《理学通信原理》ppt课件

1、通讯原理通讯原理第二章第二章 随机信号的分析随机信号的分析第第2 2章的主要内容章的主要内容2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 随机过程的普通表述随机过程的普通表述2.32.3平稳随机过程平稳随机过程2.42.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.52.5高斯过程高斯过程2.62.6窄带随机过程窄带随机过程2.72.7正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程2.82.8随机过程经过线性系统随机过程经过线性系统2.1 2.1 引言引言n随机信号的产生：通讯系统中遇到的的随机信号的产生：通讯系统中遇到的的信号，通常总带有某种随机性，即它们信号，通常总带有某种

2、随机性，即它们的某个或者几个参数不能预知或者不能的某个或者几个参数不能预知或者不能完全预知。这种具有随机性的信号成为完全预知。这种具有随机性的信号成为随机信号。随机信号。n随机噪声：通讯过程中存在的不能预测随机噪声：通讯过程中存在的不能预测的噪声的噪声2.22.2随机过程的普通表述随机过程的普通表述1.随机过程的定义随机过程的定义2.随机过程的统计特征随机过程的统计特征2.1概率分布概率分布2.2数字特征数字特征2.22.2随机过程的普通表述随机过程的普通表述1.1.随机过程随机过程 通讯过程中的随机信号和噪声均可归纳为通讯过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数依赖于时间参数t t的随

3、机过程。这种过程的的随机过程。这种过程的根本特征是，根本特征是，1 1它是时间它是时间t t的函数；的函数；2 2任任一时辰上察看到的值不能确定，而是一个一时辰上察看到的值不能确定，而是一个随机变量。随机变量。举例：举例：n n部接纳机的输出噪声电压部接纳机的输出噪声电压性能完全一样的接性能完全一样的接纳机，在任务条件纳机，在任务条件一样的情况下，输一样的情况下，输出的噪声波形不同出的噪声波形不同随机过程的定义随机过程的定义设随机实验设随机实验E E的能够结果为的能够结果为(t)(t)，实验的，实验的样本空间样本空间S S为为 x1(t)x1(t)，x2(t)x2(t)，xi(t)xi(t)，

4、 ，i i为正整数，为正整数，xi(t)xi(t)为第为第i i个个样本函数又称之为实现每次实验之样本函数又称之为实现每次实验之后，后，(t)(t)取空间取空间S S中的某一样本函数，中的某一样本函数，于是称此于是称此 (t) (t)为随机函数。当为随机函数。当t t代表时代表时间量时，称此间量时，称此(t)(t)为随机过程。为随机过程。随机过程的统计特征随机过程的统计特征主要有分布函数和概率密度函数以及数字特征主要有分布函数和概率密度函数以及数字特征1.1.随机过程随机过程(t)(t)的一维分布函数：的一维分布函数：2. 2. (t)(t)的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：11111(

5、,)()FxtPtx1111111(,)(,)Fxtfxtxn (t)的的n维分布函数：维分布函数：n (t)的的n维概率密度函数：维概率密度函数：1212( ,; , , )nnnF x xx t tt1122 (),(),()nnPtxtxtx1212121212( ,; , , )( ,; , , ),nnnnnnnF x xx t ttf x xx t ttxxx随机过程的数字特征随机过程的数字特征n期望期望n方差方差n协方差协方差n相关函数相关函数n互协方差互协方差n相互关函数相互关函数随机过程的期望和方差随机过程的期望和方差n随机过程随机过程(t)(t)的数学期望：的数学期望：n随

6、机过程的方差：随机过程的方差：1( )( , )Etxfx t dx222( )( )( )( )( )DtEtEtEtEt衡量同一过程不同时辰的相关程度衡量同一过程不同时辰的相关程度n随机过程随机过程(t)(t)的自协方差函数：的自协方差函数：n自相关函数自相关函数R(t1,t2)R(t1,t2)定义为：定义为：121122(,)()()()()B ttEta tta t12121212122121212(,)()()(,)()()(,;,)B ttEtEtR ttEttx xfxxttdx dx衡量不同随机过程的相关程度衡量不同随机过程的相关程度n互协方差函数：互协方差函数：n相互关函数：

7、相互关函数：121122(,)()()()()BttEtattat1212(,)()()RttEtt2.32.3平稳随机过程平稳随机过程n定义定义n狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程n广义平稳随机过程广义平稳随机过程n平稳随机过程的各态历经性平稳随机过程的各态历经性2.32.3平稳随机过程平稳随机过程假设对于恣意的正整数假设对于恣意的正整数n n和恣意实数和恣意实数t1t1，t2t2，tntn，随机过程随机过程(t)(t)的的n n维概率密度函数满足维概率密度函数满足那么称那么称(t)(t)是平稳随机过程。是平稳随机过程。1212( ,; , ,)nnnfx xx t tt1212(,;,)nn

