第二章流体的运动

1、第二章第二章 流体的运动流体的运动流体：包括气体、液体流体：包括气体、液体流体的基本特征：流动性，无固定形状流体的基本特征：流动性，无固定形状？理想流体、稳定流动？理想流体、稳定流动 连续性方程、伯努利方程连续性方程、伯努利方程？实际流体？实际流体 粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律流体运动的学科称为流体动力学流体运动的学科称为流体动力学 可压缩，体积随压强不同可压缩，体积随压强不同 而改变。液体的体而改变。液体的体积变化小，气体的体积变化大。积变化小，气体的体积变化大。 都有粘性，很多流体的粘性小，在小范都有粘性，很多流体的粘性小，在小范围流动时，粘性造成的影响

2、可以忽略。围流动时，粘性造成的影响可以忽略。 理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性 2-1 理想流体理想流体 稳定流动稳定流动一、理想流体一、理想流体实际流体实际流体二、稳定流动二、稳定流动研究流体运动的方法有两种研究流体运动的方法有两种 拉格朗日法：拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的

3、运动。 欧拉法：欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时间的演化规律。间的演化规律。 在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一点都具有一定的流速点都具有一定的流速v(x、y、z、t)， ，这个空间称为流，这个空间称为流体速度场，简称流场。体速度场，简称流场。 1、流线和流管流线和流管流速方向：流线上的切线方向流速方向：流线上的切线方向大小：与流线疏密有关，如大小：与流线疏密有关，

4、如A、B、C流管：流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所围成的细管围成的细管 流线：流线： （与电力线和磁力线相似，假想线）（与电力线和磁力线相似，假想线）2、稳定流动、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形状保持不变状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹流线即流体质元的运动轨迹3、性质、性质 （1）流线不能相交）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流出去出去2-2 连续性方程连

5、续性方程 伯努利方程伯努利方程一、理想流体的连续性方程一、理想流体的连续性方程在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都可以看成均匀的，即（可以看成均匀的，即（1、S1、v1）和（）和（ 2、S2、v2）经过经过t时间，通过截面时间，通过截面S1流入流管质量为流入流管质量为tvSStvm1111111)(经过经过t时间，通过截面时间，通过截面S2流出流管质量为流出流管质量为根据质量守恒原则及稳定流动的特点有根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即，即常量Sv质量流量守恒定律质量流量守恒定律如果是不可压缩的流体，即有如果是

6、不可压缩的流体，即有常量Sv体积流量守恒定律体积流量守恒定律tvSStvm2222222)(tvStvS222111222111vSvS212211vSvS说明：说明：1、条件：（、条件：（1）理想流体）理想流体 （2）稳定流动）稳定流动2、单位时间内质量流量：、单位时间内质量流量： Q= Sv（单位：（单位：kg/s）3、单位时间内体积流量：、单位时间内体积流量： V=Sv（单位：（单位：m3/s）4、S与与v成反比，成反比，S大大v小，小，S小小v大。大。5、流管有分支时：、流管有分支时：（S, v）（S1, v1）（S2, v2）2211vSvSSv二、伯努力方程二、伯努力方程1、伯努力

7、方程的推导、伯努力方程的推导利用功能原理来进行推导利用功能原理来进行推导截取一段流体截取一段流体XY作研究对象作研究对象各物理量见图所示，经过各物理量见图所示，经过t时时间变为间变为X和和YF1=P1S1F2=P2S2故当流体从故当流体从XY流到流到XY时外力所作功为：时外力所作功为：tvSPtvSPtvFtvFW2221112211故当流体从故当流体从XY流到流到XY时的机械能增量为：时的机械能增量为：由功能原理有：由功能原理有： W=E最后整理得：最后整理得：伯努力方程伯努力方程VPVPW21)21()21(12122212mghmvmghmvEEE)21()21(12122221mghm

8、vmghmvVPVP222212112121ghvPghvP常量ghvP221（3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位（5）第一、二）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有项是与速度无关称为静压，第三项与速度有关称为动压关称为动压（6）水平管：当）水平管：当h1=h2，有：，有： 即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。2、说明：、说明：（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动（2）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、动能）各项分别代

