第四章动态数列(第四五节长期趋势季节变动的测定与预测

1、第四、五节第四、五节 传统时间数列分析传统时间数列分析时间数列的分解和模型时间数列的分解和模型长期趋势的测定与预测长期趋势的测定与预测 移动平均法移动平均法 数学模型法（数学模型法（直线、抛直线、抛 物线、指数物线、指数）季节变动的测定与预测季节变动的测定与预测 按月（季）平均法按月（季）平均法 移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法统计学原理统计学原理统计学原理统计学原理统计学原理统计学原理DateSEP 2002JAN 2002MAY 2001SEP 2000JAN 2000MAY 1999SEP 1998JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP

2、 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990SALES12010080604020某企业从某企业从19901990年年1 1月到月到20022002年年1212月的销售数据月的销售数据（单位：百万元）（单位：百万元） 统计学原理统计学原理 时间数列的分解和模型时间数列的分解和模型u时间数列时间数列(Y）的分解）的分解 一般来说，经济指标时间数列由四种影响因素共同一般来说，经济指标时间数列由四种影响因素共同作用所形成作用所形成n长期趋势长期趋势T T（TrendTrend）n季节变动季节变动S S（SeasonalSe

3、asonal）n循环变动循环变动C C（CycleCycle）n不规则变动不规则变动I I（Irregular)Irregular)可预测的可预测的不可预测的不可预测的u时间数列的模型时间数列的模型n 加法模型：四种影响因素加法模型：四种影响因素独立作用独立作用 Y=T+S+C+IY=T+S+C+I 四种因素均为绝对数形式。四种因素均为绝对数形式。n 乘法模型：四种影响因素乘法模型：四种影响因素相互作用相互作用Y=T Y=T S S C C I I（一般使用的模型）（一般使用的模型） 其中，其中，T T为绝对数形式，其他因素为相对数形式。为绝对数形式，其他因素为相对数形式。统计学原理统计学原理

4、ttYYY=T + S + C + IY=TS C I统计学原理统计学原理 时间数列模型的意义时间数列模型的意义 将时间数列实际值波动分解为四种因素，可以通过将时间数列实际值波动分解为四种因素，可以通过这些因素之间的关系，测定和预测长期的变化方向、季这些因素之间的关系，测定和预测长期的变化方向、季节波动、周期变动等。节波动、周期变动等。 时间数列模型为测定和预测提供了解决原理。时间数列模型为测定和预测提供了解决原理。如要如要测定长期趋势，就是要消除时间数列（测定长期趋势，就是要消除时间数列（Y）中的随机波）中的随机波动、循环变动和季节变动，剩余的就是长期趋势。动、循环变动和季节变动，剩余的就是

5、长期趋势。ICSYT 其他变动可以类似地求得。实际中只要寻找可其他变动可以类似地求得。实际中只要寻找可以做到消除其他因素的方法即可。以做到消除其他因素的方法即可。ICSYTY=T S C IY=T+S+C+I统计学原理统计学原理u 时间数列分解法时间数列分解法 基于乘积模型的时间序列分解基于乘积模型的时间序列分解Y Yt t = T = TS SC CI I 第一步：第一步：消除时间序列中的消除时间序列中的季节因素季节因素和和不规则因素不规则因素 采用移动平均法采用移动平均法 计算移动平均值的时期等于季节波动的周期长度计算移动平均值的时期等于季节波动的周期长度 用移动平均法计算的结果是只包含长

6、期趋势因素用移动平均法计算的结果是只包含长期趋势因素T T和循环波动因素和循环波动因素C C的时间序列，即：的时间序列，即：M Mt t = T = TC C统计学原理统计学原理 第二步：计算只反映季节波动的季节指数第二步：计算只反映季节波动的季节指数（SeasonalSeasonal indicesindices） 用移动平均值去除原时间序列中对应时期的实际值，得到只包用移动平均值去除原时间序列中对应时期的实际值，得到只包含季节波动和不规则波动的时间序列，即：含季节波动和不规则波动的时间序列，即： S SI I 通常是围绕通常是围绕1 1随机波动的值，某个时期的值大于随机波动的值，某个时期的

7、值大于1 1，则该时，则该时期的季节波动大于平均水平期的季节波动大于平均水平 季节指数是通过对时间序列季节指数是通过对时间序列 S SI I 计算平均值得到的，即：计算平均值得到的，即：ISCTICSTMYtt_ISS统计学原理统计学原理 第三步：把长期趋势因素与循环因素分开第三步：把长期趋势因素与循环因素分开 识别长期趋势变动的类型，建立相应的确定性时间序列模型识别长期趋势变动的类型，建立相应的确定性时间序列模型 例如，时间序列的长期趋势可以用下列模型表示例如，时间序列的长期趋势可以用下列模型表示Y Yt t= a+ = a+ btbt + + t t 用最小二乘法估计出模型中参数用最小二乘