8、nfxxxttt平稳随机过程平稳随机过程的统计特性和的统计特性和时间起点无关。时间起点无关。2.22.2平稳随机过程续平稳随机过程续1 1n狭义平稳随机过程：任何狭义平稳随机过程：任何n n维分布函数或维分布函数或者是概率密度函数与时间起点无关。者是概率密度函数与时间起点无关。n广义平稳随机过程：数学期望及方差与广义平稳随机过程：数学期望及方差与时间无关，相关函数仅仅与时间间隔时间无关，相关函数仅仅与时间间隔 有关，即有关，即211( ,)( )tR t tR2.22.2平稳随机过程续平稳随机过程续2 2各态历经性：平稳随机过程普通具有一个各态历经性：平稳随机过程普通具有一个有趣的又非常有用的

9、特性，这个特性称有趣的又非常有用的特性，这个特性称为为“各态历经性。即随机过程的数学期各态历经性。即随机过程的数学期望统计平均值，可以由任一实现的望统计平均值，可以由任一实现的时间平均值来替代；随机过程的自相关时间平均值来替代；随机过程的自相关函数，也可以由对应的函数，也可以由对应的“时间平均来替时间平均来替代代“统计平均。统计平均。各态历经性的意义：平稳随机过程的任一各态历经性的意义：平稳随机过程的任一实现看成它阅历了随机过程的一切能够实现看成它阅历了随机过程的一切能够形状。形状。2.22.2平稳随机过程续平稳随机过程续3 3平稳随机过程的各态历经性表现为平稳随机过程的各态历经性表现为( )

10、( )aaRR时间平均统计平均2.42.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.相关函数的性质2.功率谱密度3.相关函数与功率谱密度的关系1.1.相关函数的性质相关函数的性质1 1(t)(t)的平均功率的平均功率信号电压或电流在信号电压或电流在1 1欧姆电阻上所耗费的功率欧姆电阻上所耗费的功率2 2R(R() )是偶函数是偶函数2(0)( )REtS( )()RR2221lim( )TTTPf tdtT1.1.相关函数的性质续相关函数的性质续3 3R(R() )的上界的上界4 4(t)(t)的直流功率的直流功率5 5方差，即方差，即(t)(t)的交流功率的交流

11、功率( )(0)RR2( ) ( )REt 2(0)( )RR 2.功率谱密度功率谱密度确定知功率信号确定知功率信号f(t)f(t)，它的功率谱密度，它的功率谱密度PS(PS() )可表示成可表示成式中：式中：FT(FT() )是是f(t)f(t)的截短函数的截短函数fT(t) fT(t) 的频谱的频谱函数。函数。2( )( )limTsTFPT功率信号功率信号f(t)f(t)及其截短函数及其截短函数fT(t)fT(t)n功率信号功率信号,指信号的功率是有限的，那么指信号的功率是有限的，那么称为功率有限信号，简称功率信号称为功率有限信号，简称功率信号n能量信号，指信号的能量值是有限的。能量信号

12、，指信号的能量值是有限的。n频谱，经常指信号的频谱，经常指信号的Fourier变换变换 ，后，后者能够不存在。者能够不存在。几个新概念几个新概念几个新概念几个新概念功率谱密度功率谱，是信号平均功率在频率上功率谱密度功率谱，是信号平均功率在频率上面的分解，也就是说功率谱密度对频谱的积分就面的分解，也就是说功率谱密度对频谱的积分就是功率是功率 。Fourier变换变换 与反变换与反变换( )( )1( )( )2j tj tFf t edtf tF w edw帕色伐尔定理帕色伐尔定理能量：能量：2221( )( )( ).211( )( ).( )( )2211( )( )( ) ()22j tj

13、 tj tEft dtf tFe dEf tFe ddtFf t e dt dEft dtFdFFd / 2/ 2( )( )( )Tj tj tTTTFft edtf t edt/ 2222/ 21( )( )( )2TTTTWft dtft dtFw dw2/ 222/ 2( )111( )( )2TTTTTFwPft dtft dtdwTTT截短信号的在截短信号的在1欧电阻上耗费的能量：欧电阻上耗费的能量：截短信号的频谱：截短信号的频谱：截短信号的在截短信号的在1欧电阻上的平均功率：欧电阻上的平均功率：仅仅为某个样本在某一段的平均功率，随机仅仅为某个样本在某一段的平均功率，随机过程中有很

