必修一基本初等函数知识点讲解

1、基本初等函数第一讲幂函数1、幂函数的定义一般地，形如yx（ xr）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，是常数 .11如 yx2 , yx3 , yx4 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.留意：yx中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（ 1） yx（ 2）1yx 2（ 3）yx2（ 4） yx 1（ 5）yx3yxyx2yx31yx 2yx 1定义域rrrx | x0x | x0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限单调增减在 第象限单调 在 第象限单 在 第象限单 在 第象限单在 第象限单调递减性递增调递增调递增调递增定点（ 1， 1）（1， 1）（ 1， 1

2、）（ 1， 1）（ 1， 1）3、幂函数的性质（1）全部的幂函数在（0， +）都有定义，并且图象都过点（1， 1）（缘由： 1x1）；（ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0, 上是增函数特殊地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴1分数指数幂概念有理指数幂运算性质ma nn a mmar asar s a0,r , sq ；mnana 1rsrsn ama aa0,r , sqa0,

3、m, nn *, 且n1abrar br a0,b0,rq其次讲指数函数1、指数（ 1）n 次方根的定义如 xn=a，就称 x 为 a 的 n 次方根，“ n”是方根的记号.在实数范畴内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是0； 正数的偶次方根是两个肯定值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（ 2）方根的性质当 n 为奇数时，na n =a.当 n 为偶数时，na n =|a|=aaa0,a0.（ 3）分数指数幂的意义m a n = n a m（a 0， m、 n 都是正整数， n 1）.m an =1=1（ a 0， m、n 都是正整数，n

4、 1） .mn ama n2、指数函数的定义一般地，函数yax （ a 0 且 a 1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为r.说明： 由于 a 0， x 是任意一个实数时，a x 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集r.2当x如a0,当x0时, a x 等于 00时, a x无意义x11如 a 0，如 y2 , 先时, 对于x=, x 6等等,在实数范畴内的函数值不存在.81如 a =1,y1x1,是一个常量，a为常数, 象y=2-3 x ,y=2 x ,yxx , y3x 5 , y3x1等等,不符合yax a0且a1的形式 , 所以不是指数函数 .3、 指数函数的图像及其

5、性质yy= ax a>1） y= a xy 0a111图象o特点x函数o性质xa 10 a 1a 10 a 1向 x 轴正负方向无限延长函数的定义域为r图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方函数的值域为r+函数图象都过定点（0， 1）a 0 =1自左向右， 图象逐步上升自左向右， 图象逐步下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图xx象纵坐标都小于1x 0， a 1x 0， a 1在其次象限内的图象纵坐标都小于1在其次象限内的图xx象纵坐标都大于1x 0， a 1x 0， a 1（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称 .（2）在

6、a,b上,f x= a x （ a 0 且 a 1）值域是 f a,f b或f b,f a;x（3）如 x0, 就f x1;f x 取遍全部正数当且仅当 xr;（4）对于指数函数f xa （ a 0 且 a 1），总有f 1a;（5）当 a 1 时，如x1 x2 ，就f x1 f x2 ；第三讲对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，如a xn a0,且a1 ，那么数x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作xloga na 叫做对数的底数，n 叫做真数 .3如： 4216,就2log 4 16 ，读作 2 是以 4 为底， 16 的对数 .1422 ，就1log2 ，读作 1是以 4 为底 2

7、 的对数 .422（2）指数式与对数式的关系：ab=nlogan=b（ a0，a 1， n 0） .两个式子表示的a、b、n 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:loga（ mn）=loga m+logan.loga m =logamlogan.nlogamn =nlogam.（m0，n 0， a 0， a 1）对数换底公式： logb n= log a nlog a b（a0，a1，b0，b1，n0）.（4）两类对数以 10 为底的对数称为常用对数，log10n 常记为 lg n .以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数，log e n 常记为 ln n .

8、以后解题时，在没有指出对数的底的情形下，都是指常用对数，如100 的对数等于2，即lg1002 .2、对数函数的概念一般地，我们把函数ylog ax （ a 0 且 a 1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+）3、对数函数的图象及其性质yyy=l ogax a> 11底数互为倒数的两个对数函o数的图1象关于x 轴x对称 .oxy=l oga x0<a<1图象的特点函数的性质（1）图象都在y 轴的右边（ 1）定义域是（0， +）a（2）函数图象都经过（1， 0）点（ 2） 1 的对数是0（3）从左往右看，当a 1 时，图象逐步上升，当0 a 1 时，图象逐步下降.（ 3）当 a 1 时， ylog x 是增函数，当（4）当 a 1 时，函数图象在（ 1，0）点右边的纵坐标都大于 0，在（ 1， 0）点左边的纵坐标都小于 0. 当 0 a 1 时，图0 a 1 时， ylog a x 是减函数 .（ 4）当 a 1 时x 1，就 log a x 04象正好相反，在（ 1， 0）点右边的纵坐标都小于 0，在（ 1， 0）点左边的纵坐标都大于 0 .0 x 1， log a x 0 当 0 a 1 时x 1，