第二章习题与解答

1、2控制系统的数学模型2-1试求题图2-1所示各信号x(t)的象函数X(S)。心(c)题图2-1信号图1解：(a) x(t) = 2 (tto)21-toS.X (s) =2 es s(b) L-i x(t)二a (b - a)(t -tj -(b -c)(t -t2) -c(t -t3)X(s)=丄旧 (b-a)e'lS -(b-c)e2S-ce3S s44 T 4 T 4(c) 4 x(t)= t 2 (t )2 (t )2(t -T)T T 2 T 2 T4-ys_jsX(s)亍(1-2e2 e )T s2-2 求下列各拉氏变换式的原函数。(1)X(s)X(s)1s(s - 2)3

2、(s 3)X(s)s + 1s(s2 2s 2)解：(1)x(t et 41(2)原式2(s 2)34(s 2)2+8(s 2)24s3(s 3)-x( t)1+24(3)原式11s211s 1112s2 亠 ' 2 + ' 2s 2s 22s2(s 1)12 (s 1)131 1_tx(t)=+ e (sintcost)2 22-3试建立题图2-2所示各系统的微分方程。其中外力F(t)，位移x(t)和电压ur (t)为输入量；位移y(t)和电压uc(t)为输出量；k (弹性系数)，f (阻尼系数)，R (电阻)，C(电容)和m (质量)均为常数。皑于-IT 7题图2-2 系统

3、原理图解:(a)以平衡状态为基点，对质块 m进行受力分析(不再考虑重力影响) 如图解2-2(a)所示。根据牛顿定理可写出F(tky(tfdX =mdt dt2图解2-2 (a)2整理得fdy山 y(t F(t)dt m dt m m(b)如图解2-2(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析对A点有k"x1)= f(芽勻dt dt对B点有dydt)*y(1)(2)/佝-7)E联立式(1)、( 2)可得:图解2-2 (b)dydtk1k2k1dxf(ki k2)y = ki k2 dt(c)应用复数阻抗概念可写出9RiUr(S)二1csRi1csI(s) Uc(s)(3)I(s)二Uc(

4、s)R2联立式(3)、(4),可解得:Uc(s) _R2(1 RCs)U r (s)R-iR2 RR2Cs微分方程为：如R1 "Ur1 UrdtCR1R2dtCR1(d)由图解2-2 (d)可写出(Ur(S)=RlR(S)+R(S)+lc(S)】亍(5)Cs1必)JR=11叫图解2-2(d)I c(s) = RI r(s) RIc (s)( 6)CsIUc(s)=Ic(s)R + r(s)+Ic(s) 丁( 7)Cs联立式(5)、(6)、(7)，消去中间变量lc(S)和Ir(S)，可得:Uc(s) _ R2C2s2 2RCs 1Ur(s)R2C2s2 3RCs 1微分方程为du； +

5、 3 叫 +1 udt2 CR dt C2R22dUr 2 dUr 1 dt2 CR dt C2R22-3试给出题图2-3所示各无源网络的传递函数Uc(s)Ur(s)(a)J UcR101>rUr J解：省略函数的复变量(s)。UR1 二Ur -Uc ；R1 ；Uc 二+ R2 I I。<Cs丿消除中间变量，得(b)UR1 二Ur消除中间变量，得Uc(s，式中,TT s 11二 RiUr1 ；K(. s 1)-Ts 1Ur(S)-Uc ； Il(C)Uc(s)U?(S)R2，式中K=r+UC1 =U r -U c ；1 2 = C1 s U C1 ；1 . . 1I1 Ur1 -R

6、I2 ； U C2消除中间变量，得Uc(s)Ur(S)Ur2=R2 ； U；Uc =U R2 Uc211C2 s2T1T2 s -2T1 s 1T1T2 s2(2| T2)s 1其中，TRC1 , T2 =RC2。2-4已知系统传递函数C(s)2R(s) s2 3s 2且初始条件为c(0)系统在输入r(t)=1(t)作用下的输出c(t)。解：系统的微分方程为2d c(t) cdc(t)232c(t) =2r(t)dt2dt考虑初始条件，对式(1)进行拉氏变换，得s2C(s) s 3sC(s) 3 2C(s)s2C(s) s2 Z 丄 42s(s+3s + 2) s s + 1 s + 2c(t

7、) =14e，2e't2-5已知在零初始条件下,系统的单位阶跃响应为c(t) =1_2e递函数和脉冲响应。1解： 单位阶跃输入时，有 R(s)，依题意s1C(s)二s213s 2十=s 2 s 1 (s 1)(s - 2) sk(t)G(s)二C(s)R(s)3s 2(s 1)(s 2)九4 G丄= 4et(R-i R2)C。Uc 二 R2(I1 Ic)。-,i = RC , T =心。>R1 =Uc1 U R2 ；-1，c(0) = 0，试求(1)(2)e4，试求系统的传2-6试用结构图等效化简求题图2-4所示各系统的传递函数C(s)R(s)题图2-4系统结构图(a)题图2-4

8、( a)所以：C(s) _G-i G2G3G4R(s) 1 G1G2G3G4 G2G3 ' G-i G2G3G4(b)(e)SS2-4 (b)15所以：C(s) Gj - G2R(s) J -GzH捺图=S02-4(c)(c)所以：C(s)G1G2G3R(s) 1 G1G2 G2G3 G1G2G31 + G1G2Hl + G；GjGj +h- Gt H3 _(d)图解2T (d)所以：C(s)G1G2G3 ' G1G4R(s) 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2n所以：C(s)G1G2G3G4R(s)1 G1G2H1 G2H1 G2G3H22-7已

