第三章习题课

1、二、二、 导数应用导数应用习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三三章 洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率

2、曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 微分中值定理的主要应用微分中值

3、定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯西中值定理柯西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大

4、放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设函数在)(xf),(ba内可导, 且,)(Mxf证明在)(xf),(ba内有界. 证证: 取点, ),(0bax 再取异于0 x的点, ),(bax对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之间与界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定数)可见对任意, ),(bax,)(Kxf即得所证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设在)(xf 1 ,0内可导, 且,0) 1

5、(f证明至少存在一点)(f, ) 1 ,0(使上连续, 在) 1 ,0()(2 f证证: 问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数)()(2xfxx 显然)(x在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至, ) 1 ,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且,0ba 试证存在).(2)(fbaf使, ),(,ba证证: 欲证,2)()(fbaf因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxx

6、f),(,2)()()(22bafabafbf将代入 , 化简得故有),(2)(fbaf),(,ba即要证.2)()(22fababf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设实数满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .010nnxaxaa证证: 令,)(10nnxaxaaxF则可设121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上连续在显然xF且)0(F由罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使,0)(F即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1,0(内可导在,0) 1 (

7、F例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1 , 00 x设设有有展成一阶泰勒公式展成一阶泰勒公式处把处把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则有则有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注意到注意到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,

8、1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命题成立可知命题成立的任意性的任意性由由 x二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 : 求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证明不等式证明不等式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0)

9、,(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即的连续性及导函数例例7. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在区间 上是凸弧 ;拐点为

10、),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数上可导，在),()(xf的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1x0,)在( )f x),0(上单调增加.机动 目录 上页 下页 返回 结束 在上连续，上可导，为单调增加函数，证明在例例8:已知( )fx(0)0f( )( )f xg xx0,)证明证明:2( )( )( ),xfxf xg xx令(

11、)( )( ),xxfxf x则(0)0.设12,xx根据Lagrange中值定理,21222111221121()()()() ()()()() ()()xxx fxf xx fxf xx fxx fxf xf x22112112()()( )(),( ,)x fxx fxfxxx x2211()( )()( )0 xfxfxfxf因此( )g x在0,)上单调增加.例例9. 设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)()(xfexx则 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,

12、0 xe因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其它不变时, 如何设辅助函数?)()(xfexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求数列nn的最大项 .证证: 设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因为)(xf在),1只有唯一的极大点,ex 因此在ex 处)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项 .极大值机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别:例例11. 证明. )0(1arct

13、an)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时, 如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:例例12. 设,0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且单调递减 , 证明对一切0,0ba有)()()(bfafbaf证证: 设, )()()()(xfafxafx则0)0()()()(xfx

14、afx)0(0 x所以当时，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. ,10:时当证明 x.112xxex证证: 只要证) 10(01)1 (2xxexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1)1 ()(2xexxfx设0)0(f则, 1)21 ()(2xexxf0)0( f) 10(04)(2 xexxfx利用一阶泰勒公式, 得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0222xxe故原不等式成立.例例14. 证明当 x 0 时,.) 1(ln) 1(22xxx证证: 令,) 1(ln)

15、1()(22xxxxf则0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1 由)(xf在1x处的二阶泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所证不等式成立 .与 1 之间)机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 列表判别:,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )

16、(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx时故当即.) 1(ln) 1(22xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例16 利用泰勒公式求极限3432lim ( 11)xxxx1 33122lim (1( )(1()( )34xxooxxxx332434lim(32)xxxxx原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 11323lim ( )( )22xxooxxxx例例17. 求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1 (