成人高考专升本《高等数学二》复习教程

1、第一讲 函数、一、理论要求1.函数概念与性质2.极限3.连续二、题型与解法A. 极限的求法高等数学二复习教程连续与极限函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）（ 1）用定义求（ 2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（ 3）变量替换法（ 4）两个重要极限法（ 5）用夹逼定理和单调有界定理求（ 6）等价无穷小量替换法（ 7）洛必达法则与 Taylor 级数法（

2、 8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1arcta n x xarcta n x x1. lim3 liX. . 0x3In(1 2x )2x3 *-1 （等价小量与洛必达）62已知 limSin6x3xf(x),求 lim6 f(x)x3x2x_ xx_刃2#lim sin 6x + xf (x)解：x0x3=limx _ 06cos6x f (x) xy'3x2#M -36sin6x 2y' xyx °6x-lim 一216cos6x 3y'' xyX 06#-2163y''(0)6y''(0) = 726 f

3、(x)2x72.362（重要极限）（洛必达）2xx J4已知a、b为正常数,求 xim0(bx2x解：令t =（丄)ln t =3l n(ax2xbx) -ln233匹1nt二匹口阮M讥尹（ab）（变量替换）t 二(ab)3/2#15. lim/cos x)ln(1 x)1解：令 t = (cosx)ln(1 *), int1 ln(cosx)ln(1 +x )lim In t = lim tanx = _丄.t = e 4/2 (变量替换)xoxo 2x2xt f(t)dt6.设 f'(x)连续，f(0) =0, f'(0) = 0，求 lim 十1x2J f(t)dt(洛必

4、达与微积分性质)_27.已知 f（X）二ln(cosx)x ,x0在x=0连续，求aa, x = 03三、补充习题(作业)4#(洛必达)2. lim ctgx(X _ 01sin xX t2x 0 e dt(洛必达或Taylor)(洛必达与微积分性质)#基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导第二讲导数、微分及其应用1. y = y(x)由,x = arcta n t、2y _ty2 7 =5决定，求dydx一、理论要求1导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程2微分中值定理理解 Roll、L

5、agrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算#2. y = y(x)由 ln(x2 y) =x'y sin x决定，求 鱼 |x=0 = 1 dx解：两边微分得 x=0时y = ycosx二y，将x=0代入等式得y=1B.曲线切法线问题3. y = y(x)由2xy = x y 决定，则 dy|(ln2 1)dx4求对数螺线'=e7在(J R =(e二/2,二/2)处切线的直角坐标方程。解：丿'9 Ax = e cos 灯仃/ 2日

6、j(x, yHeNQe )，y'ji/ -1 y =e sin 日5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6，f(6)处的切线方程。解：需求f (6), f'(6)或f (1), f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0f (1 +sin x) _3 f (1 _sin x) limx3si nxsinx-lim f(1 t f(1) . 3f(1-t)-f(1)_ tmottC.导数应用问题= 4f' (1) =8.f'(1)=2.

7、y=2(x-6)6已知 y 二 f (x)对一切x 满足 xf''(x)2xf'(x)2若f'(Xo) =O(Xo =0)，求(xo,yo)点的性质。5#D.幕级数展开问题解：令xx3代入，f''（x。）=7. y 2， (x-1)2x0e"x°j>O,x° >0，故为极小值点。> 0, X0 £ 0求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域 x （-：,1）（1,：）y' = 0=驻点 x = 0及 x = 3y'' = 0=拐点x=0; x=1:铅垂；

8、y=x，2:斜8求函数y =（x-1）e二/2航曲的单调性与极值、渐进线。解：y' = x2 7e：/2 翻nx =驻点 x = 0与x = -11 +X2渐：y=e (x-2)与y=x-2d x29.sin(x t) dt 二 sin x1(X_t)2(2n4)sin(x-t)2 =(x-t)2(x-t)6-(T)n-3!(2n 1)!sin(x-t)2dt -(x-t)3 丄(x_t)7 亠 亠(-1)n1 ° °、33!7(4n -1)(2n+1)!X21317sin(x -t) x x033!7x4n4sin(x-t)2dt =x2 -丄x6dx 03!:1

