本科生论文递推关系的求解及其应用

1、学科分类号 110.81 本 科 毕 业 论 文 题 目 递推关系的求解及其应用 姓 名 杭勤霞 学 号 1006020540017 院 （系） 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010级 指导教师 雍进军 职 称 讲师 二一四年 五 月贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结

2、果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 2014年5月11日贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书毕业论文题目递推关系的求解及其应用作 者 姓 名杭勤霞学号1006020540017年级2010级所属学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级数本（1）班指导教师签名职称讲师开题日期2013年7月10日主要目标 1、递推关系相关定义；2、递推关系所涉及的范围；3、递推关系的解决方法。主要要求 1、如何建立递推关系； 2、已给的递推关系有何性质； 3、以及如何求解及应用递推关系。主要内容研究的基本内容：递推关系的内容及意思，在组合，数例，矩阵中他们解法有什么不同 研究的基本思路：1、递推关系的

3、定义 2、递推关系的求解过程 3、递推关系用于哪些方面 研究的基本步骤：1、查阅相关资料,做好笔记 2、仔细阅读研究文献资料 3、在老师指导下,确定整个论文思路,列出论文提纲,撰写开题报告 4、 翻译英文资料 5、开题报告通过后,撰写毕业论文 6、上交论文初稿 7、反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述 8、论文定稿 9、填写各种表格,包括:文献综述、任务书，指导过程登记表等 贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论 文 题 目 递推关系的求解及其应用作 者 姓 名杭勤霞学号1006020540017年级2010级所属学院数计学院专业数学与应用数学班级数本（1）班指导教师姓名雍进军职

4、称讲师预计字数5000.00字题目性质应用研究日期2013年7月10日选题的原由：研究意义：在纷繁变幻的世界，所有事物都随时间的流逝发生着微妙的变化。而许多现象的变化是有规律可循的，这种规律往往呈现出前因和后果的关系 。即是说，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。而递推关系的思想正体现了这一规律。递推关系不仅在众多数学分支如组合、概率、几何、矩阵中起着重要作用，然而如何求解递推关系的问题我们在组合数学里已经学习特征法、生成函数法、迭代和归纳法这几种较好的方法。除此之外也在其它诸如信息学等科学领域中显示出独特魅力。因此学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养，更对今后进行学

5、术问题的推广研究起着举足轻重的作用。本文将围绕着递推关系的广泛应用及其体现出的递推思想展开论述。首先让我们明确什么是递推关系。研究动态： 至今，许多著名问题用递推法来解显得精巧简捷。如著名的杨辉三角(又称Pascal三角)就是根据组合公式 画出来的。很显然组合公式、杨辉三角都属于递推关系的范围。此外很多组合计数问题可建立递推关系来解决，往往显得更加的简单。在解决实际问题时化难为易，化繁为简。递推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，在一切向“更快、更高、更强”看齐的当今信息学奥林匹克竞赛中更因简洁高效而显示出其独具的魅力。在递推关系发挥重要作用的今天，深入研究其性质、特点便成为一件十分必要的

6、事情。主要内容： 研究的基本内容:递推关系的内容及意思，在组合，数例，矩阵中他们解法有什么不同。 研究的基本思路:1.递推关系的定义2.递推关系的求解过程3.递推关系用于哪些方面研究的基本步骤:1.查阅相关资料,做好笔记;2.仔细阅读研究文献资料;3.在老师指导下,确定整个论文的思路,列出论文提纲,撰写开题报告;4. 翻译英文资料;5. 开题报告通过后,撰写毕业论文;6.上交论文初稿;7.反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8.论文定稿；9.填写各种表格,包括:文献综述、任务书，指导过程登记表等。研究方法： 1.通过到图书馆的图书资源和网上资源,查阅与本论文题目相关的书本,期刊,报纸

7、等各种资料,将有用的信息作好记录。 3上网查阅收集资料,可以到网上收集与本论文题目相类似的论文,或者到各个网站查阅有关资料,也可以到贵州数字读书馆网站与中国知网上查找文章,参考相关内容。 4. 参考所有收集的资料，在老师指导下, 与同组同学研究讨论,用推理论证的方法来解决问题，来完成整篇论文的撰写。完成期限和采取的主要措施： 2013年07月2013年07月：上网查询并收相关的信息与资料，并完成开题报告。 2013年08月2013年09月：对收集的资料进行筛选、细分、整理。 2013年09月2013年10月：对文献资料进行详细阅读。 2013年10月2013年11月： 撰写初稿，保证按时完成。