14、多样本，因此还得将结果扩张为过程中有很多样本，因此还得将结果扩张为统计平均统计平均公式推导某一样本的平均功率与功率谱功率有限信号f(t)220)()(TTTtttftf)(tf)(tfT2T2T平均功率定义为功率谱 )(SPaseval定理dTFdttfTPTTTTTTT22)(lim21)(1lim2222随机过程的平均功率与功率谱随机过程的平均功率与功率谱22111lim( )lim( )2TTTTPE ft dtE Fw dwTT随机过程的平均功率：随机过程的平均功率：随机过程的功率谱：随机过程的功率谱：21( )lim( )fTTP wE FwT2.42.4平稳随机过程的功率谱密度续平

15、稳随机过程的功率谱密度续随机过程随机过程(t)(t)的功率谱密度为的功率谱密度为(t)(t)的平均功率的平均功率2( )( )( )limTsTE FPE PT2()11()lim22TTE FSPddT 2.42.4平稳随机过程的功率谱密度续平稳随机过程的功率谱密度续 (t)的自相关函数与其功率谱密度之间为傅的自相关函数与其功率谱密度之间为傅里叶变换关系里叶变换关系( )( )jPRed()( )PR22/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/E( )E( )()1( )( )11( )( ) ( ) ( )1( , )TTTj tj tTTTTTTTTTTj tj tj

16、tj tTTTTTj tj tTTFFFEt edtt edtTTTEt edtt edtEtteedtdtTTR t t eedtT/2/2/2()2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/21( , ) t= + t dt=d11( + t t )( + t t )1( + t t )TTTjt tTTTTTTjjTTTTTTTjTTTdtR t t edtdtTRed dtRdt edTTRdt edRT 若则( )jed自相关函数与功率谱的关系推导自相关函数与功率谱的关系推导自相关函数与功率谱的关系自相关函数与功率谱的关系1( )()2jRPed()( )jPRe

17、d 一对傅立叶变换2.52.5高斯过程高斯过程.1高斯随机过程正态随机过程高斯随机过程正态随机过程定义：高斯随机过程定义：高斯随机过程(t)(t)，即指它的恣意，即指它的恣意n n维维n=1n=1，2 2，概率密度函数由下式表示的随概率密度函数由下式表示的随机过程，即机过程，即1212( ,; , ,)nnf x xx t tt1 22111211exp()()2(2)nnjjkkjknjkjknxaxaBBB 22();()kkkkkaEtEtaB 归 一 化 协 方 差 矩 阵 的 行 列 式 ， 即1 212 1111nnbbbBbiix 指第 个样本函数在某时刻上的值k

18、t=t 时的随机变量的均值kt=t 时的随机变量的方差2111111( ) 1 1nnEtabb 因为所以()() 1 jjkkjkEtatajkjkjkb jkjkjkBBbb行列式中元素的代数余子式；归一化协方差函数：(1).统计特性由数字特征独一确定统计特性由数字特征独一确定 即知即知 ，那么，那么 独一确定。独一确定。 因此对高斯过程只需研讨数字特征就因此对高斯过程只需研讨数字特征就 可以了。可以了。(2).假设高斯过程是广义平稳那么一定是狭义假设高斯过程是广义平稳那么一定是狭义平稳。平稳。 由于广义平稳由于广义平稳 ,aB( , )nfx t()jkjkjkaaaaabb常数常数高斯

19、过程的重要性质高斯过程的重要性质而而 也与时间起点无关，也与时间起点无关，仅与仅与有关，满足狭义平稳条件，故高斯过有关，满足狭义平稳条件，故高斯过程是广义程是广义RP必是狭义必是狭义RP。(3).假设高斯过程在不同时辰的取值是互不假设高斯过程在不同时辰的取值是互不相关的，那么它们也是统计独立的。相关的，那么它们也是统计独立的。 由于不相关由于不相关 所以所以121 2(.,. )nnnfx xx t tt0 jkbjk0 0 jkBjkBjk此时只需当此时只需当 才有：才有：jk12122212122211111222(.,.)()1exp2(2).()1exp22(,)(,)(,).(,)n

20、nnnjjnjjnnjjjjjnjjjjnnnfx xxt ttxaxafxtfxtfxtfxt 所以高斯过程中的随机变量互不相关，那所以高斯过程中的随机变量互不相关，那么么它们必然是统计独立的。它们必然是统计独立的。(4).假设干个高斯过程之和是高斯型。假设干个高斯过程之和是高斯型。.1高斯随机过程续高斯随机过程续1 1特例：高斯随机过程中的一维分布。一维特例：高斯随机过程中的一维分布。一维概率密度函数概率密度函数式中式中a a及及是两个常量均值及方差。是两个常量均值及方差。当当a=0, a=0, =1=1是规范正态分布是规范正态分布221()()exp22xafx 1( )

