函数的定义域及求法讲解(精)

1、函数作者：刘铁峰（高中数学 赤峰数学一班）评论数/浏览数：1 / 37发表日期：2011-07-0816:32:19性质及其应用函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点.熟练掌握函数的性质，能灵活运用函数的性质解决有关问题，是高考数学获胜的一个重要方面.因此，临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的.一、函数的定义域及求法1、分式的分母工 0;偶次方根的被幵方数0;2、对数函数的真数0;对数函数的底数0 且工 1;3、正切函数：x丰kn+n/2 ,k Z;余切函数：x丰kn,k Z ;4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R;5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）

2、法；利用其反函数的值域法；6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论.例题:1、求下列函数的定义域解解析卜析卜求复合函数的定义域(1)由题意可知所以原函数的定义域是(一1，0)I x| -x 0 0=-5 0 =兀皂(-+2bz+ 2后)L22-5-?-10|f! 5所从 瘵函数的定义域是-5-y)Y(|r|)Y(y.5L2、求酗八13_2于)佃汕且曲1)的定义域-析:分类讨论paxlogd23当0 a丰1)时，耳 1暢也2 S R或兀bg屯 N ( 。0,1m 0,且厶=(-4m)2-4m(m+3)4)的反函数的定义域.解析:求原函数的值域由题意可知，即求原函数的值域，/x4,log2

3、X 2二 y3所以函数 y=log2X + 1 (x 4)的反函数的定义域是3 , +).5、 函数 f(2x)的定义域是-1,1，求 f(log2x)的定义域.解析:由题意可知 2-12x21Tf(x)定义域为1/2 , 2f 1/2log2x2TV 2x0 时，y - /4a ，当 av0 时，y - /4a3、 反比例函数的值域：卄0 ；4、 指数函数的值域为(0，+x)；对数函数的值域为 R5、正弦、余弦函数的值域为-1,1(即有界性)；正切余切函数的值域为R6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法.例题

4、:求下列函数的值域7、.y sin x cos x + sin x + cos x解析: 1、利用求反函数的定义域求值域_0,则原函数可化为 y=(t+1)/(t-1)t=(y+1)/(y-1)0二 y1 或 yv-1X 他=7 jr-32r+l卩二P-15 y= |x_l | + |x+3| + |x2|6、/(x) =COSJ- sinx3 sin x + 1& y =-sin x + 25、利用零点讨论法- - - - -8 0 1 2由题意可知函数有 3 个零点-3 , 1, 2,1当 xv-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x二 y92当-3 x1 时，y

5、=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6二 5y 93当 1 x2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4二 5 y2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x二 y 6综合前面四种情况可得，原函数的值域是5,+ 8)6、利用函数的有界性由题意可得s f (z) = -72 (-cosx- -sin x) = sin( - x)224所以原函数的值域是-727.制用换元法和配方法设sinx+cosx!则n?=l+2sinxcQsx*其中嗚E -吋2忑ws* 1擁+2/w十1 2 (wj + D:.v = sin xcos x + sin x + cosx- + 战=-

6、 -一12 2 2二一1兰y M忑 + & 利用分畜变量法和函数的有畀性二|竽1匡1=-2分 W三、函数的单调性及应用1、 A 为函数 f(x)定义域内某一区间，对于任隔 円,环 2)g)M(购上讐数|1/馆) 血)打(強Lt为诚函数2、 单调性的判定：作差 f(xi)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x) 为增函数，f(x),g(x) 一增、一减，f(g(x)为减函数.例题:由题意可得，sm z =3-小4所以甌礙册值域是厂h利断函数yW= （o）在区间（-1, 1）上册单调性*X 1fc析卜利用定义设-1 Xj

7、V 可0 且 a 1,试求函数 y=loga（4+3x-x2）的单调递增区间.解析:利用复合函数的单调性的判定由题意可得原函数的定义域是（一1,4）,设 u=4+3x-x ，其对称轴是 x=3/2,所以函数 u=4+3x-x2，在区间（一1,3/2 上单调递增；在区间3/2 , 4） 上单调递减.1a1时， y=logau在其定义域内为增函数， 由ufyf, 得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（一1,3/2 ，即为函数 y=loga（4+3x-x2） 的单调递增区间.20vavl时，y=logau 在其定义域内为减函数，由xffujfyf，得函数 u=4+3x-x $的单调递减区间3/2,

8、 4）,即为函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间.3、 已知 y=loga(2-ax) 在0 , 1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围。解析:利用复合函数的单调性的判定由题意可知，a0.设 u=g(x)=2ax，则 g(x)在0,1上是减函数，且 x=1时，g(x)有最小值 Umin=2-a .又因为 u=g(x)=2ax0,所以， 只要 umin=2-a0则可，得 aV2.又 y=loga(2-ax) 在0，1上是 x 减函数，u=g(x)在0,1上是减函数，即 xfiujfyj，所以 y=logau 是增函数，故 a1.综上所述，得1vav2.4、已知 f(x)的定义域为

