等比数列知识点并附例题与解析

1、等比数列知识点并附例题及解析1、 等比数列的定义：电q q 0 n 2,且n N* , q称为公比an 12、通项公式：n 1anaga1nqA Bn a1 q0,A B0，首项：a1 ;公比：qq推广：anmamqqn m 色amq n:m云1 am3、等比中项：(1)如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A ab或ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个(4、(2)数列an是等比数列an 1 an 1等比数列的前n项和sn公式:(1)当 q 1 时，Sn(2)当 q 1 时，Sna1A A Bn A'Bn A' ( A, B,A&#

2、39;,B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n，都有aman 1qan或anq(q为常数，an0)an为等比数列(2)等比中项：an2an 1an 1 (an 1 an1 0)an为等比数列(3)通项公式:an A Bn A B 0an为等比数列6等比数列的证明方法:依据定义：若anan 1q q 0 n 2,且n N*或an 1 qa“a.为等比数列7、等比数列的性质：(2) 对任何m, n N*，在等比数列an中，有a. amqn m。(3) 若 m n s t(m,n,s,t N*)，则 an am as at。特别的，当 m n 2k 时,2得 anama

3、k注：a1 an a2 an 1 a3an 2(4) 数列a*，bn为等比数列，则数列， ka*，an ， k a*bn，-anbn(k为非零常数)均为等比数列。(5) 数列an为等比数列，每隔k(k N*)项取出一项(am,am k,am 2k, am 3k,)仍 为等比数列(6) 如果an是各项均为正数的等比数列，则数列log a an是等差数列(7) 若an为等比数列，则数列Sn，S2n &，翁，成等比数列(8)若an为等比数列，则数列a1a2an ,an1an2 a2n，a2n1 a2n 2a3n成等比数列(9)当q1 时，;0,贝Wan为递增数列 o,贝吒和为递减数列a1 0

4、，则an为递减数列当0<q1时，a1 0,则an为递增数列 当q 1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)； 当q 0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列an中，当项数为2n(n N*)时，§奇-S偶q二例题解析【例1】已知S*是数列a n的前n项和，冷=pn(p R，n N*)，那么数列a n-()A.是等比数列B.当pM0时是等比数列B. C.当 pM 0，pM 1时是等比数列D.不是等比数列【例2】已知等比数列1，X1，X2，X2n，2,求 X1 X2 X3X2n.1【例3】等比数列an中，已知a2 = 4, a5 =-，求通项公式；(2)已知 a3 a4 玄5=

5、 8,求 a2a3a4a5a6 的值.【例4】求数列的通项公式：a n中，a1 2, an+1 3an + 2(2)a n中，a1=2， a2 = 5,且 an+2- 3an+l + 2an = 0考点分析考点一：等比数列定义的应用1 4仁数列an满足an3an1 n 2，a13，则a4在数列an中，若a11， an 12an 1 n 1 ，则该数列的通项考点二：等比中项的应用1、已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，贝U a?(D.102、若a、b、c成等比数列，贝u函数y2 axA.B. 13、已知数列an为等比数列，a32，a2a4C.8bx c的图象与x轴交点的个数

6、为D.不确定2020，求an的通项公式.考点三：等比数列及其前n项和的基本运算9，末项为81、若公比为-的等比数列的首项为3B则这个数列的项数是an已知等比数列an中，a3ai0384 ,则该数列的通项3、若an为等比数列，且2a4氏as,则公比q4、 设ai，a2，a3，成等比数列，其公比为2，则2ai屯的值为（）2a3 a41iiA. 1B . 1C. -D. 142815、 等比数列an中，公比 q= 且 a2+a4+ +a1oo=3O，贝U +&+2+a100=.考点四：等比数列及其前n项和性质的应用1、在等比数列an 中,如果a66，比9，那么a3为（）316A . 4BC.

7、D.2292、如果1 ， a，b， c，9成等比数列,那么（)A . b 3， ac9B.b 3， ac9C . b 3， ac9D.b 3，ac 93、在等比数列an中，a11，a103，贝U 8283848586873889 等于()B . 275 27C.3D. 2434、在等比数列an中，比aioa a 0 ,a®a?。b,则agg印。等于（）Ab9厂b9b1010bA. 8BC9Daaaa5、在等比数列an中，a3和a5是二次方程x2 kx 50的两个根,则a2a4a6的值为（）A. 25B. 5.5C.5、5D.5.56若an是等比数列，且an0，若 a?a42玄3玄5玄

8、4玄625，那么a3 a5的值等于考点五：公式a nS1, (n1)的应用Sn Sn 1 , (n2)1、 若数列的前n项和S=ai+a2+an，满足条件log 2S=n,那么an是（）A.公比为2的等比数列B.公比为丄的等比数列2C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和S=2n-1，则前n项的平方和为（）A.（2n-1）2B.丄（2【1）2C.4n-1D.1 （4n-1）333、设等比数列an的前n项和为S=3n+r，那么r的值为一、等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义an 1 an dan1 q(q 0) an递推公式anan1 d ；anamn md