21、2f aa( )f xx(1).(2).(3).一维高斯过程的性质：一维高斯过程的性质：( )()()f xxaf x af a x关于对称所以m ax(),()1 ()()()2 ()0afxafxxafxfxfaxfx 在 (-,) 单 调 上 升在 () 单 调 下 降( )11( )( )2aaf x dxf x dxf x dx所以a不变， 变曲线位置不变，陡度改变 aaa不变 变曲线陡度不变，形状不变， 仅左右平移上升右移下降左移 平、宽 尖、窄4.2()22222222()11( )exp222()()11( )expexp2222()()1exp()221( )exp22x a

22、xxxxx af xez az aF xdzdzz ax adzzxdz正态分布函数：正态分布函数：概率积分函数，可概率积分函数，可查积分表得查积分表得误差函数误差函数202( )xzerf xedz22200022()2( )xzzxxzerfxedzedzedzerf x 由于由于所以所以( )1erf 2220022()2 xxerfc xededed220( )1( )21zzerfc xerf xedzedz 可查积分表( )2 ( 2 )1.( )22 ( 2 )111( )()1()22222(),21(),2erf xxerfc xxxxxerferfcerfcxaxaerfx

23、a 1.2.3.x-a4.F(x)= ()1x-a5.F(x)=1-216.F(x)=22.62.6窄带随机过程窄带随机过程窄带信号：是指频谱只限于以窄带信号：是指频谱只限于以fCfC为中心为中心频率而带宽为频率而带宽为f f，f fCf fC的信号，更的信号，更确切地应该称之为高频窄带信号。确切地应该称之为高频窄带信号。.1窄带随机过程续窄带随机过程续1 1 窄带随机过程：假设信号或噪声满足窄带窄带随机过程：假设信号或噪声满足窄带条件，且是一个随机过程，那么称它们为条件，且是一个随机过程，那么称它们为窄带随机过程。假设噪声的瞬时取值服从窄带随机过程。假设噪声的瞬时取值服从高斯

24、分布，那么称它为窄带高斯噪声。在高斯分布，那么称它为窄带高斯噪声。在不特别声明情况下，我们仅仅讨论零均值不特别声明情况下，我们仅仅讨论零均值平稳高斯窄带过程。平稳高斯窄带过程。.1窄带随机过程续窄带随机过程续2 2零均值平稳高斯窄带过程：零均值平稳高斯窄带过程：或或其中其中C(t)C(t)及及S(t) S(t) 称为称为(t)(t)的同相分的同相分量及正交分量：量及正交分量：( )( )cos( ),( )0cta ttta t( )( )cos( )sinccscttttt( )( )cos( )( )( )sin( )cstatttatt零均值平稳高斯窄带过程的性质零均值平

25、稳高斯窄带过程的性质性质性质1 1：一个均值为零的窄带平稳高斯随机：一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量过程，它的同相分量C(t)C(t)和正交分量和正交分量S(t)S(t)同样是平稳高斯随机过程，而且同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也一样，且等于均值都为零，方差也一样，且等于(t)(t)的方差。另外，在同一时辰上得到的的方差。另外，在同一时辰上得到的C C、S S是不相关的或统计独立的。是不相关的或统计独立的。均值和相关函数均值和相关函数 ( )( )cos( )sinccscEtEttEtt( )0( )0csEtEt( ,)( ,)coscos()( ,)coss

26、in()( ,)sincos()( ,)sinsin()ccsscsccccccccR t tRt tw tw tRt tw tw tRt tw tw tRt tw tw t 由于是零均值并且平稳，因此由于是零均值并且平稳，因此对于相关函数，有对于相关函数，有( )( ,)cos( ,)sinccsccRRt twRt tw ( )( ,)cos( ,)sinsscccRRt twRt tw 假设假设coswct=0,那么有那么有假设假设sinwct=0,那么有那么有假设满足上式，那么有假设满足上式，那么有( ,)( )( ,)( )( ,)( ,)(sscscsccscscRt tRRt t

27、RRt tRRt tR 同为宽平稳同为宽平稳( )( )cos( )sin( )( )cos( )sinsscccsccccRRwRwRRwRw 由相互关函数的性质得由相互关函数的性质得( )()()( )csscscscRRRR 假设上式要同时满足，那么假设上式要同时满足，那么( )( )( )( )scsccsRRRR 因此是一个奇函数因此是一个奇函数(0)0(0)0csscRR 同一时辰不相同一时辰不相关或者统计独关或者统计独立立11( )( )ctt(0)(0)(0)scRRR由于均值为由于均值为0，因此，因此(0)(0)(0)scDDD假设假设coswct=0,那么有那么有假设假设s