9、知系统结构图如题图2-5所示，绘制对应的信号流图，并用梅森公式求出传递函数C(s)/R(s)和误差传递函数 E(s)/R(s)。(a)(b)题图2-5系统结构图G11C(s)R(s)1E(s)(b)G221-1L1 - -G1H1，L3 二-G1G2G3H 1H 2 ；Pl =1； F2 G4G3H1H2 P1 -G1G2G3，P2 - G4G3 ；: =1 G1H1 G3H2 G1G2G3H1H2G1G3H1H2。十1 G3H2，2=1；-1 = 1，二 2 = 1 G1H1 ；C(s _ G1G2G3G4G3 G4G3G1H1 ；R(s)1 +G3H 2 -G4G3H 1H 2R(s):&

10、#39;P =1；(b)P1二-G1，P2二-G1G2，F3二-G2，P4=-G2G1；L1 = G1， L2 二 G1G2， L3 二 G2， L4 二 G2G1， L5 二 GG2 ；厶=1 -G2 _'3GG2 ；人1 =抡2 =尺3 ='4 =1 ；r =1 GG2 ；C(s) G G2 2G1G2 ;R(s) 1 - Gi - G2 - 3G1G22-8试绘制题图2-6所示信号流图对应的系统结构图。E(S)1-GiG2R(s) 1 - Gi - G2 - 3G1G2SB2-6信号潦图解:图解2-7系统结构图2-9系统的信号流图如题图2-8所示，计算系统的传递函数C(s

11、)/R(s)。G6G4G5-H1 C(s)G2G3R(s)G1(d)bR(s)hgR2(s).(b)C(s)G6G1G7R(s)O-*"R1(s)(e)1bd-hI e 1".1厂C(s)-H4 -H5(c)()-0.510.八24 -5-1_101:-1 .R(s)'-1 . " -2 = %*C(s)aed' R2(s)giR3(s) C(s)解：题图2-8信号流图P1 -G1G2G3G4G5， P2 弋6 ；L1 = -G3H1， L -G2G3H2， L -G3G4H3 ；:=1 G3H1 G2G3H2 G3G4H3，冷=1，2 八；C(s

12、)G3G4 H 3，G1G2G3G4G5(b)R(s) 1 G2G3H2 G3H1 G3G4H3 °6 ；R 二G1G2G3G4G5G6， P2 =G7G3G4G5G6， F3 二 G1G8G6， P4 = -G7H1G8G6 ；Li = G2Hi , L2 = -G4H2 , L3 = G6H3 , L -G3G4G5H 4 ,L5 = G8H 1 H 4 , L = -G1G2G3G4G5G6 H5 ,L - -G7G3G4G5G6 H5， L - -G1G8G6H 5，- G7H 1G8G6 H 5 ；LiL1L2L1L3L2L3L2L5L2 L8L2L9_L1L2L3；i_1

13、=1，二 2=1,二 3=：4=1，G4 H 2 ；C(s) R P2 (F3 P4)(1 G4H2). .R(s)(c) P1 =50, F2 = 20 ；.：=1 12.5 5 1 =19.5 ,J - -0.5 , L2 - -10, L3 - -2 ；=1，0.5 = 1.5，匚 2=1，10 = 11 ;(d)C(s)R(s)59039= 15.1282 ;R 二 abed , P2 二 ed ；L1 =af , L2 = bg , L3 二 ch, L4 二 ehgf ；:=1 -af -bg - ch -efgh afeh，二 1，二 2=1-bg ; C(s)abed ed-e

14、dbgR(s) 1 -af -bg -ch - efgh afeh(e)= -cf , L2 二-eg , L = -bcdeh, L4 二-adeh ；:=1 cf eg bcdeh adeh cfeg ；R(s) > C(S):P =ade, P2=a , P3=bcde, R=bc ；1 =1 ,2 =1 eg ,3 =1 ,4 =1 eg ;C (s) ade a aeg bcde bc bceg .= ?R,s)1 cf eg bcdeh adeh cfegR2(s) > C(S):R = le , P2 = -lehbc, P3 = -leha ；二 1 = 1 cf

15、;匚 2 = ： 3 = 1 ；C(s)le lecf -lehbc - leha oR2(s)1 cf eg bcdeh adeh cfeg(f) L1 =degf;：-1-degf ;R(s)c(s):P =ah,P2=aej,P3=aegi,P4=bdh,P5=bdej,P6= bdegi,P7=cfdh ,F8 二 cfdej,F9 二 ci;v -1 n ；C(s) _ ah aej aegi bdh bdej bdegi cfdh cfdej ci . ? R1(s)1 -degfR2(s) > C(S):P = fdh , F2 = fdej, F3 =i ；=厶2=1 ；17C(s) fdh fdej i ；R2(s)1-degfR3(s) >C(S):R = h , P2 =ej, P3 =egi ；二 1 = . ；： 2 = ： 3 =1 ；C(s) h ej egi ；R3 (s)1 - degf192-10 已知系统传递函数模型为G(s)s3 7s224s 24432s 10s35s50 s 24，将其转变为零极点增益模型和状态空间模型。解：用MATLAB5编写程序如下：% MATLAB PR0GRAM1 8% In put paramete