9、表该点压强、单位体积内的重力势能、动能（4）伯努利方程也叫能量守恒方程）伯努利方程也叫能量守恒方程常量221vP例例2-12-1 设有流量为设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，的水流过一管子，A点的压强为点的压强为2105Pa，A点的点的截面积为截面积为100cm2，B点的截面积为点的截面积为60cm2，B点比点比A点高点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点点的流速和的流速和B点压强。点压强。解：根据连续性方程有解：根据连续性方程有)/(121012.02smSQvAA)/(20106 .012.02smSQvBBBBAAvSvS22

10、2121BBBAAAvghPvghP)(1024. 52121)(212142222PavvhhgPvghvghPPBABAABBAAAB又根据伯努力方程有又根据伯努力方程有2-3 伯努利方程的应用伯努利方程的应用一、压强与流速的关系一、压强与流速的关系常量221vP即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。水平管中作稳定流动时水平管中作稳定流动时1、空吸作用、空吸作用图图2-5 空吸作用空吸作用A处和处和C处的横截面积远大于处的横截面积远大于B处的横截面积。在处的横截面积。在A处处加一个外力使管中流体由加一个外力使管中流体由A向向B 处流动。处流动。

11、B处的流速必处的流速必远大于远大于A处和处和C处的流速，处的流速，B处的压强小。若增加流管处的压强小。若增加流管中流体的流速，可以使中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使处的流速增到很大，而使B处处的压强很小，于是的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的作用容器中的流体因受大气压强的作用被压缩到被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种作用叫处，而被水平管中的流体带走。这种作用叫空吸作用。空吸作用。 2、流速计（皮托管、流速计（皮托管）分析：皮托管是粗细均匀的水平管，分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，是一根直管，b是一根直是一根直角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（角

12、弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的处），弯管下端的管口截面与流线垂直（管口截面与流线垂直（d处），在处），在d处形成速度为零的滞流区。处形成速度为零的滞流区。比较图比较图c、d两处的压强可得两处的压强可得dcPvP221由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、d两点的高度差，即可求得流速两点的高度差，即可求得流速图图2-6 流速计原理流速计原理图图2-7是一种皮托管的简单装置是一种皮托管的简单装置测量时放在待测流速的流体中，测量时放在待测流速的流体中，2处流速为零，形成滞流区，处流速为零，形成滞流区，1孔的

13、孔的孔面平行于流线，流速不为零孔面平行于流线，流速不为零两处的压强差可从两处的压强差可从U形管中液面的形管中液面的高度差测得，即高度差测得，即ghvPP22121由上式可得ghv2图图2-7 皮托管皮托管3、流量计、流量计图图2-8 文特利管文特利管 如图所示，在变截面的水平管的如图所示，在变截面的水平管的下方，装有下方，装有U形管，内装水银，测量形管，内装水银，测量水平管内的流速时，可将流量计串联水平管内的流速时，可将流量计串联于管道中，根据水银面的高度差，即于管道中，根据水银面的高度差，即可求出流量或流速。可求出流量或流速。 粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有粗、细两处各物理量见

14、图所示，根据伯努力方程有2222112121vPvP由连续性方程有由连续性方程有2211vSvS由图可知由图可知ghPP)(21由以上由以上3式，解得流量为式，解得流量为)()(22221212211SSghSSvSvSQ二、流速和高度的关系（小孔流速）二、流速和高度的关系（小孔流速）图图2-9 小孔流速小孔流速大容器下部有一小孔，小孔的大容器下部有一小孔，小孔的面积比容器内液体自由表面的面积比容器内液体自由表面的小很多，液体可视为理想流体，小很多，液体可视为理想流体，根据连续性方程，小孔处流出根据连续性方程，小孔处流出液体时，容器自由表面高度液体时，容器自由表面高度h下降非常缓慢，可近似为自