9、-n manan 1q ； anamq通项公式ana1 (n 1)dan az( a1,q 0)中项八ankank/*、A( n, k N , n k 0)2GWankan k (a nkank0) ( n, k N , n k 0 )前n项和Sn (a1 an)2un(n 1)Sn na1d2n a,q1)Sna1 1 qn a1 a.q /44 (q 2)1q1q重要性质amana paq(m, n,p,q N*,m n p q)am ana p a q*(m, n, p,q N ,m n p q)二、等差数列的定义与性质定义：an 1 an d ( d为常数), 通项：an a1 n 1

10、 d等差中项：x, A, y成等差数列2A x ya1 an nn n 1,刖 n 项和：Sn1 - naid2 2性质：an是等差数列(1) 若 m n p q，贝U am an ap aq;(2) 数列a2n1 ,a2n,a2ni仍为等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍为等差数列，公差为n d ;(3) 若an, bn是等差数列，且前n项和分别为Sn, Tn，则S2m 1bm T2m 1(4) an为等差数列Sn an2 bn ( a, b为常数，是关于n的常数项为0的 二次函数，可能有最大值或最小值)(5) 项数为偶数2n的等差数列an 有S2n n(a1 a2n) n(a2 a?

11、."n(an an 1)(an,an 1 为中间两项)S偶S奇nd ,(6)项数为奇数2nS2n 1(2 nS奇a*S偶 an 11的等差数列an 有s1)an(an为中间项)，S奇 S偶 an ,.S偶n 1an定义:三、等比数列的定义与性质等比中项：x、G、y成等比数列 G2 xy，或Gxyn a1（q 1）前n项和：Sna1 1 qn(要注意 q !)彳(q 1)1 qq （ q为常数，q 0），通项：a. aR 1性质：an是等比数列(1)若 m n p q，贝U am- a.ap- aq Sn, S2nSn,S3nS2n仍为等比数列，公比为四、数列求和的常用方法:1、裂项分

12、组法:112(1111n( n1 1341 1L2 33 4111-)(-)(匚 )2231 nn 1 n 11)L (-n宀）11,21,3 ,4丄丄 的前n和是：3 92781111 1C+ 2+ 3+ 4+ L ) + ( + + L )3 9 27 812、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 例：求Sn =x 3x 2 5x 3L(2n-5)x n-2(2n-3)x n-1(2n-1)x n (x1)解:Sn =x 3x 2 5x3L(2n-5)x n-2(2n-3)x n-1(2n-1)x n (x1)23xS n =x3x5x4Ln-1(2n-5

13、)xn(2n-3)xn+1(2n-1)x(x1)减得:(1 x)Sn =x2x2 2x3 L2xn-1 2xn2n 1 xn+12 n-1n+12n 1 x2x 1 xx1 x从而求出Sn 。错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；(2)将式左右 两边都乘以公比q,得到式；(3)用 ，错位相减；(4)化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：Sn=a a2a3Lan2 an 1anSn=anan 1an 2La3a2a1两式相加可得:2Sn = a1ana2an 1a3an 2La3an 2a2 an 1a1 an即：2Sn n a1 a

14、n所以S n a1 anSn2等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Sn= pn(p R, n N*)，那么数列a n-A. 是等比数列B. 当pz 0时是等比数列C. 当pz 0，pz 1时是等比数列D. 不是等比数列【例2】已知等比数列1，X1，X2，X2n，2，求X1 X2 X3 X2n.【例3】等比数列an中，已知a2 =4, a512，求通项公式；(2)已知 a3 a4 a5 = 8, 求 a2a3a4a5a6 的值.【例4】已知a>0, b>0且b，在a, b之间插入n个正数，x?,xn，使得a, X2，xn, b成等比数列，求证n x2x2xn V【

15、例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b c)2 + (c a) 2+ (d-b)2= (a d)2.【例6】求数列的通项公式：(1)a n中，a1 = 2， an+1 = 3an+ 2a中，ai=2，5，且 an+2 3an+1 + 2an= 0【例7】 若实数a1> a2、a3、a4都不为零，且满足(a： + a；)a； 2a2 (a1 + a3)a4 + a； + a： = 0求证：a1> a2、a3成等比数列，且公比为a4.【例8】若a、b、c成等差数列，且 a+ 1、b、c与a、b、c + 2都成 等比数列，求b的值.【例9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比

16、都是d,又知1,且 a4=b4， a1O=bio：求a1与d的值；(2)b 16是不是a n中的项?121【例10】 设an是等差数列，5=(丄)弘，已知b1 + b2 + b3二勺,281b1b2b3 =丄，求等差数列的通项.8【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数例 13】已知三个数成等差数列，其和为 126 ；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加， 分别得到 85