28、inwct=0,那么有那么有22( )( )ctt 方差一样方差一样同为高斯同为高斯过程过程零均值平稳高斯窄带过程的性质零均值平稳高斯窄带过程的性质性质二：一个均值为零的平稳高斯窄带过性质二：一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络的一维分布是瑞利分布，相程，其包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，并且就一维位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。分布而言，包络与相位是统计独立的。222()exp,02aaf aa1()022f222(,)exp() ()22aaf af af统计独立统计独立均匀分布均匀分布瑞利分布瑞利分布宽带过程宽带过程- -白噪声白

29、噪声白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布一样大小的噪声。功率谱密匀分布一样大小的噪声。功率谱密度为度为式中：式中：n0n0是一个常数，单位取是一个常数，单位取“瓦赫瓦赫W WHzHz。 0( )2nP.1窄带随机过程续窄带随机过程续7 7白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数阐明：白噪声的自相关函数仅在阐明：白噪声的自相关函数仅在=0=0时才时才不为零；而对于其他恣意的不为零；而对于其他恣意的它都为零。它都为零。这阐明，白噪声只需在这阐明，白噪声只需在=0=0时才相关，时才相关，而它在恣意两个时辰上的随机变量都是而它在恣意两个时辰上的随机

30、变量都是不相关的。不相关的。0( )( )2nR .1窄带随机过程续窄带随机过程续8 8带限白噪声：假设噪声被限制在带限白噪声：假设噪声被限制在-f0, f0-f0, f0之内，且在该频率区间范围内有之内，且在该频率区间范围内有P P( ()=n0/2)=n0/2，在该区间外，在该区间外P P( ()=0)=0，那么这样的噪声被称为带限白噪声。带那么这样的噪声被称为带限白噪声。带限白噪声的自相关函数为限白噪声的自相关函数为式中：式中：0=20=2f0f0。 00200000sin( )2fjffnRedff n .1窄带随机过程续窄带随机过程续9 9n阐明：带限

31、白噪声只需在阐明：带限白噪声只需在=k/2f0=k/2f0k=1k=1，2 2，3 3，上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。即：对带限白噪声按抽样定理最低抽样即：对带限白噪声按抽样定理最低抽样速率抽样的话，那么各抽样值是互不相速率抽样的话，那么各抽样值是互不相关的随机变量。关的随机变量。n带限白噪声的自相关函数与功率谱密度带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图如图2-52-5b b所示。所示。自相关函数及其功率谱密度自相关函数及其功率谱密度例例( )cos()( )cr tAtn tA为常数，为常数，n(t)是零均值窄带高斯噪声，是零均值窄带高斯噪声，求合成信号同相分量和正交分

32、量的均值以及方差求合成信号同相分量和正交分量的均值以及方差2.72.7正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的信号方式正弦波加窄带高斯噪声的信号方式信号信号r(t)r(t)的包络为的包络为( )cos()( )cos() ( )cos()( )sin()ccccr tAtn tAtx tty tt cos( )cos() sin( )sin()ccAx ttAy tt22 1 2( )cos( ) sin( )( ) z tAx tAy t2.72.7正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声相位随机变量为相位随机变量为以相位以相位为条件的为条件的z z与与的结合密度函数为

33、的结合密度函数为arctan02sczz( ,/ )(,/ )(,/ )cscscscszzzzf zf z zf z zzzz 22221exp2cos()22zzAAz2.72.7正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声推导可得包络概率密度函数为推导可得包络概率密度函数为称为广义瑞利分布也称莱斯称为广义瑞利分布也称莱斯RiceRice密度密度函数。函数。2202221( )exp()()02zAzf zzAIz2.72.7正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布2.82.8随机信号经过线性系统随机信号经过线性系统 本节主要讨论平稳随机过程经过线性时不变本节主要讨论平稳随机过程经过线性时不变系统后输出信号的统计特性，以及系统输入系统后输出信号的统计特性，以及系统输入输出之间的一些重要关系。输出之间的一些重要关系。 设：确知信号设：确知信号vi(t)vi(t)表示系统输入，表示系统输入，v0(t)v0(t)表表示系统输出。那么示系统输出。那么0( )( )* ( )( ) ()iiv tv th tvh td输出信号等于输入信号卷积系统函数输出信号等于输入信号卷积系统函数2.82.8随机信号经过线性系统随机信号经过线性系统输入随机过程