可靠性工程03

1、回顾复习回顾复习p维修度M()n对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和规定的时间（0, ）内完成修复的概率。p修复率()n修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时刻后的单位时间内完成修复的概率。p有效度A(t)n可维修产品在某时刻t具有或维持其功能的概率。第三章第三章 可修复系统的可靠性可修复系统的可靠性3.1 马尔可夫过程3.2 状态转移图3.3 n步转移后系统各状态概率3.4 单部件可修系统3.5 串联可修系统3.6 并联可修系统引言引言 可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理可以使系可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。如果工作

2、时间和修统恢复至正常工作状态，如下图所示。如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。 3.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p马尔可夫过程定义马尔可夫过程定义 马尔可夫过程是一类马尔可夫过程是一类“后效性后效性”的随机过程。简单地的随机过程。简单地说，在这种过程中说，在这种过程中系统将来的状态只与现在的状态有关系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在t0时刻所处时刻所处的状态，那么的状态，那么t t0时的状态仅与时刻时的状态仅与时刻t0的状态有关。的

3、状态有关。3.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p马尔可夫过程的数学描述马尔可夫过程的数学描述 设设x(t),t0是取值在是取值在E=0,1,2,或或E=0,1,2,N上的上的一个随机过程。若对任意一个随机过程。若对任意n个时刻点个时刻点0t1t2tn 均有均有: Px(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,x(tn-1)=in-1 =Px(tn)=in|x(tn-1)=in-1 i1,i2,inE 则称则称x(t),t0为离散状态空间为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程上连续时间马尔可夫过程。 3.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p齐次马尔可夫过程齐次马尔可夫过程如果对任意如果对任意t,

4、u0,均有均有 Px(t+u)=j|x(u)=i=Pij(t) i,jE 与始点与始点u 无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。或者，齐次马尔可夫过程或者，齐次马尔可夫过程 如果马尔可夫过程的转移如果马尔可夫过程的转移概率函数或概率函数或转移概率密度转移概率密度, ,只与只与转移前后的状态及相应的二个时刻的时间差有关，而与二个转移前后的状态及相应的二个时刻的时间差有关，而与二个时刻无关，即时刻无关，即 F(x2 ; t2 | x1 ; t1)= F(x2 | x1 ; t2 -t1) f(x2 ; t2 | x1 ; t1)= f(x2 | x1 ; t2 -t1

5、)称具有这种特性的称具有这种特性的马尔可夫过程为马尔可夫过程为齐次马尔可夫过程齐次马尔可夫过程。3.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p齐次马氏过程的性质齐次马氏过程的性质可以证明，对系统寿命以及故障后的修复时间均服可以证明，对系统寿命以及故障后的修复时间均服从指数分布时，则系统状态变化的随机过程从指数分布时，则系统状态变化的随机过程x(t),t0是是一个齐次马尔可夫过程。一个齐次马尔可夫过程。 (2)(2)式中对式中对j j求和求和, ,是对状态空间是对状态空间I I的所有可能状态进行的的所有可能状态进行的 njijijPP）（）（112; 1013.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p3.1 马尔可夫

6、过程马尔可夫过程p3.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p转移矩阵转移矩阵 Pij(t)称为从状态称为从状态i到状态到状态j的转移函数，由转移函数的的转移函数，由转移函数的全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移个状态系统的转移矩阵为矩阵为nn阶方阵，可写为：阶方阵，可写为： PPPPPPPPPPnnnnnn212222111211性质（性质（2 2）说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为）说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1. 1. 通常称满足通常称满足(1)(1)、(2)(2)性质的矩阵为性质的矩阵为随机矩阵随机矩阵. .3.1 马尔可夫过程马尔可夫

7、过程n三条假设三条假设a) ， 为常数为常数(即寿命和维修时间服从指数分布即寿命和维修时间服从指数分布)b)部件和系统取部件和系统取正常正常和和故障故障两种状态。两种状态。c)在相当小的在相当小的 t内，发生两个或两个以上部件同时进行内，发生两个或两个以上部件同时进行状态转移的概率是状态转移的概率是 t的高阶无穷小，此概率可以忽略的高阶无穷小，此概率可以忽略不计。不计。3.1 马尔可夫过程马尔可夫过程p3.2 状态转移图状态转移图n例例1如一台机器，运行到某一时刻如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为：时，可能的状态为： e1正常；正常； e2故障。如机器处于故障。如机器处于e1状态的概

