年高考数学一轮复习热点难点精讲精析8.6抛物线

1、2021年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.6抛物线（一）抛物线的定义及应用相关链接1抛物线的离心率e =1，表达了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简洁化；2焦半径它们在解题中有重要作用，留意敏捷运用；例题解析例 已知抛物线c 的对称轴与y 轴平行， 顶点到原点的距离为5；如将抛物线c 向上平移 3 个单位， 就在 x 轴上截得的线段长为原抛物线c在 x 轴上截得的线段长的一半；如将抛物线c 向左平移1 个单位，就所得抛物线过原点， 求抛物线 c 的方程；2解答： 设所求抛物线方

2、程为x-h=ay-ka r,a 02由的 顶点到 原点的距离为5，得h 2k 2=52在中，令y=0 ，得 x-2hx+h+ak=0；设方程的二根为x 1,x 2，就|x 1-x 2|=2ak ；将抛物线向上平移3 个单位，得抛物线的方程为2x-h=ay-k-322令 y=0 ，得 x -2hx+h +ak+3a=0；设方程的二根为x 3,x 4，就|x 3-x 4|=2依题意得2ak3a ；ak3a = 1 · 2ak ，2即 4ak+3a=ak2将抛物线向左平移1 个单位，得 x-h+1=ay-k,2由抛物线过原点，得1-h=-ak2由得a=1， h=3,k=-4或 a=4， h

3、=-3,k=-4；2所 求抛物线方程为x-3=y+4，或 x+3=4y+4 ；（二）抛物线的标准方程与几何性质相关链接1求抛物线的标准方程常采纳待定系数法；利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值；2对于直线 和抛物线有两个交点问题，“点差法” 是常用法； 如如ax , y, b x , y 是抛物 线y22 px 上两点，就直线 ab 的斜率kab 与y1y2 可得如下等式k ab2 p；y2y11122注： 抛物线的标准方程有四种类型，所以判定类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程；例题解析例 已知如下列图，

4、抛物线y 22 px p0 的焦点为f ， a 在抛物线上，其横坐标为4，且位于 x 轴上方， a到抛物线准线的距离等于5；过 a 作 ab 垂直于 y 轴，垂足为b ， ob 的中点为 m ；（ 1）求抛物线方程；（ 2）过 m作 mn fa，垂足为n，求点 n的坐标；思路解析： 由抛物线定义求p求直线 fa ， mn的方程解方程组得n 点坐标；解答：（ 1）抛物线y22 px p0 的准线为xp于是 4+2p =5， p =2抛物线方程为y 2=4x2（）点a 的坐标是（，） ，由题意得b0,4,m0,2, 又 f1,0, kfa4 . mn fa, k3 . 就mn34fa 的方程为y4

5、3 x1 ,mn 的方程为y-2=x, 解方程组y4 x1x83, 得53844y23 xy445n , .55 三 直线与抛物线的位置关系相关链接1. 直线与抛物线的位置关系设抛线方程为y22 px p0) , 直线ax+by+c=0, 将直线方程与抛物线方程联立, 消去x得到关于y 的方程2my+ny+q=0,(1) 如 m 0, 当 0 时, 直线与抛物线有两个公共点;当 =0 时, 直线与抛物线只有一个公共点;当 0 时, 直线与抛物线没有公共点.(2) 如 m=0,直线与抛物线只有一个公共点, 此时直 线与抛物线的对称轴平行.2. 焦点弦问题已知 ab 是过抛物线y22 px p0

6、的焦点的弦 ,f 为抛物线的焦点,ax 1,y 1,bx2,y 2, 就21 y1· y2=-p ,x1 ·p2x2 =;4（ 2） | ab |x1x2pp22 psin 2为直线ab的倾斜角 ;（ 3） sabc；2sin（ 4）以 ab为直径的圆与抛物线的准线相切；例题解析例 已知抛物线方程为y 22p x1 p0 ，直线l : xym 过抛物线的焦点f 且被抛物线截得的弦长为3，求 p 的值；解析： 设 l 与抛物线交于a x1, y1 , b x2 , y2 ,就 | ab |3.由距离公式 |ab|= x1x 2 y1y 2 =112 | y1ky2 |2 |

7、y1y2 |,就有 y192y2 .222由xy1p ,y22 p x21.消去 x,得y 22pyp20.2 2 p 24 p 20.y1y22 p, y1 y 2p2 .2从而 y1y 2 y1y 24 y1y2 ,即2p 24 p29 .由于 p>0，解得 p3.24（四）抛物线的实际应用例 如图，l1 ， l 2 是通过某市开发区中心0 的两条南北和东西走向的道路，连接m、n 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线 l1 对称 m到 l1、l2 的距离分别是2 km、4km，n到 l1、l2 的距离分别是3km、9 kin （ 1）建立适当的坐标系，求抛物线弧mn的方程

8、；（）该市拟在点0 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0 的距离大于5km 而不超过8km， 并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6 km求此厂离点0 的最近距离 （注：工厂视为一个点）解析：（ 1）分别以l1 、 l 2 为 x 轴、 y 轴建立如下列图的平面直角坐标系，就m（ 2， 4），n（ 3， 9）设 mn所在抛物线的方程为yax2c ，就有44a99aca1c ，解得c0所求方程为y2x（ 2 x 3）5 分（说明： 如建系后直接射抛物线方程为x 22 py p0 ，代入一个点坐标求对方程，本问扣2 分）（ 2）设抛物线弧上任意一点p（ x ， x 2 ）（ 2 x 3）厂址为点a（ 0， t ）（ 5 t 8 ，由题意得| pa |x2x 2t 26x412t x2t 26 07 分22令 ux， 2 x 3， 4 u 9对于任意的u 4,9 ，不等式 u12tut 26 0 恒成立（ * ）8 分2设 f uu12t ut 26 ， 5t 8912t 2215 2 .要使（ *