15、由下降非常缓慢，可近似为自由表面的速度为零。实际上，随表面的速度为零。实际上，随着液面的下降，小孔处的流速着液面的下降，小孔处的流速也会逐渐下降，严格说来，并也会逐渐下降，严格说来，并不是稳定流动。但因小孔径极不是稳定流动。但因小孔径极小，若观测时间很短，液面高小，若观测时间很短，液面高度没有明显变化，仍然可以看度没有明显变化，仍然可以看作稳定流动作稳定流动对于任一流线，由伯努利方程得对于任一流线，由伯努利方程得20021vpghp由上式得由上式得ghv2结果表明，小孔处流速和物体自高度结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由下落得到的速处自由下落得到的速度是相同的。这一关系是意大利物理学理学

16、家、数学家托里度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、数学家托里斥利（斥利（(E.Torricelli)首先发现的，又称为托里斥利定理。它首先发现的，又称为托里斥利定理。它反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势能与动能之间的转换关系。能与动能之间的转换关系。 实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面S代代替替S，则有，则有ghSvSQ2例例2-2 一开口水槽中的水深为一开口水槽中的水深为H，如图例，如图例2-2所示。在水面下所示。在水面下h深处开一小孔。问：（深处开一小孔。问

17、：（1）射出的水流在地板上的射程）射出的水流在地板上的射程S是多是多大大?（2）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的水流有相同的射程？（水流有相同的射程？（3）小孔开在水面下的深度）小孔开在水面下的深度h多大时，多大时，射程最远？射程多长？射程最远？射程多长？图图 例例2-2 解解：（：（1）222221112121vghpvghpP1=P2=P0，h1=H，h2=H-h 解得：解得：ghv22从小孔射出来的水流作平抛运动，射到地面时间为从小孔射出来的水流作平抛运动，射到地面时间为ghHt)(2其射程为其射程为 )(22hHhtvs（2）假

18、设在另一个开一小孔，其离液面高度为）假设在另一个开一小孔，其离液面高度为h，按上，按上述计算方法可求得其射程为述计算方法可求得其射程为)(2hHhs若有相同射程，即有若有相同射程，即有s=s 解得解得 h=H-h（3）要使）要使s最大，只要求最大，只要求s的极大值即可的极大值即可 2Hh 最大射程为最大射程为 求得求得三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得2211ghPghP高处压强小，低处压强大高处压强小，低处压强大解释体位对血压的影响解释体位

19、对血压的影响可见测血压要注意体位可见测血压要注意体位2-4 粘性流体的流动粘性流体的流动一、粘性流体的运动一、粘性流体的运动1、层流和湍流、层流和湍流层流：粘性液体的分层流动，相邻两层之间层流：粘性液体的分层流动，相邻两层之间只作相对滑动，流层间没有横向滑动，机械只作相对滑动，流层间没有横向滑动，机械能不守恒，轴线上速度最大，管壁最小。能不守恒，轴线上速度最大，管壁最小。湍流：湍流：当液体在管中流速很大时，液体的流动不再保持分当液体在管中流速很大时，液体的流动不再保持分层流动状态，而变成无规则的运动，这时流体的流动有垂层流动状态，而变成无规则的运动，这时流体的流动有垂直管轴的分速度，而且还会出

20、现涡流，整个流动显得杂乱直管轴的分速度，而且还会出现涡流，整个流动显得杂乱而不稳定而不稳定 图图2-11 粘性流体的流动粘性流体的流动2、牛顿粘滞定律、牛顿粘滞定律dxdvSf牛顿粘滞定律牛顿粘滞定律说明：说明：（1）dv/dx表示速度梯度，表示速度梯度，S表示层与层的接触面积，表示层与层的接触面积，为流体的粘滞系数为流体的粘滞系数（2）粘滞系数的物理意义：速度梯度为）粘滞系数的物理意义：速度梯度为1时，单位面积上的粘滞阻力时，单位面积上的粘滞阻力（3）粘滞系数的单位：）粘滞系数的单位：Pa.s（4）粘滞系数的大小由流体的性质和温度决定）粘滞系数的大小由流体的性质和温度决定（5）牛顿流体和非牛

