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1、圆的几何特征在初中解题中的运用著名的数学家波利亚曾说过，“当原问题看起来不可解时，人类的 高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适 当的辅助问题”，短短数语，导出了数学解题的关键所在。这种迂回 解题思想数形结合，更是屡见不鲜，现举例说明如何巧用圆的几何性质 解题。例1如图，aabc中，zcab是zabc的2倍，是否存在三边长恰是三个连续正整数？证明你的结论。分析 该题如果用止弦定理和余弦定理求解，出现2倍角，对初中 生来说还不会用。若注意到同圆里相等的圆周角所对的弧相等的性质， 问题就迎刃而解了。证明 作aabc的外接岡，作zcab的平分线交bc于点g,交 圆于点f,过点

2、c, f作ab的垂线，垂足分别是d, e,连接cf, bf, 设 ac = m1, ab = m, bc =m + 1。由于 zcaf = zfab = zabc,弧长ac二弧长cf二弧长bf,即 ac = cf = bf又 zcfa = zabc = zfab, cfab,四边形abfc是等腰梯形. ad = be = ab-cf/2 = m-(m-l) /2=l/2在 rtacda 中，cd2 = ac2-ad2 =(m- 1) 2- (1/2)2在 rtacdb 中，bc? = cd2 + db2,即(m + 1) $ =(m-1) 2-(l/2)2+(m-l/2)2解之，得m = 5或

3、m = 0 （舍）， m 1 = 4, m + 1 = 6,存在三边长恰是三个连续正整数.缪2如图，在锐角三角形abc中，cd是ab边上的 高，求证：tana tanb > 1。分析 如果设未知数，建立方程直接求解较繁，不妨用线段的转 换、比较给予证明。证明以ab为直径作圆，交cd于点e,连接ae, beo要使 tana tanb > 1,如图，由于 tana tanb = cd/ad cd/bd = cd2/ad bd,只需 cd2/ad bd > 1,即 cd2 >ad db。根据相交弦定理的推论有ed? = ad - dbo又 cd > ed, cd2 > ad db,即 tana tanb > 1.例 3 已知+= 求证：a2 +b2 = k2分析 如果把条件通过平方，配方可证，但计算量大；如果用三角 换元法，初中牛还未学；若注意到a2 +b2 = k2的特征，会联想到勾 股定理，从而试在圆里构造直角三角形.证明 如图，以a, vk2-/r , k为三边作rtaabd,以b, 4k1-a1 , k为三边作rtabcd,有公共斜边bd,构成四边形abcd,从而abcd 共圆，直径bd = k7 丘-由托勒玫定理，有a7k2-/72 + b2-«2 =ac *bd,再比较已知, 从而ac = k.ac为直径，za

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