必修5数列知识点总结及题型归纳

1、数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列；（ 2）通项公式的定义：假如数列 a n 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；例如： 1 ， 2 ， 3 ， 4， 5， ， ， ，： 1 11112345（ 3）数列的函数特点与图象表示：456789序号： 123456项： 456789（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列；例：以下的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（ 1）1， 2， 3，4， 5，

2、6，210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,s1n1（ 5）数列 an 的前 n 项和sn 与通项a n 的关系： ansnsn 1 n 2例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n 23 ，求数列 a n 的通项公式二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，假如一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示；用递推公式表示为anan 1d n2 或 an 1and n1 ；例：等差数列an2n1 ， anan 1题型二 、等差数列的

3、通项公式：ana1n1d ；等差数列（通常可称为a p 数列）的单调性：d0 为递增数列，d0 为常数列，d0为递减数列；例： 1. 已知等差数列an中， a 7a916， a 41，就 a12 等于（）a15b30c31d 642. an是首项a11，公差 d3的等差数列，假如an2005，就序号 n 等于（ a） 667（ b） 668（ c） 669（d） 6701 / 11题型三 、等差中项的概念：定义：假如a ， a ， b 成等差数列，那么a 叫做 a 与 b 的等差中项；其中aab2a ， a ， b 成等差数列aba即：22 a n 1a na n 2（ 2a nan ma n

4、 m ）例： 1设an是公差为正数的等差数列，如a1a2a315 ， a1a2a380 ，就a11a12a13（）a 120b 105c 90d 752. 设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，就它的首项是（）a 1b.2c.4d.8题型四 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列an中，从第2 项起，每哪一项它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列a中，对任意m ， nn， aa nmd ， danammn ；（ 4）在等差数列nnman中，如 m ， n ， p ， qn且 mnpq ，就 amnm

5、ana paq ；题型五 、等差数列的前n 和的求和公式：snna1an na1nn1) d1 n 2（ a1d ） n ； snan 2bn a, b为常数 2222an是等差数列递推公式：sna1a n n 2ama n m21 n例： 1. 假如等差数列an中， a3a4a512 ，那么 a1a2.a7（ a） 14（b） 21（ c） 28（ d） 352. 设 sn 是等差数列an的前 n 项和，已知a23 ，a611 ，就s7 等于 a 13b 35c 49d 633. 设等差数列an的前 n 项和为sn ，如s972 , 就 a2a4a9 =4. 如一个等差数列前3 项的和为34

6、，最终 3 项的和为146，且全部项的和为390，就这个数列有 （）a.13 项b.12 项c.11 项d.10 项5. 设等差数列a的前 n 项和为 s ，如 a5a 就9ssnn5356. 已知an数列是等差数列，a1010 ，其前 10 项的和s1070 ，就其公差d 等于 2112abc.d.33332 / 117设 an为等差数列，sn 为数列 an的前n 项和，已知s77， s15 75，tn 为数列n 项和，求tn；sn的前n题型六 . 对与一个等差数列，sn , s2nsn , s3ns2n 仍成等差数列；例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100

7、，就它的前3m项和为（）a.130b.170c.210d.2602. 一个等差数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，就前 3 n 项的和为；3. 设 sn 为等差数列a n的前 n 项和， s414， s10s730，就 s9 =4（ 06 全国 ii ）设 sn 是等差数列an的前 n 项和，如s3 1 ，就s63s6 s12a 310b 13c 18d 19题型七 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1a nd 常数）（ nn ）an是等差数列中项法：2a n 1ana n 2（ nnan是等差数列n通项公式法：anknbk ,b为常数 a n是等差数列前 n 项

8、和公式法：san 2bn a, b为常数 a n是等差数列例： 1. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 24 ，就数列 an 为（）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定2. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2 n 2 ，就数列 a n 为（）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定3. 数列a n满意a1 =8， a 42，且 a n 22a n 1a n0（ nn）求数列a n的通项公式；题型八 . 数列最值（ 1）a10 ， d0 时，sn 有最大值；a10 ， d0时，sn 有最小值；（ 2）s 最值的求

