数值分析课后答案

1、 . 第一章 绪论 一 本章的学习要求 （1）会求有效数字。 （2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。 二 本章应掌握的重点公式 （1）绝对误差：设x为精确值，x?为x的一个近似值，称exx?为x?的绝对误差。 （2 ）相对误差：reex?。 （3）绝对误差限：exx?。 （4 ）相对误差限：rxxxx?。 （5）一元函数的绝对误差限：设一元函数? ?0,dffxfxdx?则。 （6）一元函数的相对误差限：? ?1rdffxdxf?。 （7）二元函数的绝对误差限：设一元函数? ?,0,ffxyfyy?则。 （8）二元函数的相对误差限：? ? ?1rfffxyxyf?。 .

2、 三 本章习题解析 1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计1123AXXX? 及224XAX?的相对误差限。 12341.1021,0.031,385.6,56.430xxxx? 解：（1）1x?有5位有效数字，2x?有2位有效数字，3x?有4位有效数字，4x?有5位有效数字。 （2 ）1111123231312123,AAAAxxxxxxxxxxxx?由题可知：1A?为1A的近似值，123,xxx?分别为123,xxx近似值。 所以? ?111rAAA? ? ?12311111123AAAxxxAXXX? ? 431231312123111

3、11010100.215222xxxxxxxxx? ? ? ? ?222222424441,XAAxAXxxxx?则有同理有2A?为2A的近似值，2x?，4x?为2x，4x的近似值，代入相对误差限公式： ? ?222rAAA? ? ? ?24212224AAXXAXX? ? ? ?33542224411110101022XXXXX? 2. 正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过21cm? 解：设正方形的边长为x，则面积为 2Sx?，2dsxdx?，在这里设x?为边长的近似值，S?为 . 面积的近似值：由题可知：? ?1dssxdx? 即：?21xx? 推出：? ?10.0

4、05200xcm?。 3. 测得某房间长约L?=4.32m，宽约为d?=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？ 解：设sld? 则有：sdl? ，sld?。在这里ldS?，分别为l，d，s的近似值： ? ? ?23.120.014.320.010.0744cmssdsldlldld?相对误差限为：? ?0.07440.00554.323.12rSSS?。 4. 下列公式如何计算才比较准确： (1)当x的绝对值充分小时，计算212xe?； （2）当N的绝对值充分大时，计算1211NNdxx?； （3）当x的绝对值充分大时，计算11xxxx

5、?。 解：（1 ）当0x?时， ?2222111221xxxxeeee? ?=?412xxxxeeee? =?32xxxxxxeeeeee? =? ?32222xxxxxxxxxeeeeeeeee? （2 ）当N?时，1211NNdxX?=1argNtgxN?=?arg1argtgNtgN? ? =?1arg11tgNN? (3)当x? 时，11xxxx? =111111xxxxxxxxxxxx? . =?22211xxx?。 5. 列?yn满足递推关系ny=101ny?-1，n=1,2,，若0y =21.41?，计算到10y时误差有多大？这个计算数值稳定吗？ 解：已知准确值0 2y?，近似值

6、01.41y ?，设他们的误差为000yy? ? ，则有：?11100101101yyyy? ?=0001010yy? ? ?22211101101yyyy? ?=000100100yy? 以此类推所以?10101099101101yyyy? ?=10100001010yy? =1010281121.412210101010? 6. 计算?62-1f? ，取2?1.4 ，直接计算和用?31322?来计算，哪一个最好？ 解：依题意构造函数?1fxx?，则?561Ifxx?，由绝对误差公式 ?ffxx?=? ?51161.4121.460.0124102?=0.003072 7. 求二次方程2x-

7、16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。 解：由求根公式：2161642x? 。所以。1863x? ，2863x?对比可知： 较小的根为2863x? ，由相近数相减原理则有： ?2863863 863863x?10.0627863? 8. 如果利用四位函数表计算01cos2 ? ，试用不同方法计算并比较结果的误差。 解：01cos210.9940.006? 202040sin20.03491cos26.092101cos21.994? 9. 设x的相对误差限为，求100x的相对误差限。 解：由题意可知：设?100fxx?，则有?99100IfxX?在这里设x?为X的近似值，f? 为f .

