式消去参数。利用三角恒等式消去参数。延伸：整体消元法：延伸：整体消元法：根据参数方程本身的结根据参数方程本身的结构特征构特征, ,从整体上消去。从整体上消去。 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参：在消参过程中注意变量过程中注意变量x x、y y取值范围的一致性，必须取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定根据参数的取值范围，确定f(t)f(t)和和g(t)g(t)值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。为：的交点个数和则）（程的方曲线轴正半轴为极轴）中，极点，以为以原点取相同的长度单位，且坐标系，在极坐标（与直角