9、法：如已知s ， s 的最值可求二次函数san2bn 的最值；nnnn可用二次函数最值的求法（nn）；或者求出an中的正、负分界项，即：3 / 11如已知an ，就sn 最值时 n 的值（ nn）可如下确定an0或an 10an0；an 10例： 1等差数列an中，a10， s9s12 ，就前项的和最大；2设等差数列an的前 n 项和为sn ，已知a312， s120， s130求出公差d 的范畴，指出s1， s2， s12 中哪一个值最大，并说明理由；3. 已知 a n 是等差数列，其中a131，公差 d8；（ 1）数列 an 从哪一项开头小于0？（ 2）求数列 a n 前 n 项和的最大值

10、，并求出对应n 的值题型九 . 利用 ans1 nsnsn 1n1求通项21已知数列an的前 n 项和 snn 24n1，就2. 设数列 an 的前 n 项和为 sn=2n ，求数列 a n的通项公式；23. 已知数列a n中， a13，前 n 和 sn1 n21 an11求证：数列a n是等差数列求数列a n的通项公式4. 设数列 an的前 n 项和sn 2 ，就a8 的值为（）n（ a） 15b 16c49（d） 64等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式递推关系：通项公式：a n 1aa n qaqn 1推广： a nn1maq n m1 在等比数列an中, a14, q2 ，就

11、an2在等比数列a n中， a22 ， a 554 ，就a 8 =4 / 113. 在各项都为正数的等比数列 an中，首项a13 ，前三项和为21，就 a3a4a5（）a 33b 72c 84d 189二、等比中项：如三个数a , b, c 成等比数列，就称b 为 a与c 的等比中项，且为bac，注： b 2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23 的等比中项为 a1 b1c 1 d 2三、等比数列的基本性质，1. （ 1） 如mnpq，就 a ma na pa q 其中 m, n, p, qn（ 2） q n man ， a 2nama n ma n m nn（ 3）

12、a n为等比数列，就下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） a n既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例： 1在等比数列a中, a 和 a是方程 2 x25 x10 的两个根 , 就 aan11047 a52 b 2 2c 12 d 122. 在等比数列an中， a1a633， a3 a432， anan 1求 a n如 tnlg a1lg a2lg a n ,求tn3. 等比数列 an 的各项为正数，且a5 a6a4a718,就 log 3 a1log 3 a2llog 3a10（）a 12b10c 8d 2+ log 3 5na1q1四、等比数列的前n 项和，sa 1q

13、naa qq1n11n1q1q例： 1. 已知等比数列 a n 的首相 a15 ，公比 q2 ，就其前n 项和 sn2. 设等比数列 an 的前 n 项和为sn ，已 a26, 6a1a330 ，求a n 和 sn5 / 113设f n2242 7210l23 n10 nn ，就f n 等于（）a 2 8n172n 1b8172n 3c8172n 4d817五.等比数列的前n 项和的性质如数列a n 是等比数列，sn 是其前 n 项的和， kn * ，那么sk ， s2ksk ， s3ks2k成等比数列 .例： 1. 一个等比数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，就前 3 n 项的

14、和为（）a 83b 108c 75d 632. 已知数列a n是等比数列，且sm10， s2m30，就 s3m六. 等比数列的判定法an 1（ 1）定义法：anq（常数）an为等比数列；（ 2）中项法：2an 1anan 2 an0a n为等比数列；（ 3）通项公式法：ankq n k, q为常数）a n为等比数列；（ 4）前 n 项和法： snk1q n （ k ,q为常数）a n为等比数列；snkkqn（ k, q为常数）a n为等比数列；七. 利用 ans1nsnsn 1n1求通项2例： 1. 数列 an 的前 n 项和为 sn，且 a1=1， a1 s ， n=1， 2， 3，求a2，