9、) *(4n1)(2 n+1)!2(2n -4)爲(T)n_Xsinx2(2n + 1)!d 02d x 22或： x t = u ： sin u (du)sin u du 二 sin xdx xdx 010.求 f(x) =x2l n(1 x)在 x=0 处的 n 阶导数 f (n)(0)65x+3E.不等式的证明(n)(0) =(-1)2n!n -211.设x (0,1)23n 2解：x21 n(1 x)=x2(xXX(_i)n上o(xn-)23n 2nn 1 xn(-1) o o(x )n 27#2 2 1 111求证(1 x)1n (1 x) ： x ,1 ：In 2In(1+x)x2

10、证：1 )令 g(x) = (1 x)In2(1 x) -x2,g(0) = 0g'(x),g''(x),g'''(x)摯 込 0,g'(0)= g''(0) = 0(1 +x).x (0,1)时g''(x)单调下降，g''(x) ： 0,g'(x)单调下降 g'(x) ： 0, g(x)单调下降，g(x) : 0;得证。1 12)令 h(x),x (0,1), h'(x) ： 0,单调下降，得证。F.中值定理问题In (1 + x) x12.设函数f (x)在-1，

11、具有三阶连续导数，且f(_1)= 0, f(1)=1，f'(0) = 0,求证：在(-1, 1)上存在一点，使f'''() = 31 2 1 3 证：f (x)二 f(0)f'(0)x f''(0)x f'''( )x!3!其中 (0,x),x -1,11 10 = f(-1) = f (0)f''(0) - f'''( 1)将x=1，x=-1代入有26111 二 f(1) = f (0)f''(0)f'''( 2)26两式相减：f&#

12、39;''( 1) f'''( 2) =6 11，2, f'"( )f'"( 1) f'"( 2) =32222413. e a : b e ，求证：In b Tn a 2 (b a)e、.f(b) f(a)证：Lagrange :f ()b -a8#令 f(x)In2 b -In2 a =In x,-2lnb a#三、补充习题（作业）令(t)二lntln2 b - In2 a,'：0. ）（e2）.丄4不(b - a)e（关键：构造函数）22e1 -x31. f (x) =ln_，求y

13、9;'(0) = r1+x2=etsin 2t亠从小斗2曲线t 在(0,1)处切线为y+2x1=0y = e cos2t1i3. y =xln(e - -)(x0)的渐进线方程为y二xxe2 24. 证明 x>0 时(x -1)Inx_(x-1)2证：令 g(x) =(x2-1)lnx -(x-1) ,g'(x),g''(x),g'''(x)二22(x -1)3xg(1) =g'(1) =0, g''(1) =20xE(0,1),g“'£0,g、2x (1,0,g'' 2 g

14、'' 0 =X (0,1),g'c0 严(1 严),g、0第三讲不定积分与定积分一、理论要求1不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不疋积分（基本公式、线性、凑微分、换兀技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、弓1力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算fdxfdx. x - 2 丄小1. arcs inC-x(4 _ x)4 _ & _ 2)222. e2x (tan x 1)2 dx = e2x sec2

15、xdx 2 e2x tan xdx 二 e2x tan x C3.设 f (ln x)二 一，求 f (x)dx10B.积分性质解:f(x)dx 二4.ln(1 e )_xx、=e_ ln(1 e )(1dxxe1 ex)dx = x -(1 e" ) In( 1 ex) C:arctanx ,1,2 dx = arcta n x1x2x2X + didx2In+15. f (x)连续，®(X)= |0在X = 0的连续性。f (x)f (xt)dt,且 limi=A，求(x)并讨论'(x)1.11x0 f(y)dy 解：f(0) =(0) =0, y 二 xt=(

