用探究方法求满足某条件点

1、用探究方法求满足某条件点探究类问题是近年来中考中的一个热点和亮点之一，由于 解决这类问题既要有较强的想象能力，也要有基础知识和基 本技能灵活运用的应变能力（迁移能力），有时还需加上一定 的猜想能力.因此，在解题时，稍有不慎，往往就会出现漏 解或错解.那么，如何完整合理地解决这类问题呢？本文就 列举关于满足某条件的点的探究题为例，谈点探究方法，供 参考.1作弧探究法例1在等边aabc所在的平面内，同时满足apab、 pbc、zkpac都是等腰三角形的点p的个数有几个？解根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等性质，所以在如图1中，分别画出线段ab、bc、ac 的中垂线，则三条中垂线

2、的交点就是符合条件的一个p1 点，再以a为圆心，以ac长为半径画弧与直线ap1交于 p2,与直线cp1交于p3,与直线p令1a交于p4.同 样，以点氏 点c分别为圆心，以ac长为半径，画弧后则又 可得到符合条件的另6个点.因此，满足题中条件的点有10 个.例2如图2,正方形abcd所在平面上有点p,（如图中 所画的点p1）使apab、apbc. apcd. apad都是等腰三 角形，问具有这样性质的点p有多少个?在图中画出来.解 在图中分别过正方形对边中点作直线ef、gh,再以 点a、点c分别为圆心，以正方形abcd的边长为半径画弧， 则可得正方形内部与两条对边中点的连线交点p2、p3、 p4

3、、p5,在两条直线外部可得交点p6、p7、p8、 p9.因此，具有这样性质的点p共有9个.例3直线y=x-l与坐标轴交于a、b两点，点c在坐标 轴上，aabc为等腰三角形，则满足条件的点c最多有个.a. 4 b. 5 c. 7 d. 8解先作出直线y=x-l在坐标轴中的图像.如图3,因为 a(0, -1), b(l, 0),所以0a=0b,则点0处就是满足条件的 点c,另外，以点b为圆心，ab长为半径时，画弧与坐标轴 相交的有三个c2、c3、c4；同样以点a为圆心，ab 长为半径画弧又可得另三个交点c5、c6、c7.因此， 满足条件的点c最多有7个，故选c.2分类讨论法图4例4如图4,点m是直

4、线y=2x+3 ±的动点，过点m 作mn垂直x轴于点n, y轴上是否存在点p,使以m、n、p 为顶点的三角形为等腰直角三角形，小明发现：当动点m运 动到(-1, 1)时,y轴上存在点p(0, 1),此时有mn=mp,能 使armp为等腰直角三角形，在y轴和直线上还存在符合条 件的点p和点m,请你写出其它符合条件的点p的坐标.解由题意，根据小明的发现，当m运动到(-1, 1)时，on=1, mn二1，因为mn丄x轴，所以由on二mn可知，(0, 0)就 是符合条件的一个p点.又当m运动到第三象限时，要 mn=mp,且 pm丄mn,设点 m(x, 2x+3),则有-x二-(2x+3),解

5、 得x=-3,所以点p坐标为(0, -3).如若mn为斜边时，则z0np二45。,所以on=op,设点 m(x, 2x+3),则有-x二-12(2x+3)，化简得_2x-_2x_3,这方 程无解，所以这时不存在符合条件的p点.又当点m在第二象限，mn为斜边时，这时np二mp,zmnm二45。,设点 m(x, 2x+3),则 0p二on,而 0p二-12mn,所 以有-x=t2(2x+3),解得x=-34,这时点p的坐标为(0, 34).因此，其他符合条件的点p坐标是(0, 0), (0, 34), (0, -3).3推理论证法例5如图5,矩形abcg(abb,所以(ab)2>0,则bd与

6、 以ae为直径的圆有两个交点，即使zape为直角的点p的个 数是2个，故应选c.例6如图6,在直角坐标系xoy中，0是坐标原点，抛 物线y二x2-x-6与x轴交于a、b两点(点a在点b的左侧), 与y轴交于点c.如果点m在y轴右侧的抛物线上. sgzxamo二23sgzc0b，那么点m的坐标是.解 因为y二0时，x2-x-6二0,解这方程得xl二-2,x2二3.所以 a(-2, 0), b(3, 0).所以 0a=2, 0b=3,又由 y=x2-x-6, 当x=0时，尸-6，所以006.因为0c丄0e , saamo=23sacob,所以saamo=23x120c. 0b=6 ,设ym).则s

7、aamo=12x0ax |ym|=6,因为点m在抛物线上，所 以当ym=-6时，有x2m-x皿-6=-6,解得xm=1或 xm=0(已有点c,不合题意，舍去)，所以m1(1, -6).又当ym=6时，x2m-xm-6=-6,解得xm=4或 xm=-3(不合题意，舍去)，所以m2(4, 6).因此,符合条件的点m有(1, -6)和(4, 6).4综合法例7在劳技课上，老师请同学们在一张长为17厘米， 宽为16厘米的长方形纸上，剪下一个腰长为10厘米的等腰 三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重 合，其余的两个顶点在长方形的边上)，请你帮助同学们画 出示意图，并计算剪下的等腰三角形的

8、面积.解因为等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重 合，另两个顶点又在长方形边上，17>10, 1610,所以如图 7就是符合条件的一种情况，这时三角形的面积为 s =12 x 10x 10=50 (cm2).又当等腰三角形一腰与长方形双重合量，如图7，因 为ad=17,所以ed=7,因为ef=10,由勾股定理得df=51, 所以 s=12x10x51=551 (cm2).同样，ae落在ab边上时，以点e为圆心，以10cm长为 半径画弧，与bc边交于点f,则aaef就是符合条件的三角 形，此时三角形面积为12ae - bf,因为be=6, ef=10,所以 bf=8,所以 s=12x10 x 8=40 (cm2)(如图 7).由此看来，找三角形可转