17、，76，84求 这两个数列例 14】已知在数列 an 中， a1、a2、a3 成等差数列， a2、 a3、a4成等比数列， a3、 a4、 a5 的倒数成等差数列，证明： a1、 a3、 a5 成等比数列【例 15】 已知 (b c)log mx(c a)log my(a b)log mz=0(1) 设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x， y， z 成等比数列数列(2) 设正数 x， y，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证： a，b，c 成等差等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Sn= pn(p R, n N*)，那么数列an A.是等比数列B. 当p

18、z 0时是等比数列C. 当pz 0, pz 1时是等比数列D. 不是等比数列分析由 Sn= pn(n N*), 有a =S = p，并且当n2时，an=Sn_ Sn-1 = Pn_Pn-1 = (P 1)p n-1p z 0故a2 = (p 1)p，因此数列a n成等比数列 p 1 z 0(P 1)pn1P(P 1)(p 2)pn 2p但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.说明 数列an成等比数列的必要条件是anz 0(n N*)，还要注a意对任n N * , n2,都为同一常数是其定义规定的准确含义.an 1【例2已知等比数列1, X1, X2，X2n, 2,求X1 X2 X3 X2

19、n.解/ 1, X1, X2，X2n, 2成等比数列，公比 q 2= 1 q2n+1x1x2x3x2n= q 2n (1+2 n)q 2n ( 2 n 1)q2n【例3等比数列a n中，已知a2 =4, a§ =1寸，求通项公式；(2)已知 a3 a4 a5 = 8, 求 a2a3a4a§a6 的值.1解(1)a5 = a2q5 2 q =24(-2)n2 =(2(2) J a3 a5 = a4 a3 = 一n 2 _an = a2q =1、n42 a3 = 8a4 = 2又 32 36 = 34-a2a3a4a5a6 = a4 = 32q2. q3.q2n=q1+2+3+

20、 +2n【例4】已知a> 0, b> 0且b，在a, b之间插入n个正数，x?,，xn，使得 a, xi，X2，, xn, b成等比数列，求a b2 .证 n X/2,xn V证明 设这n+ 2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1n 1b- qan 1 n XiX2,Xnn2nn aqaq aqaq 2 a b ab v2【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b c) 2+ (c=(a d)2.证法一 a、b、c、d成等比数列 a bcb cd b2= ac,c2= bd, ad= bc左边=b22bc +c2+ c2 2ac + a2 + d2 2bd + b2a) 2

21、+ (d b)2=2(b2 ac) + 2(c2 bd) + (a2 2bc + d2)=a2 2ad+ d2=(a d) 2=右边证毕.证法二/ a、b、c、d成等比数列，设其公比为q,则:23b= aq, c = aq , d=aq左边=(aq aq2) 2+ (aq 2 a) 2 + (aq 3 aq) 2=a2 2a2q3+ a2q6=(a aq3)2=(a d) 2=右边证毕.说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二则是把 a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决

22、的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性.【例6】 求数列的通项公式：(1)a n中，a1 = 2， an+1 = 3an+ 2a n中，ai=2,5，且 an+2 - 3an+1 + 2an= 0思路：转化为等比数列.解(1)a n+! = 3a n + 2%+! + 1 = 3(a n + 1)a n+ 1是等比数列 an + 仁3 3n-1 an=3n -1(2)a n+2 - 3an+1 + 2an = 0an+2 an+1=2(a n+1 an ) an+1 an是等比数列，即an+1 an=(a2 a1) "-1 =3 2"

23、-1再注意到a? a=3,a3 a2=321, a3=3 22，an an-1 =32n 2 ,这些等式相加，即可以得到n 1 丄2n-221n 1an = 31 + 2 + 22 + 2 = 3 2=3(2 1)说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知.(1)中发现an+ 1是等比数列，(2)中发现an+1 an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一 种体现.【例7】 若实数a1> a2、a3、a4都不为零，且满足(a： + a2)a2 2a2(a1 + a3)a4 + a； + a： = 0求证：a1> a2、a3成等比数列，且公比为a4.证 /a2、a3、a4均为不为

24、零的实数- (a1 + a2)x 2az(a1 +a3)x+a2 + 直=0为实系数一元二次方程等式(af +a2)a4 2a2+a3)a4 +a2 +云=0说明上述方程有实数根a° 上述方程的判别式0, 即卩2 2 2 2 2-2a2（ai + a3） - 4® + a?）®? + &3） =4（a；玄代）20二（a； a£3）2 w 0又a、a?、a3为实数 （a； - a）2 > 0 必有 a2 a1a3 = 0 即 a2 = a1a3因而a、a2、a3成等比数列又；a42a： （ai2（afa3）OITa2 （ aia3）2ai a