8、 2013年11月2013年12月：进一步完善论文，与指导教师进行交流。 2014年1月2014年3月：形成最终论文，归纳总结研究成果，整理答辩材料，申请答辩。特征法、生成函数法、迭代和归纳法并且综合运用大学阶段学习的概率、几何、矩阵课程的有关知识，通过专家调研和文献调研，文献资料，结合互联网上查到的相关资料和个人、组织在各种刊物上发表的相关的文章，并向相关专业教师特别是指导老师请。主要参考文献及资料名称： 1 曹汝成.组合数学M.广州：华南理工大学出版社,2000：190-221. 2 屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学M.北：:清华大学出版社,2008:230-318. 3 张禾瑞,郝鈵.

9、高等代数M.北京：高等教育出版社，2001：123-167. 4 中山大学数学系编著.概率论及数理统M.北京：高等教育出版社，2002：98-167. 5 杨振生，王树禾.组合数学及其算法M.北京：中国科技大学出版社，1997:112-189. 6 孙淑玲，许胤龙. 组合数学引论M.北京：中国科技大学出版社出版 ,1999:231-367 7 R ichard A B rual di 组合数学IN 3M.北京 ： 机械工业出版社,2002：123-198.指导教师意见签 名： 年 月 日 开 题 报 告 会 纪 要时间 2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员（记录人手写）姓 名

10、职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）雍进军指导老师（讲师）李晟成员（副教授）邓喜才成员（副教授）会议记录摘要：指导小组针对课题递推关系的求解及其应用提问了以下问题以及报告人的回答：雍老师问：递推关系在生活中有哪些应用？杭勤霞答：例如，在解决兔子问题时，在某个岛上放一对兔子，其中一只公兔，一只母兔。出了本月生出的兔子外，假定每对兔子每月可以生出一对小兔，且新生的小兔也是一只公兔，一只母兔。在解决编程问题时一个编码系统用八进制对信息进行编码。还有就是我们常看见走梯子的问题等，都用到吧了递推关系的应用。邓老师问：递推关系的实际意义？杭勤霞答：在纷繁变幻的世界，所有事物都随时间的流逝发生着

11、微妙的变化。递推关系不仅在众多数学分支如组合、概率、几何、矩阵中起着重要作用，然而如何求解递推关系的问题我们在组合数学里已经学习特征法、生成函数法、迭代和归纳法这几种较好的方法。因此学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养，更对今后进行学术问题的推广研究起着举足轻重的作用。李老师问：解决地推关系有哪些求解方法？杭勤霞答：我们在解决递推关系时常用的一些方法：特征发，生成函数法，迭代法和归纳法等。会议主持人签名： 记录人签名： 年 月 日指导小组意见负责人签名： 年 月 日学 院 意 见负责人签名： 年 月 日 贵 州 师 范 学 院数学与计算机科学学院指导教师指导本科毕业论文(设计)情况登记表论文

12、（设计）题 目 递推关系的求解及其应用学生姓名杭勤霞学号1006020540017年级2010级所属学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级一班指导教师姓名雍进军职 称讲师学 历硕士指导时间指导地点指 导 内 容指导教师签名备 注2013年07月04日 致远楼416论文选题，资料准备面授2013年07月05日网上传达我校关于论文的有关规定电子邮件2013年08月24日网上确定毕业论文选题电子邮件2013年08月27日网上解答学生对论文选题的疑问电子邮件2013年08月31日网上怎样撰写毕业论文开题报告手机飞信2013年09月03日网上了解学生撰写开题报告的情况电子邮件2013年09月07

13、日网上指导学生撰写开题报告电子邮件2013年09月11日网上发送对开题报告的指导建议电子邮件2013年11月24日网上帮助学生查找有关参考文献电子邮件2013年12月18日网上给学生提供论文参考资料电子邮件2013年12月29日网上解答学生在论文写作中遇到的疑惑电子邮件2014年1月13日406如何规划自己的论文面授2014年1月28日206指导学生如何修改论文面授2014年2月12日网上解答学生在阅读参考资料中遇到的疑惑电子邮件2014年2月26日网上解答学生在阅读参考资料中遇到的疑惑电子邮件2014年3月13日152指导学生如何修改论文面授2014年3月28日129指导学生如何修改论文面授