8、率状态的概率P11=4/5,则则e1向向e2转移的概率转移的概率P12=1P11=1/5；反过程，如机器处；反过程，如机器处于于e2状态，经过一定时间的修复返回状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是状态的概率是3/5，P21=3/5(维修度维修度M( );则修不好仍处于则修不好仍处于e2状态的概率是状态的概率是P22=1P21=2/5.3.2 状态转移图状态转移图p由此可写出系统的转移矩阵为由此可写出系统的转移矩阵为:n转移矩阵转移矩阵Pij也表示事件也表示事件ei 发生的条件下，事件发生的条件下，事件ej发生的发生的条件概率：条件概率：Pij=P(ej|ei) ； n矩阵矩阵 P:行

9、是起始状态，由小到大；列是到达状态，由行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由小到大排列，建立小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。时应与转移图联系起来。3.2 状态转移图状态转移图p例例2对于一可修系统，失效率和修复率对于一可修系统，失效率和修复率、为常数，试画为常数，试画出状态转移图：出状态转移图： e1正常； e2故障。3.2 状态转移图状态转移图p由此可写出：由此可写出： 通常令t=1,则有p 由此可知，状态转移图是求解由此可知，状态转移图是求解(写出写出)转移矩阵的基础。转移矩阵的基础。11P此时转移矩阵此时转移矩阵P也称为微系数矩阵也称为微系数矩阵马尔可夫链的概念及转移概率马尔可

10、夫链的概念及转移概率例例排队模型排队模型设设服务系统服务系统, ,由一个服务员和只可能容纳两个人的等候室组成由一个服务员和只可能容纳两个人的等候室组成. .服务规则服务规则: : 先到先服务先到先服务, ,后来者需在等候室依次排队后来者需在等候室依次排队. . p假定假定需要服务的顾客到达系统需要服务的顾客到达系统, , 发现系统内已有发现系统内已有3 3个顾客个顾客(1(1个在接受服务个在接受服务, 2, 2个在等候室排队个在等候室排队),),则该顾客即离去则该顾客即离去. . p设设时间间隔时间间隔tt内有一个顾客进入系统的概率为内有一个顾客进入系统的概率为q,q,有一原来有一原来被服务的

11、顾客离开系统被服务的顾客离开系统( (即服务完毕即服务完毕) )的概率为的概率为p.p.p又设又设当当tt充分小充分小, ,在时间间隔内多于一个顾客进入或离开在时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的系统实际上是不可能的等候室等候室 服务台服务台系统系统离去者离去者随机到达者随机到达者马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的概念及转移概率p再设再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的.p如何用马氏链描述这一服务系统如何用马氏链描述这一服务系统? 设设XnX(nt),表示时间表示时间nt时系统内的顾客数。则时系统内的顾客数。则Xn,n=0,1,2

12、,是随机过程是随机过程,状态空间状态空间I=0,1,2,3.由于当由于当Xn=i,iI已知时已知时,Xn+1所处的状态概率分布只与所处的状态概率分布只与Xn=i有关有关,而而与时间与时间nt以前所处的状态无关以前所处的状态无关,所以该随机过程是一个齐次所以该随机过程是一个齐次马氏链马氏链.p怎样计算此马氏链的一步转移概率怎样计算此马氏链的一步转移概率? 记记p00:在系统内没有在系统内没有顾客的条件下顾客的条件下,经经t后仍无顾客的概率后仍无顾客的概率, p00=1-q. 马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的概念及转移概率 p p0101: :在系统内没有顾客的条件下在系统内没有顾客的条件下

13、, ,经经tt后有一顾客进入系后有一顾客进入系统的概率统的概率, p, p0101=q.=q. p p1010: :系统内恰有一顾客正在接受服务的条件下系统内恰有一顾客正在接受服务的条件下, ,经经tt后系后系统内无人进入的概率统内无人进入的概率, , 等于在等于在tt间隔内顾客因服务完毕而间隔内顾客因服务完毕而离去离去, ,且无人进入系统的概率且无人进入系统的概率, p, p1010=p(1-q). =p(1-q). p p1111: :系统内恰有一顾客的条件下系统内恰有一顾客的条件下, ,在在tt间隔内间隔内, , 因服务完因服务完毕而离去毕而离去, ,而另一顾客进入系统而另一顾客进入系统

14、, , 或者正在接受服务的顾客或者正在接受服务的顾客将继续要求服务将继续要求服务, ,且无人进入系统的概率且无人进入系统的概率,p,p1111=pq+(1-p)(1-=pq+(1-p)(1-q).q).马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的概念及转移概率p p1212: :正在接受服务的顾客将继续要求服务正在接受服务的顾客将继续要求服务, , 且另一顾客进入且另一顾客进入系统的概率系统的概率, p, p1212=q(1-p).=q(1-p).p p1313: :正在接受服务的顾客继续要求服务正在接受服务的顾客继续要求服务, ,且在且在tt间隔内有两间隔内有两个顾客进入系统的概率个顾客进入系统的