15、 a3， a4 的值及数列 an 的通项公式n 13n2. 已知数列a的首项 a5, 前 n 项和为 s ，且 ssn5n，证明数列a1 是*n1nn 1nnn等比数列6 / 11求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 an 满意： a 37, a5a726， 求 a n ；2. 已知数列 a n 满意 a12,a na n 11n1 ，求数列 an 的通项公式；3. 数列an满意 a1 =8， a42，且a n 22a n 1a n0（ nn），求数列a n的通项公式；4. 已知数列 an 满意 a12,11a n 1a n2 ，求

16、数列a n的通项公式；115. 设数列 an 满意 a10 且1 ，求 a n的通项公式1a n 11an6. 已知数列 an 满意 a12, an3a n1 n1) ，求数列 a n 的通项公式；7. 已知数列 an 满意 a12， a24且an 2anan 1（ nn），求数列a n的通项公式；8. 已知数列 an 满意 a12，且 an 15n 12an5n （ nn），求数列an的通项公式；9. 已知数列 an 满意 a12，且 an15223an52n2) （ nn），求数列a n的通n1项公式；（ 2）累加法1、累加法适用于：an 1anf n如 an 1anf n n2 ，就a2

17、a1f 1a3a2f 2llan 1anf n 27 / 11两边分别相加得an 1a1nf n k 11例： 1.已知数列 an 满意 a1,2an 11a n4 n 2，求数列 an 1的通项公式；2. 已知数列 an 满意an 1an2n1， a11 ，求数列 an 的通项公式；3. 已知数列 an 满意 aa231， a3 ，求数列 a 的通项公式；nn 1n1n4. 设数列 an 满意 a12 ， an 1a n3 2 2n1，求数列 a n 的通项公式（ 3）累乘法适用于：an 1f n an如 an 1f n ，就 a2f 1 a3f 2，l lan 1f n，ana1a2an例

18、： 1. 已知数列 a 满意 a2 n15na ， a3 ，求数列 a 的通项公式；nn 1n1n2.已知数列a n满意 a12， an 13nan ，求n1a n ；3.已知 a13 ， an 13n1ann3n21) ，求an ；（ 4）待定系数法适用于an 1qanf n解题基本步骤：1、确定f n2、设等比数列an1 f n，公比为3、列出关系式an 11 f n12 a n2 f n 8 / 114、比较系数求1 ，25、解得数列an1 f n的通项公式6、解得数列an的通项公式例： 1. 已知数列 an 中， a11,an2an 11n2) ，求数列an的通项公式；2在数列an中，

19、如 a11,an 12an3n1) ，就该数列的通项an 3.已知数列 an 满意an 12an35n， a6 ，求数列an的通项公式；n 1解：设 ax51nn2 a4已知数列n 1a n中， a1n5, a n 16x5 a1n31) n121 ，求 a5 已知数列 an 满意an 12 an4 3n1， a1，求数列an的通项公式；（ 5）递推公式中既有sn 又有 an把已知关系通过ans1, n1ss, n转化为数列2an或sn 的递推关系，然后采纳相应的方法求解；nn 111. 数列 an 的前 n 项和为sn， 且 a1=1， an 1的通项公式sn ， n=1， 2， 3，求a2

20、， a3， a4 的值及数列 an32. 已知数列an中， a13，前 n 和 sn1 n21 a n11求证：数列a n是等差数列求数列an的通项公式3已知数列 an 的各项均为正数， 且前 n 项和求数列 an 的通项公式；sn 满意 sn1 an61an2) ，且 a2 , a4 , a9 成等比数列，（ 6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例： 1. 已知数列 a 满意 a2an, a1 ，求数列 a 的通项公式；nn 11nan29 / 11数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和；n aa nn1na1 q1ns1nnads公比含字母时肯定要争论n1n22a1 11q q1 q例： 1；已知等差数列 a n 满意 a11, a 23 ，求前 n 项和 sn2已知等比数列 an 满意 a11, a23 ，求前 n 项和 sn3. 设f n 22427210l23n10 nn ，就f n 等于（）a. 2 8n 71) b.2 8n 11c.72 8n 3172n 4d.8172错位相减法求和：如：an 等 差 , bn等比 ,求 a1b1a2 b2an bn的和 .例： 1求和 sn12 x3x2lnxn 12. 求和： sn