16、x)二-0-x'(x)二xf(x)-J(y)dy(0)/”(0rA/2(0)2xm6.加宀皿dd2dxx220 f(y)d(y)=xf(x )x0 f(x2 -t2)d(t2 -X2)1.#厶u入C.积分的应用3a 27设 f (x)在0,1连续,在(0,1 )上 f (x) A 0 ,且 xf'(x) = f (x) + x , 2又f (x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f (x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：2 ( f(X)=西二 f (x 3a x2 ex 常 f(x)dx=2. c = 4 a dx x 2203a 212.f(x) x (4-1)x V&

17、#39;=(二 o y dx)'=0. a - -58曲线y =、x -1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。2L解：切线y = x/ 2绕x轴旋转的表面积为° 2二yds = 5二 .2厂曲线y二x-1绕x轴旋转的表面积为2二yds(5、5-1)1 6总表面积为.(1V.5 -1)6三、补充习题(作业)In sin x.2sin xdx 二-cot x In sin 2x - cot x - x C2. 一 dxx -6x 131.123.arcs in x13#第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何、理论要求1向量代数理解向量的概念（单

18、位向量、方向余弦、模）2多元函数微分了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3. 多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagra nge乘数法求极值4空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离、题型与解法A.求偏导、全微分1. f（X）有二阶连续偏导,z = f (ex sin y)满足 zzyy = e2xz，求#f(x)解：f”_f =0= f (u) = Geu c2e1.： 2z2. z

19、f(xy) y (x y),求 -x；xyB.空间几何问题C.极值问题3. y 二 y(x),z 二 z(x)由z 二 xf(x y), F (x, y,z)二 0决定，求 dz/ dx4. 求z = : a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：x/ . x0y/. y0 z/. z0 二 Ja二 d =a2 2 25. 曲面x2y 3z -21在点(1,-2,2)处的法线方程。6. 设 z = z(x, y)是由 x26xy 10y22yzz2 18 二 0确定的函数，求z = z(x, y)的极值点与极值。三、补充习题（作业）§21.f（xy,-） g（y）,求'二

20、y xcxcy2.z 二 f (xy,xg*),求兰y x 次3. z 二 u ,u = In . x2 y2, 二 arctan*,求dzx第五讲多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球) b y2(x)I 冲心 f(x,y)dyd-f(x, y)dxdy =Dy1(x)r2(T2 f(rc)rdrJJJf (x, y,z)dxdydz= “Vb y2(x)z2(x,y)dx dy f (x, y, z)dzy1(x)3 S1(x,y)'，八 /z202(z)r2(z£dz d9 f a$1咱(z)”r1(z,日d j d :f (r

21、, v, Jr2 sin drbMg v 7f (rj,z)rdr会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量)z 二 f(x,y)二 A 二 D 1 z'x z'：dxdy2曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系,L f (x,y)dl -L: y = y(x) -"x = x(t)y = y(t) 一Pf (r cos日，r sinL:r = r(v)=掌握两类曲线积分的计算方法(f(x, y(x)J + y'xdx ;.'f(x(t), y(t),x'2 y'idt 小 r2 r'2d v3曲面积分熟

22、悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件理解两类曲面积分的概念(质量、通量) 、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分人"(x,y)f (x, y,z)dS = UDxy f(x,y,z(x,y)J'i +z'2+z'2dxdyGauss:sE dS ： iii ； EdV(通量，散度)Stokes: ；F dr 二 s0 F) dS(旋度)二、题型与解法A.重积分计算1.1= ff(x +y )dV,0 为平面曲线 *2v 2z绕z轴旋转一周与 z=8x = 015#2z n 1024:r rdr =03的围域。82282H解：

23、"0 " y2z(Xy)dxdyJdz0 dj#2.=仏一2寸4a -x-x2 (a0)dxdy, D 为 y = _a , a2 -y216#y 二-x 围域。(I = a12)3. f (x,y)二广 2x y,1 Ex 兰 2,0 兰 y Exo,其他，22求 II f (x, y)dxdy, D : x y - 2x (49/20)B.曲线、曲面积分4. I = (exsin y -b(x y)dx (ex cosy-ax)dyLL从A(2a,0)沿y = 2ax -x2至0(0,0)解:I = 1L L12a兀i : .i i(b -a)dxdy - 0 (-bx