8、 的近似值，由已知x的相对误差限为?。 所以： ? ? ? ? ?99100100100100Ixxfxxfxffxfxx? 10. 已知三角形面积S=12absinc,其中c为弧度，满足0<c<2?，且a,b,c,的误差分别为 a?, b?，c?。证明面积误差s ?满足ss ?aa ?+bb? +cc?。 解： 由误差定义：ssssabcabc? ?，又因为： 1sin2sbca?， 1sin2sacb? 1cos2sabcc?，代入上式可得：111sinsincos222sbcaacbabcc ? 两边同除以s 可得：111sinsincos222111sinsinsin222

9、bcacabcsabcsabcabcab c? ? ?， 约分可得：sabcsabtgc ?， 因为： 0<c<2 ? 则有： tgc>c>0.， 所以命题sabcsabc?成立。 . 第二章 插值法 一 本章的学习要求 （1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 （2）会应用插值余项求节点数。 （3）会应用均差的性质。 二 本章应掌握的重点公式 （1）线性插值：?10011Lxlxylxy?。 （2）抛物插值：?1001122Lxlxylxylxy?。 （3）n次插值：?0nnkkkLxlxy?。 （4）拉格朗日插值余项：? ?111!nnnnfRxfxLxx

10、n?。 （5）牛顿插值公式： ?001001011,nnNXfxfxxxxfxxxxxxxxx?。 （6）? ?0110111,njnjjjnfxfxxxxxxxxxxxxx?。 （7）? ?01,!nnffxxxn?。 （8）牛顿插值余项：?011,nnnnRxfxNxfxxxx?。 . 三 本章习题解析 1. 给定?,xfx的一系列离散点（1，0），（2，5），（3，6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。 解：设所求插值多项式为?3012012pxXxxxyyylllL?，且已知： 0011223310253643xyxyxyxy?，代入插值基函数公式：可得：? ?123001

11、0203xxxxxxxlxxxxxx?=? ?234123xxx? ? ?0231101213xxxxxxxlxxxxxx?=? ?134112xxx? ? ?0132202123xxxxxxxlxxxxxx?=? ?124211xxx? 化简代入?px得: ?3243pxxx? 2. 若?653231fxxxx?，求0163,33f?L，0173,33f?L。 解: 由?626!fx? ，所以: ?626f?! ，?770fxf?.由均差的性质(三)可知: ? ?601626!3,3326!6!ff?L ，? ?701703,3307!7!ff?L ix 0 1 2 3 4 5 ?ifx -

12、7 -4 5 26 65 128 3. 给定函数表 （1） 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式?3LX，并由此求?0.5f的近似值。 （2） 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式?3NX，并由此求?0.5f的近似值。 解：(1) 3n?，取0.5附近的4个点为宜。故取，00112207142,5x yxyxy?，33326xy?，。则?3012012XxxxyyylllL?，按照习题1求出插值基函数。代入?3LX。可得：?3327XxxL?，所以：?3110.5275.87522f? . （2）设牛顿插值多项式为 ?3001001201,xffxfxxNxxxxxxxxx?