21、顿流体：遵守牛顿粘滞定律的流体为牛顿流体，如水）牛顿流体和非牛顿流体：遵守牛顿粘滞定律的流体为牛顿流体，如水和血浆；不遵守牛顿粘滞定律的流体为非牛顿流体，如血液和血浆；不遵守牛顿粘滞定律的流体为非牛顿流体，如血液图图2-12 粘性力粘性力 速速度梯度度梯度3、雷诺数、雷诺数雷诺数雷诺数Re （1）Re 1500时，流体作湍流时，流体作湍流 （3）1000 Re 1500时，流体流动不稳定时，流体流动不稳定例例2-3 主动脉的内半径为主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘滞系数、，血液的流速、粘滞系数、密度分别为密度分别为0.25m/s 、0.003Pa.s、1050kg/m3 ，求雷诺数并

22、，求雷诺数并判断血液以何种形态流动。判断血液以何种形态流动。(Re=875)结论：液体的粘滞系数愈小、密度愈大，愈容易发生湍流，结论：液体的粘滞系数愈小、密度愈大，愈容易发生湍流，细管不容易发生湍流；而弯曲的管子容易发生湍流。细管不容易发生湍流；而弯曲的管子容易发生湍流。vrRe说明：说明： 二、二、 粘性流体的运动规律粘性流体的运动规律结论：要使粘性流体匀速流体，两结论：要使粘性流体匀速流体，两端必须有压强差端必须有压强差图图2-13 粘性流体在水平管中的压强分布粘性流体在水平管中的压强分布几条竖立直管的液面说几条竖立直管的液面说明，粘性流体在水平管明，粘性流体在水平管作稳定流动时，液体的作

23、稳定流动时，液体的压强是逐渐减少的，在压强是逐渐减少的，在这里伯努力方程不再适这里伯努力方程不再适用，因为流动过程中动用，因为流动过程中动能和势能都没有改变，能和势能都没有改变，而压强逐渐减少，这种而压强逐渐减少，这种现象只能用粘性流体在现象只能用粘性流体在流动过程中要克服粘滞流动过程中要克服粘滞阻力作功来解释。阻力作功来解释。 1、泊肃叶公式、泊肃叶公式式中式中R是管子的半径，是管子的半径，是流体的粘度，是流体的粘度，L是管子的长度。是管子的长度。 粘性流体在等截面水平细管作稳定流动时，如果雷诺数不粘性流体在等截面水平细管作稳定流动时，如果雷诺数不大，则流动的形态是层流。大，则流动的形态是层

24、流。泊肃叶公式：泊肃叶公式：LPRQ84说明：说明：图图2-14 泊肃叶公式的泊肃叶公式的推导推导泊肃叶公式又可写成如下形式泊肃叶公式又可写成如下形式 值得注意的是，流阻与管半径的四次方成反比，半径的微小值得注意的是，流阻与管半径的四次方成反比，半径的微小变化就会对流阻造成很大的影响。血管可以收缩和舒张，其变化就会对流阻造成很大的影响。血管可以收缩和舒张，其半径变化对血液流量的影响是很显著的。半径变化对血液流量的影响是很显著的。fRPQ48RLRf式中式中其物理意义是：当粘性流体流过一个水平均匀细管时，体积其物理意义是：当粘性流体流过一个水平均匀细管时，体积流量与管子两端的压强差成正比，而与流

25、阻成反比。流量与管子两端的压强差成正比，而与流阻成反比。称为流阻称为流阻流阻的单位：流阻的单位：3msPa流阻的串并联流阻的串并联fnfffRRRR21fnfffRRRR111121例例2-4 成年人主动脉的半径为成年人主动脉的半径为1.3cm。问在一段。问在一段0.2m距离距离内的流阻和压强降落是多少？设血流量为内的流阻和压强降落是多少？设血流量为 ，1341000. 1smsPa3100 . 3解：解：)1097. 5)103 . 1 (14. 32 . 0100 . 388344234msPaRLRf（)(97. 51097. 51000. 144PaQRPf可见与平均动脉压可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不相比，主动脉的血压降落是微不足道的足道的 2、斯托克司定