拉氏变换基本性质

1、四四.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(1)线性线性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)()0()( fsSF积分积分tdf)(sfssF)0()()()(00ttuttf)(0sFest频移频移atetf)()(asF拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质（2）尺度变换尺度变换)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst终值终值定理定理)(lim)()(lim0sSFftfst卷积卷积定理定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理初值定理)().(21tftf)(*)(2121sFsFj4.4.时域平移时域平移 2.2.对对t t微分微

2、分3.3.对对t t积分积分7.7.初值初值8.8.终值终值( (一一).).时域平移特性和应用时域平移特性和应用1.1.时移性时移性设设)()(sFtf则则otsFettuttfostoo)()()(0P189.表表4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质重点讨论重点讨论0t)(tf)(0ttf0t0)()(:)()(:0tjejFttfjFtf则则若若这个性质表明信号在时域中的延时和频域中这个性质表明信号在时域中的延时和频域中的移相是相对应的的移相是相对应的.傅立叶变换的时移性质傅立叶变换的时移性质2.四个不同的函数四个不同的函数)()(.)()(.)()(.)()(.0000ttuttfdt

3、tutfctuttfbtutfa)()(sin)()()(sin)()()()(sin)()()()(sin)()(sin)(0000000000000ttuttttuttftttuttutftutttuttftuttutfttf设 )()(sin00tutt)()(sin000ttutt0tt0)(sin0tutt0)(sin00ttut0tt00tt0ttfsin)(设2Tt0sint)(. 1tf为其它值时t0)2()(sin)(:Ttututtf解3.时移特性的应用时移特性的应用p250.4-2 (1)2T-tu(tsin-tu(t)sin *台阶函数台阶函数)()43(4)2(4)4

4、(4)(4)(TtEuTtuETtuETtuEtuEtfsEtuE4)(4414)(4324sTsTsTsTeeeesEtf*单边周期函数的拉氏变换定理单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的若接通的周期函数周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为的第一个周期的拉氏变换为 则函数则函数f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为)(1sF01)()(1sTesFsFET例：周期信号的拉氏变换例：周期信号的拉氏变换)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTSTnSnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏变换第一周期的拉氏变换利用时移特性利用时移特性利用无穷递减等比利用

5、无穷递减等比级数求和级数求和q-1as1求全波整流周期信号的拉氏变换求全波整流周期信号的拉氏变换例例1：)(tf12T0T2T1)(0tf0tt)2()(sinTtututT22)1(2SeTLTT222211)1(2TSeSeT信号加窗信号加窗第一周期第一周期)21(12 ssees)(tf 单对称方波单对称方波 周期对称方波周期对称方波 乘衰减指数乘衰减指数s22se11)e1(s1包络函数包络函数te12) 2() 1(2)(tututu)1()1()1(1)1()1(SSees.求图示信号的拉氏变换求图示信号的拉氏变换ssees111抽样信号的拉氏变换0)()(nTnTttSTnSnT

6、Tees11)(0)()()(ttftfTs0)()(nSnTsenTfsF抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换*抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换 00000)()()()()()()(11)()()()(nnTsSTnStTnTnTtnTfnTtnTfttftfedtentttLnTtt 000)()()()(nnsTnStSenTfdtenTtnTftfL抽样信号的拉氏变换可表示为抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数域级数10)(11210)0()()0()0()0()()0()(),()(. 1nrrrnnnnnnnnefssFsffsfssFsdtfdsRfssF

7、dtdfsFtf和和则则若若证明证明:时域微分积分特性时域微分积分特性二二).(*几点说明a.如果所处理里的函数为有始函数即00) (ttf)0(),0(),0()1(nfff则都为零.那么)()()(sFsdttfdLssFdtdfLnnn但若f(t)在t=0有跃变,应嵌入一个冲激.相相等等。不不一一定定和和但但虽虽然然)()()()()()(:tfdtdLtutfdtdLtutfLtfL?)0(有有关关与与为为什什么么微微分分得得变变换换式式里里f这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样理解，可能会得出

8、错误的结果,如.结结果果就就错错了了若若误误认认为为0) t (f1) t (f0t20t2c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变换中一般采用 系统.而且采用 系统,对解决实际问题较为方便.002.时域积分特性时域积分特性若若 则则)()(sFtfsdfssFdfssFdftt00)()()()()(:且且拉拉tjFjdfjFtf)(1)(),()(:则则付付0)(,2)0()()(2)(3dfftudftfdtdftt求求:ssdfssFsFfssFt1)()( 2)(3)0()(3)(23112312)(22tteetfssssssF解解:初始条件自动包含在变换式中，一步初始条件自动