13、 ?0123012,fxxxxxxxxxx?， 列差商表： ix iy 一阶插商 二阶插商 三阶插商 0 -7 1 -4 3 2 5 9 3 3 26 21 6 1 所以：?3730301012NXxxxxxx?327xx?=-5.875 4. 设jx为互异节点（j=0,1,2,n）求证：?0nkkjjjxxlx?，k=0,1,2,n其中?jxl为n次插值基函数。 证明：根据题意：设?kfxx?，所以有 ?kjjjfyxx?， 结合上式所以有：?000nnnkjjjjjjjjjxfxxyxlxll?=?njxL， 由余项定理可知：?njjnjfLxxxR?， 且由定理二可知，当0jn?时，?0

14、njRx?所以就有?kjnjjfxLxx?。 在这里令变量jxx?，所以命题：?0nkkjjjxxlx?，成立。 5. 设?2,fx cab?且?0fafb?，求证：?21maxmax8IIax bax bfxbafx?。 证明：由题可知：00,0xay?，11,0xby?，故可构造线性插值多项式即为下式： ?10011XxfxflxlxL?，记为（1）式， 因为?11fxXxLR?，记为（2）式，其中?12!IIfRxxaxb?，记为（3）式， 将（1）（3）代入（2）整理：?111xbxafxXxfafbabbaLRR?2!IIxaxbf? . 所以：? ?2!IIffxxax b?2!m

15、axIIaxbfxa xb?这里取2abx?代入，可推出：? ?22!4IIffxba?再放缩得?21maxmax8IIaxbaxbfxbafx? 6. 若?1110nnnnfxaxaxaxa?有n个不同实零点12,n xxxL证明：?110,02,1knjIjjnknknfxxa? 证明：由题可知：?fx有n个不同实零点，故?fx还可以表示成根形式的多项式，即： ?12nnfxaxxxxxx?L ； 由导数的定义可知：?limjIjxjfxffjxxx xx? ?1211limlimjjnjjnxxjfxxxxxxxxxaxxxxxx?=?1211njjjjjjjnaxxxxxxxxxx?在

16、此设：? ? kxx?；? ?111111knnjjIjjnjjjjjjnjxxaxxxxxxxxfx? ?11211,1!nnnnnxxxaa?，记为（1）式 当1kn?时，?11!n xn?，则（1）变为1xa； 当02kn? ，则（1）式变为0， 综上所述：?110,02,1knjIjnknknxafx? ix -2 -1 0 1 2 3 ?jfx -5 1 1 1 7 25 7. 给定函数表 . 已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。 解：用牛顿法：?001001201,NXfxfxxxxfxxxxxxx?+ ?01234501234,fxxxxxxxx

17、xxxxxxxx?， 列插商表： ix ?ifx 一阶插商 二阶插商 三阶插商 四阶插商 五阶插商 -2 -5 -1 1 6 0 1 0 -3 1 1 0 0 1 2 7 6 3 1 0 3 25 18 6 1 0 0 ?356(2)3(2)(1)(2)(1)(0)1NXxxxxxxxx?，为三次。 8. 对函数?fx ，?gx及任意常数a,b,证明： ? ?010101,nnnafxbgxxxxafxxxbgxxx?。 证明：由高等数学的知识，我们构造函数?FXafxbgx?，于是就有下式成立： ?01,nafxbgxxxx?01,nFxxxx? ?00111njjjjjjjjjnFxxxx

18、xxxxxxx? ?00111njjjjjjjj jjnafbgxxxxxxxxxxxx? 由分式法则： ?0001110111nnjjjjjjjjjjjnjjjjjjjnfgabxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx?=?0101,nnafxxxbgxxx?，所以命题成立。 10. 给定函数表 ix 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ?ifx 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554 试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算?0.05f的近似值。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴

19、趣 . 的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得?0.05f=1.05126. 11. 若要给出?cosfxx? ，0,2x?的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计 算任何0,2x?的cosx的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过41210?。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出0.02h?。 12. 设?22,nfxcab?，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项? ?22221122!nnnfRxfxHxxn?。 分析：基于本

20、题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。 13. 求不超过3次的多项式?Hx，使其满足?191151111IIHHHH?，。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：?230133Hxaaxaxax?，代入条件，即可求得：?3244Hxxxx?。 14. 求不超过4次的多项式?PX，使其满足?000111IIPPPP?，?21P?。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设