8、法估计出模型中参数b b0 0 和和 b b1 1，则长期趋势值可以，则长期趋势值可以用下式计算：用下式计算： 反映循环因素波动的循环指数可以用下式计算反映循环因素波动的循环指数可以用下式计算tbaTtTMTCTCt统计学原理统计学原理u时间序列（时间数列）的基本特征时间序列（时间数列）的基本特征 时间数列变化的基本特征是指各种时间序列表现出的具有时间数列变化的基本特征是指各种时间序列表现出的具有共性的变化规律，如趋势变化、周期性变化等共性的变化规律，如趋势变化、周期性变化等 根据时间序列变化的基本特征，它们可以分为：根据时间序列变化的基本特征，它们可以分为： 呈呈水平形变化水平形变化的时间序

9、列的时间序列 呈呈趋势变化趋势变化的时间序列的时间序列 呈呈周期变化周期变化的时间序列的时间序列 具有冲动点具有冲动点的时间序列的时间序列 具有转折变化具有转折变化的时间序列的时间序列 呈呈阶梯形变化阶梯形变化的时间序列的时间序列统计学原理统计学原理n呈水平型变化的时间序列呈水平型变化的时间序列经济变量的发展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋势，也经济变量的发展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋势，也没有较大幅度的上下波动没有较大幅度的上下波动如处于市场饱和状态的产品销售量，生产过程中出现的稳定的次如处于市场饱和状态的产品销售量，生产过程中出现的稳定的次品率。品率。Ytt统计学原理统计学原

10、理n呈趋势变化的时间序列呈趋势变化的时间序列 上升或下降的趋势变化，长期趋势变化上升或下降的趋势变化，长期趋势变化Ytt统计学原理统计学原理n呈周期型变化的时间序列呈周期型变化的时间序列Ytt统计学原理统计学原理n 具有脉冲（具有脉冲（ImpulseImpulse）变化的时间序列）变化的时间序列Ytt统计学原理统计学原理n具有阶梯型变化的时间序列具有阶梯型变化的时间序列Ytt统计学原理统计学原理n时间序列的转折性变化时间序列的转折性变化Ytt长期趋势的测定与预测长期趋势的测定与预测n 移动平均原理移动平均原理 时间数列中后面的数据中包含有以前数值的信息，通常采用时间数列中后面的数据中包含有以前

11、数值的信息，通常采用算术平均方法。算术平均方法。u 移动平均法（移动平均法（Moving AverageMoving Average）介绍）介绍 移动平均是利用平均的方法，被平均的数据个数是固定的，移动平均是利用平均的方法，被平均的数据个数是固定的，但是被平均的数值随时间推移，不断吐故纳新，故名为移动平均。但是被平均的数值随时间推移，不断吐故纳新，故名为移动平均。适当的移动平均可消除季节变动和不规则变动。适当的移动平均可消除季节变动和不规则变动。kxxxk,x,xkttt11MA:项移动平均为项移动平均为则则设时间数列为设时间数列为21 移动平均法是对原动态数列进行修匀，来测定其长期趋势的一种

12、较为简单的方移动平均法是对原动态数列进行修匀，来测定其长期趋势的一种较为简单的方法。这个方法就是采用逐项递推移动的方法，分别计算一系列移动的序时平均数，法。这个方法就是采用逐项递推移动的方法，分别计算一系列移动的序时平均数，形成一个新的派生的序时平均数动态数列，来代替原有的动态数列。在这个新的形成一个新的派生的序时平均数动态数列，来代替原有的动态数列。在这个新的动态数列中，短期的偶然因素引起的变动被消弱了，从而呈现出明显的长期趋势。动态数列中，短期的偶然因素引起的变动被消弱了，从而呈现出明显的长期趋势。移动项数为偶数时移动项数为偶数时，需要进行第二次移动平均，以移正。这，需要进行第二次移动平均

13、，以移正。这样移正后的新时间数列项数为原时间数列项数样移正后的新时间数列项数为原时间数列项数- -移动项数，前移动项数，前后各少后各少k/2k/2项。项。 移动项数要根据时间数列的特点确定，如有季节变动的，移动项数要根据时间数列的特点确定，如有季节变动的，移动项数取移动项数取4 4。移动项数越多，修匀效果越好，趋势线越平滑。移动项数越多，修匀效果越好，趋势线越平滑。简单移动平均可以形成新的时间数列作为原数列的趋势值，简单移动平均可以形成新的时间数列作为原数列的趋势值，然后在原数列中除以或者减去这些趋势值，可得到季节变动然后在原数列中除以或者减去这些趋势值，可得到季节变动和不规则变动。移动平均还