14、贵州师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文（设计）交叉评阅表学院（盖章）：学号1006020540017 姓名杭勤霞专业数学与应用数学论文（设计）题目递推关系的求解及其应用班级数本（1）班指导教师意见评语：该同学能圆满地完成毕业设计任务，论文撰写过程中对相关文献阅读范围广泛，方法正确，内容完整，能综合运用所学知识分析和解决实际问题。毕业论文撰写过程中态度端正，勤奋刻苦。论文研究了线性递推关系、递推关系与生成函数和利用线性递推数列通项公式的解问题、生成函数求解方程递推关系等问题，得出递推关系在生活一些领域的独特应用。论文结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字通顺，达到规范性要求，建议

15、作为学士论文答辩。成绩： （满分100分） 指导教师（签名） 2014年 5 月 日评阅教师意见评语：该同学具备较好的基础理论与专业知识，学习态度认真，阅读教师指定的参考资料、文献，较好的完成了任务书规定的工作量。论文研究了线性递推关系、递推关系与生成函数和利用线性递推数列通项公式的解问题、生成函数求解方程递推关系等问题，得出递推关系在生活一些领域的独特应用。论文结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字通顺，达到本科毕业论文相关要求。同意参加答辩。成绩： （满分100分） 评阅教师（签名）： 2014年 5 月 日贵州师范学院本科毕业论文（设计）答辩记录表论文题目 递推关系的求解及其应

16、用作者姓名杭勤霞学号1006020540017年级2010级所属学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级一班指导教师姓名、职称雍进军 讲师答 辩 会 纪 要时间2014.5.22地点致远楼406答辩小组成员姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）左羽教授廖玉梅讲师崔忠伟副教授答辩中提出的主要问题及回答的简要情况记录：答辩小组负责人签名：记录人签名：年 月 日 答辩小组意见评语： 评定成绩： 负责人（签名）： 年 月 日目录摘要1Abstract2绪论31 线性递推关系41.1 线性递推数列的相关认识41.2 线性递推数列通项公式的求解分类51.3 利用线性递推数列通项公式解

17、决问题51.4 利用线性递推数列通项公式解决数学中的一些问题81.4.1 斐波那契数82 递推关系与生成函数102.1 生成函数的定义及其性质112.1.1 生成函数的一些性质112.2 生成函数在求解递推关系中应用112.2.1 利用生成函数来求常系数线性非齐次递推关系112.2.2 生成函数求解方程递推关系123 递推关系在其它方面的应用133.1排列组合问题133.2 九连环问题14总结16参考文献17致谢19贵州师范学院毕业论文（设计） 摘要 递推关系作为数学的一种思维，充分的展现了生活中许多事物现象变化所遵循的规律。所有的事物都不是单一存在的，而是和某些东西相互依存的。比如在求解排列

18、组合、数列中都会用到递推关系的思想与方法。本论文将围绕着递推思维及求解在数列、排列组合上的应用展开讨论。本论文阐述递推关系不是单一的个体，它与生成函数、线性关系、数列组合综合使用，并到达解决问题的思想。也说明学科之间是一个统一的整体。关键词：递推关系;求解方法;递推思维;应用 19贵州师范学院毕业论文（设计） Abstract As a kind of the mathematical thinking,recurrence relations fully show that changing of many phenomena in the life follows the regular

19、pattern .All of existing things are not isolated but interdependent .For example, the ideas and methods of recurrence relations are going to be applied in solving number of columns,permutations and combinations.In this paper,we will discuss solving and application of recurrence relations in number o

20、f columns,permutations and combinations. we state recurrence relations are not a single individual that integrate with the generation function, linear relationship and series to get the solution to the problem.Simultaneously, it also shows that the relationship among the subjects is an undifferentia