9、(0,+)，且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式 f(x)+f(x-2)3.解析:此题的关键是求函数值3所对应的自变量的值由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4X2)=f(8)又 f(x)+f(x-2)=f(x2-2x)所以原不等式可化成 f(x2-2x)0由函躺定义域和单调性，亠x-20 x24F-2x8h-2r 4 1所以原不等式的解集为 x|2x4 四、函数的奇偶性及应用1、函数 f(x)的定义域为 D, x D， f(- x)=f(x)Tf(x)是偶函数；f(-x):=-f(x)T是奇函数2、 奇

10、偶性的判定：作和差 f(-x) f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= 1,f(x)工 0 判定3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、 函数的图象关于原点对称奇函数；函数的图象关 y 轴对称偶函数5、 函数既为奇函数又为偶函数f(x)=0,且定义域关于原点对称；6、 复合函数的奇偶性：奇土奇-奇，偶土偶-偶，奇X奇.二偶，偶X偶二偶,奇X偶二奇.例题:判断函数；=ig(+JF+i)；/(x)-卢的奇偶性解析:利用作和差判断由题意可知，函数的定义域是R,设 x 为 R 内任意实数，f (x)+/(-x) =lg(x +肿+1) + lgf-x +1)=lg( X +

11、1) (-X +1)=lg 1=0即，f(x) = -f(x),原函数是奇函数.利用作商法判断由题意可知，函数的定义域是R,设 x 为 R 内任意实数,二原函数是奇函数.人设a0, /w=+ 4是R上閒偶酗.a e（1）求丑的值；（2）证明/匕）在（0 , +M）上是増函数.解析丄（1）由题意可知，=兰+二=丄+加a e as=（a-丄）（亠-/）二0a e1当口二一时，上式成立，又因aOj所I4A a=l.a（2）设 兀弋和血）-2尸存+召）-伴+却 0 xL 0 叫一总 0*-=-1 ，他旳一畀巧卜1血）-畑厂3所UV在（th +G上是増函数.3、设加是定义在R上的偶殲，其对任意佔勿占都有

12、小 F =设（1）=2,求卅），旳；证胡fl）是周期函数.解析解析1（2）vf（x）的图象关于直线 x=1 对称,79 叽 5）由心+小皿皿朋埠=AD虫+*）心=2同理二凤）=迟/（= 复出现，因此函数的最小正周期是n/2 f1 -(1-x) = f1+(1-x) , x R , 即 f(x) = f(2-x),又Tf(x)在 R 上为偶函数，Tf( -x) = f(x) = f(2-x)= f(2+x) f(x)是周期的函数，且 2 是它的一个周期.五、函数的周期性及应用1、 设函数 y=f(x)的定义域为 D, x D,存在非 0 常数 T,有f(x+T)=f(x)Tf(x)为周期函数，T

13、 为 f(x)的一个周期；2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2n，函数 y=Asin(wx+ )和y二Acos(wx+ )的最小正周期是 T = 2n/|w| ;3、 正切、余切函数的最小正周期为n，函数 y=Atan(wx+ )和y=Acot(wx+ )的周期是 T=n/|w| ;4、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；5、 一般地，sinwx 和 coswx 类函数加绝对值或平方后周期减半，tanwx和 cotwx 类函数加绝对值或平方后周期不变(如： y=|cos2x|的周期是n/2 ，y=|cotx| 的周期是n.例题:1、 求函数 y二|sinx|+|co

14、sx|的最小正周期.解析:利用周期函数的定义y = |sin x|+|cosx|=|-s in x|+|cosx|=|cos(x +n/2)|+|sin(x +n/2)|即对于定义域内的每一个 x，当 x 增加到(x +n/2)时，函数值重sin 2x+sin( 2x + )厶求函y =- 的最小正周期-cos 2x+cos(2x+y)解析卜利用公式3、 八厲sin 2x + -cos2x2 2in 2x2z- sin 2力t 22sin( 2x +手)-=tan( )uw(2兀 + )*6二函数的周期T巧求函数 y=sin3x+tan(2x/5)的最小正周期.解析:最小公倍数法和公式法,T2的最小公倍数.)由题意可知，sin3x 的周期是 Ti= 2n/3 , tan(2x/5)的周期是 T2=5n/2 ,原函数的周期是 T=10n/1 =10n.4、求函数 y=|tanx|的最小正周期.解析:利用函数的图象求函数的周期sin 2x + sin( 2x 4-)y - -ux 2x + cos(2z + )1 cos 2x-sin32 23、(设 f(x)、g(x)是定义在公共集合上的两上三角周期函数,T2分别是它们的周期，且TIMT2，则 f(x)