14、可以用来预测长期趋势。和不规则变动。移动平均还可以用来预测长期趋势。统计学原理统计学原理22.6722.6722.0022.0022.6722.6721.0021.0022.0022.0020.0020.0019.6719.6718.0018.00222220032003222220022002242420012001222220002000202019991999171719981998171719971997MAMA（5 5）MAMA（3 3）产量（万元）产量（万元）年份年份例例 移动项数为奇数的移动平均移动项数为奇数的移动平均3项移动平均数项移动平均数（17+17+20）/3=185项移

15、动平均数项移动平均数（17+17+20+22+24）/5=20见教材见教材P160表表4-1722.25022.25021.37521.37519.87519.87518.62518.625222220022002222220012001242420002000222219991999202019981998171719971997171719961996191919951995移正平均移正平均MAMA（4 4）产量（万元）产量（万元）年份年份18.2518.2519.0019.0020.7520.7522.0022.0022.5022.50例例 移动项数为偶数的移动平均（移动项数为偶数的移动

16、平均（选选）（18.25+19）/2=18.625在移动在移动项数项数为偶数的为偶数的移动平均法移动平均法里的，先里的，先求求4项移动项移动平均数平均数，得出的数值再进行，得出的数值再进行2次次平均得到的平均得到的平均数平均数就是移正就是移正平均数平均数 （19+17+17+20）/4=18.25统计学原理统计学原理n 移动平均预测法移动平均预测法 前面移动平均法所得到的平均值就是预测值前面移动平均法所得到的平均值就是预测值，只不，只不过这种简单移动平均预测法认为以前所有信息对预测值过这种简单移动平均预测法认为以前所有信息对预测值的影响相同，故采用的简单算术平均，可写成：的影响相同，故采用的简

17、单算术平均，可写成：tktt1tkttt1tFkxkxFkxxxF整理后得，整理后得，11 即每一期新的预测值是对前一次移动平均预测值的修即每一期新的预测值是对前一次移动平均预测值的修正，这一修正包括最新的观察值减去最早的观察值。正，这一修正包括最新的观察值减去最早的观察值。 实际上，越近的观察值对预测值影响越大。可以按时实际上，越近的观察值对预测值影响越大。可以按时间顺序，给离得越近的观察值赋予越大的权数来体现这种间顺序，给离得越近的观察值赋予越大的权数来体现这种思想，于是产生思想，于是产生指数平滑预测法指数平滑预测法。统计学原理统计学原理tttttttktt1tFkxkFkFkxFFkxk

18、xF）（变化为变化为将将1111显然，这是加权算术平均。若令显然，这是加权算术平均。若令=1/k=1/k在在0 0到到1 1之间变之间变化，则上式表示成：化，则上式表示成：11111111ktkktktttt1tFxxxFxF）（）（）（）（ 可见，权数随时间往前按指数规律递减。可见，权数随时间往前按指数规律递减。统计学原理统计学原理 数学模型法（趋势外推法）数学模型法（趋势外推法）最小平方法最小平方法min)yy(c2u直线趋势直线趋势当当逐期增长量大致相等逐期增长量大致相等时，则可考虑配合直线趋势方程。时，则可考虑配合直线趋势方程。btayc22()()cFyyyabt令令00FaFb2y

19、nabttyaxbt22()aybtntytybntt 根据历史数据以数学模型的形式，对未来进行预测。根据历史数据以数学模型的形式，对未来进行预测。假设条件是事物发展过程一般属于渐进变化；未来的影假设条件是事物发展过程一般属于渐进变化；未来的影响因素不会发生大的变化。原理是根据离差平方和最小响因素不会发生大的变化。原理是根据离差平方和最小的拟合曲线作为最为恰当的趋势线。即的拟合曲线作为最为恰当的趋势线。即统计学原理统计学原理2ttybynyal项数为奇数时项数为奇数时t t设置为设置为: :, ,3,3,2,2,1 1，0 0，1 1，2 2，3 3，l项数为偶数时项数为偶数时t t设置为设置

20、为: :, ,5,5,3,3,1 1，1 1，3 3，5 5，简化公式简化公式 2tbtynayu抛物线趋势抛物线趋势当当二级增长量二级增长量（逐期增长量的增长量逐期增长量的增长量）大致相等大致相等时，时，则可考虑配合则可考虑配合抛物线趋势方程抛物线趋势方程 ：2ctbtaycu指数曲线趋势指数曲线趋势当当动态数列的环比发展速度大致相同时动态数列的环比发展速度大致相同时，则可考虑对，则可考虑对动态数列拟合指数曲线方程动态数列拟合指数曲线方程 ：tcaby 因为时间是人为设定，是等差数列。对时间进行重新设定，只因为时间是人为设定，是等差数列。对时间进行重新设定，只要假定的要假定的t t是等差数列