21、ted whole.Keywords: recurrence relations; solving methods; recursive thinking; application绪论 当今社会是知识经济科学统一发展的时代，是人才竟争的时代。为了进一步提高教学质量，培育新型的人才，就需要不断的改革教学方法与手段，加强师资力量，倡导因材施教，强调知识的总结、梳理、规划、推演和挖掘，通过加快教案的不断优化，使学生能掌握教材中未及时反映的学科发展新动向、新思想，进一步拓展学生的视野，激发学生的潜力。生活中所有的东西都随时间的流逝或多或少都发生着奇秒的变化，然而教学也是一样，但许多现象的变化是有规律可

22、找的，这种规律通常所呈现的因果循环关系。即是说，某种迹象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密相关，而递推关系的思维也正展现了这也迹象。递推关系几乎在所有的数学领域中都占据着重要的比例和广泛应用,在物理学上也有着深刻的影响，是数学运算中的一个强有力的工具。因此不管是在教学中还是生活中，都可能要用递推关系来解决所碰到的问题，或与其他学科相结合形成性学科的过程中用递推关系，比如递推关系可和数列、线性规划与矩阵相结合形成要实现这一目的新学科，把所学的知识串连在一起，形成一种新的思维。首要的关键是用递推方法来探究这一过程，搭建一桥梁。在此基础上才能用所学的递推理论和方法进行分析和应用，从而才能

23、解决实际理论的问题，是我们所学的知识更上一个台阶。通常情况下递推关系的求解比较困难，仅局限于使用递推关系的一些定义很多问题是不能解决的，并且所涉及的领域也很广。递推关系的研究还可以追溯到斐波纳契关系：它是比萨的数学家Leonardo(约11751250）在1202年给出的。在他所著的Liber baci一书中，讨论一个一年之内能有多少对兔子的问题，都用到了递推关系的思想。比如常见的线性递推数列，生成函数都是数学中的重要概念,也是解决数学问题的重要工具之一。本文主要介绍线性递推数列通项公式的求解方法及利用生成函数来求解递推关系，以及递推关系的推广。都说数学不是一种观赏的运动，那么学习数学的唯一途

24、径就是实践。下面我们就一起来探讨它的奥妙。1 线性递推关系 数列必须有连续个项满足，满足此式的数列则叫它为数列的一个递推关系式。由递推关系式及满足个初始值可以确定的一个数列叫做递推数列。因此，无论是牵涉到递推数列的证明题，解析题，还是需要建立递推关系式的综合题，那么解决递推数列的核心是求通项公式，也是最基本的步骤。1.1 线性递推数列的相关认识 定义1 如果已知数列的第1项（或前几项），且数列的任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么我们就称这个式子叫做数列的递推公式。用数学语言表示为： 对于任意的自然数，由递推关系所确定的数列则叫做递推数列。 例1.1 求解递推关系

25、其中。 解：这是其中且的另一种描述形式。于是解具有形式因为于是而且是唯一解。 定义2 若数列从第k项以后的任意一项都是其前项的线性组合，即 （1） 其中,是任意的自然数，是常数，且那么称为阶的线性递归数列，（1）则叫的递归方程。 例1.2 公比为的等比数列是一阶线性递归数列它的递归方程是,，并且. 例1.3 斐波那契数列（Fibonacci sequence）是二阶线性递归数列，它的递归方程为，()且。1.2 线性递推数列通项公式的求解分类我们探究线性递推数列目的就是要求出线性递推数列通项公式，然后用它来解决数学与生活中的一些问题，下面列出一些我们常见的求通项公式的方法:公式法、叠加法、叠乘法

26、、待定系数法、迭代法、换元法、不动点法、转换法、数学归纳法等。1.3 利用线性递推数列通项公式解决问题递推关系在数学这个庞大的领域，有很多问题我们是无法解决的，那么需要我们运用所学的知识，把各个知识点串联起来形成一种新的思想，达到解决问题的目的。比如在解决递推关系时我们通常利用线性递推数列的通项公式来解决一些比较复杂的问题。接下来介绍几种常见的方法。1）数学归纳法就谓的数学归纳法，令代表含有一次或多次出现变元的一个开放数学语句，其中表示一个整正数。 如果为真；并且等式成立。 若一旦为真，则有为真；那么对于所有都有为真。 它常用在数学上证明与自然数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来探究与整正数