9、包含在变换式中，一步求出系统的全响应。求出系统的全响应。三.初值和终值定理1.初值定理若f(t) 及其导数 可以进行拉氏变换且)()(sFtfdtdf则)(lim)0()(lim0ssFftfst证明:利用时域微分特性)0()(0fssFdtedtdfdtdfLst先假定f(t)在原点连续,则 在原点处不dtdf包含冲激包含冲激.于是于是00)0()(lim0limfssFdtedtdfssts即)(lim)0 ()0 ()0 (ssFfffs再假定再假定f(t)在原点有跃变在原点有跃变,则则f(t)的导数可写成的导数可写成0)()0()0(1ttffdtdfdtdf其中其中 在在t=0连续连

10、续,于是于是)(1tf)0()0(0)()0()0(limlim)(lim0001ffdtetffdtedtdfdtedttdfstsstssts即即)(lim)0()0()0()0()(limssFffffssFss*几点说明几点说明a.要注意初值要注意初值f(t) 为为t= 时刻的值时刻的值,而不是而不是f(t)在在t= 时刻的值时刻的值,无论拉氏变换无论拉氏变换F(s)是是00采用采用 系统还是采用系统还是采用 系统系统,所求得的初值所求得的初值总是总是 00)0 (fb.若若F(s)是有理代数式是有理代数式,则则F(s)必须是真分式必须是真分式即即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次分子

11、的阶次应低于分母的阶次,若不是若不是真分式真分式,则应用长除法则应用长除法,使使F(s)中出现真分式中出现真分式,而而初值初值 等于真分式等于真分式 逆变换逆变换 .)0 (f)(0tf)(0sFc.物理解释物理解释:)(js相当于接入信相当于接入信号的突变高频分量号的突变高频分量.所以可以给出相应的初值所以可以给出相应的初值)0(fd.由上式也说明由上式也说明,根据象函数根据象函数F(s)判断原函数判断原函数是否否包含冲激函数及其各阶导数存在是否否包含冲激函数及其各阶导数存在2.终值定理终值定理若若f(t)及其导数可以进行拉氏变换且及其导数可以进行拉氏变换且 存在存在,则则)(limtft)

12、(lim)(lim0ssFtfst证明见证明见p188终值定理表明信号在时域中终值定理表明信号在时域中 值值,可以可以通过复频域中的通过复频域中的F(s)乘以乘以s取取 的极的极限得到而不必求限得到而不必求F(s)的反变换的反变换 )(f0s*两点说明两点说明:a. 存在等价于限制存在等价于限制F(s)的极点的极点在在s左半平面内和原点仅有单阶极点左半平面内和原点仅有单阶极点)(limtftb.物理解释：物理解释：00js相当于直流状态相当于直流状态因而得到电路稳定的终值因而得到电路稳定的终值.54 .251值和终值值和终值分别求下列逆变换的初分别求下列逆变换的初p)2() 1()3(. 2)

13、5)(2()6(. 12ssssss0)5)(2()6(lim)(lim1)5)(2()6(lim)0(. 1:0sssstfssssfsts解解3)1()()(:ssNtfL已已知知(1)如果如果N(s)=3 利用初值定理求利用初值定理求f(t)f(t)的展开的展开式式332210)(tatataatf中前两项中中前两项中 非零项非零项.0)2() 1()3(lim)(lim0)2() 1(3lim)0(. 2202sssstfssssfsts0) 1(3lim)0() 1(3)(:303sSafstfLS由题义可知解32 32 3s133) 1(3)0() 1(3)(0) 1(3lim)0

14、() 1(3)0() 1(3)(f ssfsstfLsssafssfsstL*卷积定理卷积定理dzzsFzFjtftfLsFsFdtffLsFtfsFtfjjt)()(21)()()()()()()()(),()(2121212012211则若为一复频域中的围线积分。为一复频域中的围线积分。求图示三角 波f(t)的拉氏变换.解:方法一:按定义式积分 221210)1 (1)2()()(0sstststesdtetdttedtetfsF方法二:利用线性迭加和时移定理2202)1 (1)()()(1)()2()2()1()1(2)()(0ssessFtesFtfLsttuLtuttutttutft

15、112)(tf方法三方法三:利用微分积分定理将利用微分积分定理将f(t)微分二次微分二次222)1 ()2() 1(2)()(setttLdttfdL根据微分定理根据微分定理:2212121222)1 (1)()1 ()(0)0(0)0()0()0()()(ssessFesFsffsffsFsdttfdL方法四方法四:利用卷积定理利用卷积定理f1(t)可以看作是可以看作是f1(t)自身的卷积自身的卷积.22111111)1 (1)()1 (1)()()()()(*)()(ssessFessFsFsFsFtftftf )(1tf)(1tf*利用所示矩形脉冲的利用所示矩形脉冲的 Laplace 变换式变换式和本章所述拉氏变换的性质和本章所述拉氏变换的性质,求图示函求图示函数的拉氏变换数的拉氏变换.1f2222224(a)