21、，并且满足是等差数列，并且满足 就可以得到简化公式。就可以得到简化公式。 0t见教材见教材P163抛物线趋势方程简化公式见教材抛物线趋势方程简化公式见教材P166btayc统计学原理统计学原理要求：要求：1 1）计算）计算3 3项和项和5 5项移动平均。项移动平均。2 2）用最小平方法配合适当的直线方）用最小平方法配合适当的直线方程。预测程。预测20082008年该超市的营业额。年该超市的营业额。例例 某超市某超市2000200020072007年营业额如下：年营业额如下：yaoyao 单位：万元单位：万元年份年份营业额营业额2000200010010020012001110110200220

22、021081082003200312012020042004123123200520051401402006200613913920072007164164btaytbtynayc2时间时间t =9年份年份营业额营业额y yMAMA（3 3）MAMA（5 5）t tt t2 2tyty20002000100100-7-74949-700-70020012001110110106-5-52525-550-55020022002108108112.7112.2-3-39 9-324-32420032003120120117117120.2-1-11 1-120-120200420041231231

23、27.7127.71261261 11 112312320052005140140134134137.23 39 942042020062006139139147.7147.75 52525695695200720071641647 749491148114820082008/ / / /合计合计10041004/ / /0 016816869269212. 41686925 .125810042ttybnya（万万元元）5816291245125.yct.yc1245125直线趋势方程为直线趋势方程为20082008年营业额预测值为年营业额预测值为3项：项：（140+139+164）/3=1

24、47.72tbtynaybtaycN=8,为偶为偶数数统计学原理统计学原理要求：要求：1 1）用最小平方法配合适当的直线方程。）用最小平方法配合适当的直线方程。 2 2）预测）预测20092009年第一季度该电脑出货量。年第一季度该电脑出货量。课堂练习课堂练习 某电脑代理商某电脑代理商2007-20082007-2008年各季度电脑销售：年各季度电脑销售： 单位：万元单位：万元季度季度出货量（万台）出货量（万台）07-107-1181807-207-2202007-307-3333307-407-4242408-108-1262608-208-2383808-308-34242合计合计2012

25、012t t ty -3-549 -2-404 -1-331 000 1261 2764 31269 10128ba2810172016 . 37 .28batyc6 . 37 .2809年第一季度，年第一季度，t=4，电脑出货量为：电脑出货量为：28.7+3.6*4=43.1（万台）（万台）N=7,为为奇数奇数练习：练习：P183-8统计学原理统计学原理u 按月（或季）平均法按月（或季）平均法全全期期总总平平均均数数同同期期平平均均数数100S.I.（按按月月）1200S.I.（按按季季）400S.I.（1 1）将各年同期的数据）将各年同期的数据排成一列对齐排成一列对齐，列成数据表；，列成数

26、据表；（2 2）将）将各年同期数值加总各年同期数值加总，求各年同期平均数求各年同期平均数；（3 3）将）将所有时期的数值加总，求出全期总平均数所有时期的数值加总，求出全期总平均数；（4 4）求同期平均数对全期平均数的比率，称之为季节比率）求同期平均数对全期平均数的比率，称之为季节比率或季节指数，记为或季节指数，记为S.I.S.I.，其计算公式为：，其计算公式为：按月（或按季）平均法不考虑长期趋势，计算步骤如下：按月（或按季）平均法不考虑长期趋势，计算步骤如下： 季节变动测定与预测季节变动测定与预测统计学原理统计学原理倘若季节比率之和不等于倘若季节比率之和不等于400%400%（按季）或（按季）

27、或1200%1200%（按月），（按月），则需要进行校正：求出校正系数，然后用校正系数去乘季节则需要进行校正：求出校正系数，然后用校正系数去乘季节比率。校正系数计算如下：比率。校正系数计算如下：（按按季季）个个季季度度季季节节比比率率之之和和校校正正系系数数（按按月月）个个月月季季节节比比率率之之和和校校正正系系数数4400121200例：例：P173表表4-25统计学原理统计学原理例例 某厂羊毛衫销售量季节比率计算表某厂羊毛衫销售量季节比率计算表 单位：万件单位：万件假设已知假设已知20042004年年第二季度第二季度的羊毛衫销售量为的羊毛衫销售量为120120万件，预测万件，预测20042004年年第四季度第四季度羊毛衫的销售量。羊毛衫的销售量。 25525537837