25、ia3aai a4即为等比数列aa2、ag的公比.【例8】 若a、b、c成等差数列，且 a+ 1、b、c与a、b、c + 2都成等比数 列，求b的值.解 设 a、b、c 分别为 b d、b、b + d,由已知 b d + 1、b、b + d 与 b d、 b、b+ d + 2都成等比数列，有b2 = (b - d + i)(b + d)b2 = (b - d)(b + d+ 2)整理，得222b = b - d + b + d222b = b -d + 2 b- 2d b+ d=2b- 2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d d+ 1)(3d + d)9d2=(2d + 1) 4d解之，得d

26、=4或d=0(舍) b=12【例9】已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d,又知1, 且 a4=b4， a10=b10：(1)求a1与d的值;(2)b 16是不是a n中的项?思路：运用通项公式列方程3a4 = b4ai + 3d = aid解由9aio = bio a1 + 9d = a1da1(1-d3) = - 3dai(1- d9)= - 9dd6 + d3 - 2 = 0di1(舍)或 d23 2 aid 3 2 d 3 2(2) v bi6=bi d15=-32b1且印=a1 + 3d = 2<2 = b4b4 = bi d3 = - 2b1 = - 23 2 b1

27、 = a1 =垃 2 b6= 32b = 32a，如果b6是a门中的第k项，则32a i =ai + (k 1)d (k 1)d= 33a1=33d k=34即b16是an中的第34项.121【例10】 设an是等差数列，bn =(-)an，已知b1 + b2 + b3二一,281 bib2b3 =1，求等差数列的通项.8解 设等差数列a n的公差为d,贝U an=ai+ (n 1)d1 -bn = (?)ai(n 1)d1 abib3 = (-) 1-(丄严(丄严+(2丿8111由b1b2 b3 = 1,解得b；二1 ,解得b2 =,代入已知条件8 8 2bib2b3b1 b2-8b3bib

28、3J理得bi + b3178解这个方程组，得1 、 1b1 =2，b3 = 8或b1 =8，b3 = 2 a= 1, d=2 或 ai=3, d= 2当 a = 1, d=2 时，an=a + (n 1)d=2n 3当 ai=3, d=2 时，an=a + (n 1)d=5 2n4就成等差数列，再把这个等【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加 差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.解法一按等比数列设三个数，设原数列为aq, aq2由已知：a, aq+ 4, aq2成等差数列即：2(aq + 4)=a + aq2a, aq+ 4, aq2 + 32成等比数列即：(aq + 4) 2=

29、a(aq 2 + 32)aq+ 2 = 4a，两式联立解得:这三数为：2, 6,18 或 9,2a=-9 q = 5 109509解法二按等差数列设三个数，设原数列为 由已知：三个数成等比数列b 4, b + d即：(b 4)2=(b d)(b + d)8b d2 = 16b d, b, b+ d + 32成等比数列即 b2=(b d)(b + d + 32)232b d 32d = 0、两式联立,解得:26b =-98d =-3或 d=802三数为2 ,9io950 或 2, 6 ,918 解法三任意设三个未知数，设原数列为a1,a2，a3由已知:ai，a2，a3成等比数列得: a2=aia

30、3ai， a2 + 4, ag成等差数列得：2(a 2 + 4)=a i + a3ai, a2 + 4, a3 + 32成等比数列得：(a 2+ 4) 2=ai(a3+ 32)、式联立，解得:说明将三个成等差数列的数设为29i0950a3 =-39aia?a d, a,3i = 2 a? = 6a3 = i8a+ d;将三个成aq）是一种常用技巧，可起到等比数列的数设为a, aq, aq2（或-,a,q简化计算过程的作用.【例i2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是i6,第二个数与第三个数的和是i2,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法

31、一 设前三个数为a d, a, a + d,则第四个数由已知条件可推得:(a d)2a方法二 设后三个数为b, bq, bq2，则第一个数由已知条件推得为2b bq .方法三 设第一个数与第二个数分别为 x, y,则第三、第四个数依次为 12- y, 16 x.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求 的四个数，解法一 设前三个数为a d, a, a+ d,则第四个数为吐.a,(a d)2“依题意，有a d+=16aa+ (a+ d) = 12解方程组得:a1 = 4a2 = 91或2d1 = 4d2 = 6所求四个数为：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.解法二 设后三个数为：b, bq, bq2，则第一个数为：2b bq依题意有：2b bq + bq2 = 16b+ bq = 12解方程组得：b2 = 9S =4C或1q1=2q2 =3所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1. 解法三设四个数依次为x, y, 12 y, 16 x.x+ (12 y) = 2y依题意有2y (16 x) = (12 y)2解方程组得：X1 = 0 亠 x2 = 15 或y1 = 4y2 = 9这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9,