27、有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式的成立和数列通向公式的成立，接下来就用它来证明此数列是成立的。 例1.4 已知数列中，,求证：数列的第项能被整除。 证 (1)当时，因为，得，能被3整除。（2）假设时。能被3整除， 当时， = 由于能被3整除，故也能被3整除，由（1）和（2）可知道对于一切的能被3整除。2）叠乘法 所谓叠乘法：如将所有等式叠乘后就是就是将中间的等项消去，找到与的关系。它的目的就是找到与后面的关系，从而推出通项公式。 叠乘法在生活中不是很常见，但是在数列中我们会经常用到它，能把复杂的问题通过相互叠乘使之化简，从而解决问题。 例1.5 在数列中，求. 解： 因此用叠乘法可得

28、出3）待定系数法 待定系数法，一种求未知的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数满足的方程或方程组，其通过方程或方程组可求出待定系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。然而求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数，接下来就看看与之相关的内容。 例1.6 设，求数列的通项公。 解：所给递推公式变形为，左右两边同时加， 于是由此是等比数列，其首项是，

29、公比是 所以1.4 利用线性递推数列通项公式解决数学中的一些问题1.4.1 斐波那契数 定义1斐波那契数，也叫做之为斐波那契数列（意大利语： Succession di Fibonacci)，我们又叫它黄金分割数列、费波拿契数、费氏数列，费波那西数列，指的是这样一个简单的数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、因此在数学上，用以下的递归的方法来 定义斐波纳契数：（，），如果我们用文字来说，就是把斐波那契数列用0和1开始，那么斐波那契数列之后的系数就由之前的两数相加。 斐波那契数的另一种递推方法 其中 斐波那契数不管是在数学中还是生活中应用都非常广泛，帮人们完成了很多看是复杂的问题。那么下

30、面我们用斐波那契数的方法来解决生活中的遇到有关递推关系台阶问题，图形染色的问题。 例1.7 有14段台阶的某一段楼梯，要求它每一步只能走一台阶或两台阶，问：如果要走第14级台阶会有多少种相异的走法？ 解：当走到第二级台阶时，我们共有2种不同的走法，第一种可以每次走一级，第二种可以一次跨二级。当第三级台阶，可以由第一级台阶走二级台阶到达，可以由第二级台阶走一级到达。而到达第一级和第二级台阶各有1、2种不同的走法，所以到达第三级台阶共有种不同的走法。以此类推，走上第三阶、第四阶第十四的不同走法次数依次为登上它的前两个走法数和。 即依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144, 2

31、33, 3 77, 610 所以走上第十四级时共有610种不同的走法。这列数为斐波纳次数。在生活中时常都会看到这样的问题，数学家把斐波纳数列与递推关系相结合很容易就解决了这个问题。 例1.8 一个圆环被分成个区域，现用种颜色给这个区域染色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，同一种颜色可以多次使用，则不同的染色方案有多少种？解：设表示圆环被分成个区域后的染色方案数，则区域1有种染色方案，区域2有种染色方案，区域3也有种染色方案，区域也有种染色方案，共有种染色方案。但上述染色可能出现区域1和区域同色的情况，故要排除这种情况。若区域1和区域同色，则可以把区域1和区域看成是同一个区域，根据假设知此时有种

32、染色方案.从而当时有下面的任务就是求出的通项公式。 数列-1为公比的等比数列。 又 故 染色问题被国内外数学竞赛中广泛采用的一类问题，高考偶尔也会在这里命题.这类问题不需要考生有很高深的理论知识，主要是考查考生的思维能力、分析能力与观察能力.本题就是对高考中出现的一类染色问题做出一个探究。2 递推关系与生成函数 数学中很多求排列组合计算问题时通常都会归结为求某个数列的通项公式，而直接求某些数列的通项公式常常比较艰难，但可以求所满足的递推关系，那么生成函数是我们首选的方法，并且生成函数是求递推数列关系的一种重要的思维和常用的方法，此节我们主要探究利用生成函数来解决递推关系的一些广泛应用，因此，需