24、)dx =(L1D2-2)a2b -25. I=，L詈罟丄为以(讪为中心，R( J)为半径的圆周正向。解:2x = r cos&取包含(0,0)的正向L1:丿，y = r sin 日- -0JJL1L丄16对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S,I xf (x)dydz - xyf (x)dzdx -e2xzdxdy = 0，且 f (x)在 x>0 有连续一S= -L1阶导数，Jim f(x)=1,求 f (x)。解: 0=?F dS = 垮FdV = JJb(f(x)+xf'(x) xf(x)e2x)dVy'(丄 _1)y =丄 e2x 二 y = d(ex

25、T)xx第六讲常微分方程一、理论要求1一阶方程2高阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求 y"n)= f(x), y''二 f (x, y')(y'二 p(x),y''二 f (y,y')(y'二 p(y)173二阶线性常系数人学入2 t yi =Ciex *20护yi =(ci +C2X)e'x侪次）2y'' py' q 二 0二， p,；” -q = 018/.:氏-i 卩 j yi = e x (ci cos x C2 sin : x)式 kT y2 = Qn

26、(X)eXf(x) = Pn(x)e” =心=鮎o臥2 t= Qn (x)xX(非齐次)a =鮎 and2 t y =Qn(x)x2ezxf(x)二ex(pi (x)cos ：x pj (x)sin -x)ot 士iBH&T y2 =ea(qn(x)cos+rn(x)sinEx(非齐二丿a土iB=T yxe(qn(x)corn(x)sinBx(n = max(, j)次)二、题型与解法A.微分方程求解2 2 2求 (3x 2xyy )dx (x2xy)dy = 0 通 解#(xy223-x y _x=c)2利用代换yucosx化简 y''cosx-2y'sinx

27、 3ycosx = ex并求通解。#(u'' Vu =exxe2c2 sin x5 cosxcos2xy = cicosx#13设y =y(x)是上凸连续曲线，(x,y)处曲率为，且过(0,1)处y'1 + y'2切线方程为y=x+i，求y =y(x)及其极值。11解：y'' y'2 1 = 0= y = In | cos( - x) | 1 In 2, ymax = 1 In 2422三、补充习题（作业）yAx上1已知函数y=y(x)在任意点处的增量 yo(.)x), y(0)=理,求y(1)。e4)1 +x11. 求 y'&#

28、39;-4y=e2x 的通解。(y = qe “ c2e2xxe2x)43求(y . x2y2 )dx -xdy =0(x 0), y(1) =0 的通解。(y =(x2 T)21 14求 y''-2y'-e2x =0,y(0) =y'(0) =1 的特解。(y(3 2x)e2x44第七讲无穷级数一、理论要求1收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2幕级数幕级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幕级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 展开3

29、.Fourier 级数了解Fourier级数概念与 Dirichlet收敛定理 会求-1,丨的Fourier级数与0,1正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1. 行列式2. 矩阵会用按行（列）展开计算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幕、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性

30、组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合冋矩阵与合冋变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古

31、典型概率与几何型概率2随机变量与分布3二维随机变量4数字特征5.大数定理6数理统计概念7. 参数估计8. 假设检验第十讲总结1.极限求解掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函 数理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望 了解切比雪夫不等

32、式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解 2分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验变量替换(r -作对数替换)，洛必达法则，其他(重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换)1a2a(n 1) aa1. lim (x ) (x ) . (x) = x(几何级nnn2数

33、)2. lim (Zarccosx)1" =e®2(对数替换)X - 0 二ta nP!im(2-x) 222#n nn -1(x -a ) na (x a) lim厂x-a(x _ a)#2导数与微分3元函数积分1 -cos2x c2，x <0x6. f (x)=4, x = 0xcostdt- (x 0)x，求 lim f (x)X孚复合函数、隐函数、参数方程求导1. （a）x（b）a（b'b x ay2. arctanx-sin（x-y）=0， x求 dy/dxX et COSt 决定函数 y = y(x)，求 dy y = e si nt2 2 24.已知