线性方程组的解

1、3 线性方程组的解线性方程组的解一、线性方程组的表达式一、线性方程组的表达式n一般形式一般形式n 向量方程的形式向量方程的形式方程组可简化为方程组可简化为 AX = b n增广矩阵的形式增广矩阵的形式n向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 二、线性方程组的解的判定二、线性方程组的解的判定设有设有 n 个未知数个未知数 m 个方程的线性方程组个方程的线性方程组11112211211222221122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 定义

2、：定义：线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一不一定相等！定相等！定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充

3、分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即 R(A) R(A, b) 无解；无解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解；唯一解； R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解那么那么 无解无解 R(A) R(A, b) ； 唯一解唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 无穷多解无穷多解 R(A) = R(A, b) n 证明：证明：设设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的的行最行最简形矩阵简形矩阵为为第一步：第一步：往证往证 R

4、(A) R(A, b) 无解无解若若 R(A) R(A, b) ，即，即 R(A, b) = R(A)1，则，则 dr+1 = 1 于是于是 第第 r +1 行对应矛盾方程行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000n rn rrr n rrrmnbbdbbdbbdBd R(A) R(A, b) R(A)1 前前 r 列列 后后 n - r 列列 前前 n 列列前前 r 列列100010001000000000B 12(1)000nmnddd 第二步：第二步：往证往证 R(A) = R(

5、A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解后后 n - r 列列 则则 dr+1 = 0 且且 r = n，对应的线性方程组为对应的线性方程组为1122,.nnxdxdxd B 从而从而 bij 都不出现都不出现. .111,212,1,000000n rn rrr n rbbbbbb 121(1)00rrmndddd 前前 r 列列111,212,1,000000n rn rrr n rbbbbbb 12(1)000nmnddd 121(1)00rrmndddd n 列列第二步：第二步：往证往证 R(A) = R(

6、A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解 则则 dr+1 = 0 且且 bij 都不出现都不出现. . 即即 r = n，100010001000000000B 前前 r 行行后后 mr 行行后后 n - r 列列 n 行行12100010001nddd对应的线性方程组为对应的线性方程组为1122,.nnxdxdxd 后后 mn 行行第三步：第三步：往证往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解若若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的线性方程组为对应的线性方程组为前前 r 列列 则则 dr+

7、1 = 0 . .后后 n - r 列列 即即 r n ， 111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000n rn rrr n rrrmnbbdbbdbbdBd 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd B 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd 11111,122112,211,.rn rnrn rnrrrr n rnrxb xbxdxb xbxdxb xbxd 令令 xr+1, , xn 作自由

8、变量，则作自由变量，则 再令再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则 111 11,11 1,11n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcdxb cbcdxcxc 111,11,1100010n rrr n rrn rbbdbbdcc 线性方程组线性方程组的通解的通解例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123412342 2, 2 4,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2111210104112140110346224000133697900000rB 解：解：R(A) = R(A,

9、b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解2111210104112140110346224000133697900000rB 备注：备注：111,1212,2,1,100010001000000000000000000n rn rrr n rrbbdbbdbbd 有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r n ，这时，这时 还能根据还能根据R(A) = R(A, b) = r n判断该线性方程组有判断该线性方程组有无限多解吗？无限多解吗？10104011030001300000rB x1x2x3x43410014010

10、130010300000cc 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx x1x2x4x3同解同解2111210104112140110346224000133697900000rB 解（续）：解（续）：即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx 123414131003xxcxx 例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123423 1,3 532,2 223.xxxxxxxxxxxx

11、123111231131532 054012122300002rB 解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解例：例：求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组12341234123422 0,2 220, 430.xxxxxxxxxxxx 提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 Ax = 0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，于是必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组判断

12、齐次线性方程组的解的情况的解的情况例：例：设有线性方程组设有线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解123123123(1) 0,(1) 3, (1).xxxxxxxxxl ll lllll 定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必

13、要条件是 R(A) = R(A, b) n 11101113111Bl ll ll ll l 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵11101113111l ll lllll 1311111131110rrlllll ll l 2131(1)111030(2)(1)rrrrl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 321110300(3)(1)(3)rrl ll ll ll ll ll ll ll ll l 附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l +1， l l +

14、3 等因等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l +1 = 0（或（或 l l +3 = 0）的情况另作讨论的情况另作讨论 2111rrl l 2(1)rl l 3(3)rl l11101111113 0311100(3)(1)(3)rBl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2 、r3 是非零行是非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 处地方出

15、现了处地方出现了l l ，要使这，要使这 5 个元素等个元素等于零，于零， l l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手11101111113 0311100(3)(1)(3)rBl ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll ll l 于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 l l = 3 时，时，R(A)

16、 = R(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解11101113111Bl ll ll ll l 解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 2111|111(3)111Al lll lll ll l 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解，方程组无解111011101113 000111100000rB 当当 l l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无

17、限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解为211010111213 011211230000rB123111210 xxcx 定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：因为对于因为对于 Ax = 0 必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的

18、情况定理：定理：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A) n 定理：定理：线性方程组线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) 定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 证明：证明：设设 A 是是 mn 矩阵，矩阵， B 是是 ml 矩阵，矩阵， X 是是 nl 矩阵矩阵. .把把 X

19、 和和 B 按列分块，记作按列分块，记作X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl )则则即矩阵方程即矩阵方程 AX = B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi )12(,)nAXA x xx 12(,)nAxAxAx 12(,)nb bbB设设 R(A) = r ，A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，则，则 有有 r 个非零行，个非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再设再设从而从而 A A A 1212( ,)( ,)( ,)rllA BA b bbA b bb ( ,)( ,)riiA bA b 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi ) 的后的后 mr 个元素全是零个元素全是零 的后的后 mr