33、进一层求出数列递推关系一般项的表示公式。2.1 生成函数的定义及其性质 定义1 设序列，构造形式幂级数 于是称为序列的生成函数。 例如 的生成函数为，给定正整数，的生成函数为。2.1.1 生成函数的一些性质 下面给出生成函数的性质，其中数列的生成函数分别表示为。（1）若（2）若（3）若.（4）若.（5）若 上述这些性质常用来求某些递推数列的生成函数，求解过程就不在证明呢。接下来主要讨论利用生成函数来求递推关系2.2 生成函数在求解递推关系中应用 生成函数在数学领域中主要与线性递推关系、非线性递推关系和递推方程相结合，解决相关问题。接下来就其中两种方法展开讨论。2.2.1 利用生成函数来求常系数

34、线性非齐次递推关系 例2.1 求解递推关系（） 解：设的生成函数 则 = 所以 则2.2.2 生成函数求解方程递推关系 例2.2 求解递推方程 解：设的生成函数为，两边平方得 = =这是一个关于的一元二次方程，利用求根公式得到 由于因此取展开得 = = 故 因此，在数学中我们利用生成函数求解递推关系，让原本很复杂或看似无法解决的都得以解决，并且清楚阐述了解题的整个过程，更加让人明白易懂。3 递推关系在其它方面的应用 21世界是一个美丽而又复杂的世界里，有着它独特的魅力。而我们所讨论的递推关系就是一个复杂而又充满奥妙的学科，它不仅在各数学分支中发挥着重要的作用，而由它所体现出思想与方法在各学科领

35、域中更是显示出其独特的魅力，在生活更是表现的淋淋尽致。本节举一二阐述。3.1排列组合问题 例3.1 身高两两不等的10个人排成一列，每个人比前一个都高或比前一个矮，则符合条件大排法有多少种？分析：若直接计算，该问题的分类比较复杂，不妨将10个人的情形一般化，改为研究个人的情形，引入数列，并结合题设条件建立相邻项之间的递推关系，最终达到求解问题的目的。解：不妨设个人的情形，根据题意，排在最后一位的人必须是最高或最矮的。若不然。前个人中既有比第位高的人。又有比第为、位矮的人，这与已知条件矛盾。所以第位上只有两种可能。其他不符合条件，符合题意的个人情形有种，则，有即为所求。3.2 九连环问题 例3.

36、2 九连环是中国古代在民间非常流传的一种智力魔方玩具,它是由9个环,9跟直杆,一个条形框柄和一个平滑木板组成,每一个环都有一根杆相连,把它顺穿入后个环,再连在条形横板上,从而组成一个整体,与其相适合,一个条形框柄大小相同的,在上下框柄可以将9个环穿套。只有将它前面的换在单独框柄上面.如果只是穿套是不可能一次性完成,它有着严格可寻的规律性和特别要求，第一个环可以独立,自由地下或上条形框柄,而其后的各环要上或下框柄都受其前面的连杆和环的限制,任何一个环要独立,自由地上下框柄只要到可以假设前个环已经全部上到框柄上,需要移动环的次数为这样,将前个环都上到框柄上，需要移动次,反之将前个环下到框柄下.移动

37、次数和之前的情形一样为,此时只有第个环单独在框柄上,可将第个环上到框柄上,移动一次,再将前环上到框柄上,移动次数为,至此前面个环都上到框柄上总的移动次数为,按假设,它等于,所以有,补充定义显然九连这就是九莲环的基本方程。利用它可以计算出,并递推地求出.直接求解可将两边都加上或减去，得： 求平均得：类推下去，有累加的，其中与同奇偶性，并且或2.为求和，可设 则有解方程组得，所以设，则有解得方程组得，所以有带入解表达式 ，整理，得，这即是九连环方程的解.如果令-表示第n个环单独在框柄上要移动环的次数,代人基本方程,消去有,这可以视为九连环第二方程,它应用汉诺塔递推关系解决了生活中的一些问题。 不管是数学中还是在其它方面，递推关系都占据着举足轻重的地位。每一个知识点都不是单一存在的，它通常都是和其它相关知识综合运用，并达到解决问题目的，本篇论文就充分的利用这一方法、思想。总结 本篇论文有三部分。首先认识递推关系及其定义，并且利用递推关系来解决数学中的一些比较复杂而又常见的问题，如文中用递推关系与线性关系、数列相结合来研究数学中的一些问题。又提到对于递推关系的研究可以追溯到斐波纳