21、所求多项式为分析?23401234xpaaxaxaxax?， 代入条件，即可求得：?221x34pxx?。 ix 0 1 2 3 ?ifx 0 0.5 2 1.5 15. 给定函数表 （1） 在边界条件?00.2If?，?31If?下求三次样条插值函数?SX； （2） 在边界条件?00.3IIf?，?33.3IIf?下求三次样条插值函数?SX。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 . 的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。 结果为：（1）?3232320.480.180.2,0,11.0411.2511.2810.5,1,

22、20.6821.8620.6822.0,2,3xxxxsxxxxxxxxx? （2）?3232320.50.150.15,0,11.211.3511.3510.5,1,21.322.2520.4522,2,3xxxxsxxxxxxxxx? . 第三章 函数逼近及最小二乘法 一 本章的学习要求 （1）会用最小二乘法求拟合曲线。 （2）会将非线性函数转化成线性函数。 二 本章应掌握的重点公式 线性曲线拟合公式： ?00000,niiiitt?，?0110010,niiiitt?，?11110,niiiitt?， ?000,niiiifyt?，?110,niiiifyt?。 三 本章习题解析 1.

23、设?011,nxxx?是区间0,1上带权?xx?的最高项系数为1的正交多 项式序列，其中?0x?=1，求?10kxxdx?及?1x?和?2x?。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：?101,020,0kkxxdxk?；?123xx?；? ?2263510xxx?。 2. 判断函数?0x?=1，?1x?=x,，?2213xx?，在?1,1?上带权?1x?正交，并求?3x?使其在-1，1上带权?1x?与?0x?，?1x?，?2x?正交。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果

24、，有兴趣 的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：335xx?。 . 3. 证明：若函数组?011,nxxx?是在a,b上带权?x?正交的函数组，则 ?011,nxxx?必然是线性无关的函数组。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。 4. 已知点列02x?，11x?，20x?，31x?，42x?及权函数?00.5x?， ?1231xxx?，?41.5x?，利用公式（47）和（48）构造对应的正交多项式?012,pxpxpx。 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里

25、只给出结果。结果为：?01xp?，?125xxp?，? ?24246115515pxxx?。 ix 0 1 2 3 4 iy 1.00 3.85 6.50 9.35 12.05 5. 已知数据表 求拟合这些数据的直线方程。 解：设所要拟合的直线方程为：01yaax?，这里4m?，1n?，?01x?，?1xx?， ?40,00005iiiixx?，?40,11,001010iiiixx?， ?41,111030iiiixx?，?40,0032.75iiiifyx?， ?41,1093.1iiiifyx?，所以可得到以下方程组：0151032.75103093.1aa? 解得：01.03a?，12

26、.76a?，所以所求方程为1.032.76yx?。 ix 1 2 3 4 5 6 7 8 iy 3 3 4 5 5 6 6 7 6. 已知数据表 求拟合这些数据的直线方程。 解：设所要拟合的直线方程为：01yaax?，这里7m?，1n?，?01x?，?1xx?， . ?70,00008iiiixx?，?70,11,001036iiiixx?， ?71,1110285iiiixx?，?70,0041iiiifyx?， ?71,10216iiiifyx?，所以可得到以下方程组：018,364136,285216aa? 解得：02.22a?，10.95a?，所以所求方程为：2.220.95yx?。

27、7. 某发射源的发射强度公式为0tIIe?，现测得I与t的一组数据如下表 it 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 iI 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 试用最小二乘法根据以上数据确定参数0I和?的值。 解：先将0tIIe?线性化，即两边取以10为底的对数，变为0IlglglgeIax?， 设Ilgy?，00lgIA?，1lgeaA?，所以上式变为01yxAA?。这里7m?，1n?，?01x?，?1xx?，代入公式得：?70,00008iiiixx?， ?70,11,00103.5iiiixx?，?71,11102.03iiiixx?，

28、?70,000.8638iiiifyx?，?71,100.08062iiiifyx?， 所以可得到以下方程组018,3.50.86383.5,2.030.08062AA?，解得：00.08777Aix 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 iy 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 ?，10.04618A?，相应的05.64,2.89Ia?。 8. 试用最小二乘法根据以下数据表 求bxyae?的最小二乘拟合曲线。 解：先将bxyae?线性化，即两边取以10为底的对数，变为lglglgyebx?，设lgyy?， 0lgA?，1lgeAb?，所以原式变为：01yAAx?。这

29、里4m?，1n?，?01x?， . ?1xx?，代入公式得?40,00005iiiixx?， ?40,11,00107.5iiiixx?，?41,111011.875iiiixx?，?40,0033.33iiiifyx?，?71,1051.2275iiiifyx?， 所以可以得到以下方程组：015,7.533.337.5,11.87551.2275AA?，解得：03.708A?，11.972A?，代回求得，3.071a?,0.5056b?,故方程为0.50563.071xye?。 9. 用最小二乘法求形如2yabx?的经验公式，使它拟合以下数据。 ix 19 25 31 38 44 iy 19

30、.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解：先将2yabx?线性化，设2Xx?，则原式变为yabX?，这里4m?，1n?，?01x?，?1xx?，代入公式得?40,00005iiiixx?， ?40,11,00105327iiiixx?，?41,11107277699iiiixx?，?40,00271.4iiiifyx?，?41,1110369321.5iiiixx?， 所以可以得到以下方程组：5,5327271.45327,7277699369321.5ab?， 解得：0.05004a?，0.97258b?，所求方程为：20.972580.05004yx?。 . 第四章 数值积分和数值

31、微分 一 本章的学习要求 （1）会求各种插值型求积公式。 （2）会应用求积公式分析代数精度。 （3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。 （4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。 二 本章应掌握的重点公式 （1）梯形公式：? ?2babafxdxfafb?。 （2）辛甫生公式：? ? ?462babaabfxdxfaffb?。 （3）复化梯形公式：?1142nnkkhfaffbxT?。 （4）复化辛甫生公式：?11210242nnnkkkKhfafffbSxx?。 （5）梯形公式的误差余项：? ?312IITfRxba?。?,ab? （6）复化梯形公式的误差余项：? ?212II

32、TbaRxhf?。?,ab? 三 本章习题解析 1. 用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。 （1 ）120,4xdxx? 取8n? ； (2) 2604sinxdx?，取6n? 解：（1 ）代入复化梯形公式可得?78110116kkfffxT?=0.1114024， (2) 代入梯复化形公式可得：? ?56610726kTffxf?=1.03562， 同理，分别代入复化Simpson公式可得：80.1115724S?，61.03577S?。 . 2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具 有的代数精度。 （1）?0120hhfxdxfhf

33、fhAAA? （2）?10121001fxdxfffxAAA? （3）?201220hhfxdxfhffhAAA? （4）?011hhfxdxfhfxAA? 解：（1）设?1fx?，x，2x，求积公式准确成立，代入（1）式可得：?0120232022023hhhAAAAAhhAA? 解得：0211433AAhAh?， 代入原式整理得：?1410333hhfxdxhfhhfhfh?， 对于?3fxx?，代入上式验证，左边=右边，继续令?4fxx?，代入上式验证，左边? 右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。 （2）设?1fx?，x，2x，求积公式准确成立，代入（2）式可得：012022121

34、12132xAAAAAxAA? 解得：0211121632AAAx?， 代入原式整理得：? ?101211016326fxdxfff?， 对于?3fxx?，代入上式验证，左边=右边，继续令?4fxx?，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。 （3）设?1fx?，x，2x，求积公式准确成立，代入（3） 式可得：?01202320240163hAAAAhAhhAAh? 解得：0218433AAhAh?， . 代入原式整理得：?212848333hhfxdxhfhhfxhfh?， 对于?3fxx?，代入上式验证，左边=右边，继续令?4fxx?，代入上式验证，左边?右边，即所构

35、造的求积公式具有3次代数精度。 （4） 设?1fx?，x，求积公式准确成立，代入（4）式可得0101120hAAAhAx? 解得：1012323hhxAAh?， 代入原式整理得：? ?3223hhhhfxdxfhhf?， 对于?2fxx?，代入上式验证，左边=右边。继续令?3fxx?，代入上式验证，左边?右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。 3. 证明：? ?10110110212IIfxdxffff?具有3次代数精度。 证明：当?1fx?时， 左边=1，? ?11=11001212?右边，左边=右边。 当?fxx?时， 1左边=2，? ?111=01112122?右边，左边=右边。 当

36、?2fxx?时， 1左边=3，? ?111=01202123?右边，左边=右边。 当?3fxx?时， 1左边=4，1右边=4，左边=右边。 当?4fxx?时， 1左边=5，1右边=6，?左边右边。 故所求积公式具有3次代数精度。 4. 用复化Simpson公式nS计算积分20sinxdx? ，要使误差不超过51102?，问应将区间 . 0,2? 分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间0,2?分为多少等份？ 解：复化Simpson公式的余项的绝对值为：? ?441802sbahRff?由此可将原问题转化为? ?40202sin180max4sxfxRn? ?5492160n

37、?51210?解得：6n?。 同理若应用复化梯形公式，则有? ?212IItbaffhR? ?2202sin12max2oxxn?51210?解得：255n?。 5. 求积公式?10120010IfxdxfffAAA?，已知其余项表达式为?IIIRfkf?。试确定求积公式中的待定参数0A，1A，2A，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。 解：设?1fx?，x，2x求积公式准确成立，代入原式可得：012121110213AAAAAA? 解得：023A?，113A?，216A?， 所以原式变为：?10211010336Ifxdxfff?， 当?3fxx?时，代入原式，左

38、边=14，右边=13，左边?右边， 由题意知误差为?1143IIIkf?且?3!6IIIfx? ，所以求得172k?， 即? ?172IIIRff?为所求，上式求积公式具有3次代数精度。 6. 若用复化Simpson公式计算31sinxexdx?，要使误差不超过610?，问需要计算多少个节点上的函数值？ 解：?4sinIxfxex?， 在这里取复化Simpson公式余项的绝对值? ?441802sbahRff?， . 代入已知条件得：? ?43124sin1802sRfne?， 进行放缩得：? ?461321max4sin10180xsxRfexn?，解得：26n?。 7. 推导下列三种矩形求

39、积公式，其中?,ab? （1）?212bIafxdxbafafba? （2）?212bIafxdxbafbfba? （3）? ?31224bIIaabfxdxbaffba? 证明：（1）将?fx在?fa处展开成一阶泰勒公式，即：?Ifxfafxa? 上式两边在?,ab积分，得：?bbbIaaafxdxfadxfxadx? =?bIafabafxadx?， 这里我们应用广义积分中值定理：?bbaafxgxdxgfxdx?，?,ab?， 于是上式中第二项就化简为如下形式：?bbIIaafxadxfxadx?，?,ab?， 积分整理得到：?212bIafxdxbafafba?。 （2）将?fx在?fb处展开成一阶泰勒公式，即：?Ifxfbfxb? 上式两边在?,ab积分，得：?bbbIaaafxdxfbdxfxbdx? =?bIafbbafxbdx?， 上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：?212bIafxdxbafbfba?。 （3）将?fx 在2abf?处展开成二阶泰勒公式，即：? ? ?22222!2IIIfababababfxffxx?， . 上式两边在?,ab积分得： ? ? ?222222IIbbbbIaaaafababababfxd