15、概率. .由假设这种情况是不可能发生的由假设这种情况是不可能发生的, , p p1313=0.=0.系统内有一顾客正在接受服务系统内有一顾客正在接受服务, ,有一顾客在排队有一顾客在排队, ,在在tt间隔间隔内顾客因服务完毕离去内顾客因服务完毕离去, ,无顾客进入无顾客进入; ;以及系统内有一顾客以及系统内有一顾客正在接受服务正在接受服务, ,有两顾客正在排队有两顾客正在排队, , 在在tt间隔内顾客因服间隔内顾客因服务完毕离去务完毕离去, , 再无顾客进入的概率相等再无顾客进入的概率相等, ,故有故有p p2121=p=p3232=p(1-=p(1-q). q). 马尔可夫链的概念及转移概率

16、马尔可夫链的概念及转移概率p系统内有系统内有2顾客顾客,其中一人接受服务其中一人接受服务,在在t间隔内间隔内,因服务完因服务完毕而离去毕而离去,而另一顾客进入系统而另一顾客进入系统,或者正在接受服务的顾或者正在接受服务的顾客将继续要求服务客将继续要求服务,且无人进入系统的概率为且无人进入系统的概率为:p22=pq+(1-p)(1-q).p系统内有系统内有2顾客顾客, 正在接受服务的顾客继续要求服务正在接受服务的顾客继续要求服务,且另且另一顾客进入系统的概率为一顾客进入系统的概率为:p23=q(1-p)，且当，且当|i-j|2时时,pij=0.马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的概念及转移概率

17、p p3333: :系统内有三位顾客系统内有三位顾客, , 或者一人将离去另一人将进入系统或者一人将离去另一人将进入系统; ; 或者无人离开的概率或者无人离开的概率, p, p3333=pq+(1-p).=pq+(1-p).于是得该马氏链的一步转移概率矩阵于是得该马氏链的一步转移概率矩阵: :P= P= . .0 1 2 3 (1-q) q 0 0(1-q) q 0 0 p(1-q) pq+(1-p)(1-q) q(1-p) 0 p(1-q) pq+(1-p)(1-q) q(1-p) 0 0 p(1-q) pq+(1-p)(1-q) q(1-p) 0 p(1-q) pq+(1-p)(1-q)

18、q(1-p) 0 0 p(1-q) pq+(1-p) 0 0 p(1-q) pq+(1-p)0 1 2 3马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的概念及转移概率p马尔可夫链的概念及转移概率马尔可夫链的概念及转移概率pp p1111 p p12 12 p p1n 1n p p2121 p p2222 p p2n2n p pn1n1 p pn2n2 p pnnnn P=P=MarkovMarkov过程过程pC-KC-K方程方程p3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率n设系统初始状态是 的概率 ，由切普曼柯尔莫哥洛夫方程， 可表示为： 式中n = k + l, v E(状态空间)n 此

19、式为由状态i经n步转移到状态j的概率，等于由状态i先经k步转移到状态v，然后由状态v经l步转移到状态j的概率(此处v也可理解为从i到j的通道)。jin步转移Pnij)(Pnij)(PPPPlvjvkivlkijnij)()()(3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率p上式中，若令k=1,l=1,由 可决定 ，即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定所有的转移概率。p若用矩阵表示n步转移概率，即 ，则有： 转移矩阵 )()(PPnijn),(EjiPijPij)2( )nklPP PP3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态

20、概率p 一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转移后系统各状态的概率。公式如下：移后系统各状态的概率。公式如下： 式中 P1步转移概率； n步转移概率；n转移步数(次数)；P(0)系统初始状态向量， P(0)= P1(0), P2(0) Pi(0)初始t=0时刻系统处于i状态的概率P(n)n步转移后系统所处状态向量，P(n)= P1(n), P2(n),Pi(n) n步转移后系统处于i状态的概率PPnPn)0()(Pn3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率n例：如下图，已知P(0)=P1(0), P2(0)=1, 0,

21、求n=1,2,等各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1正常； e2故障。3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率解：依次求得 n=1，n=2， n=3，n=5时的状态矩阵 由此可知，随着由此可知，随着n的递增，的递增，P1(n)、 P2(n)逐渐趋于稳定。逐渐趋于稳定。稳定状态概率稳定状态概率称为称为极限概率极限概率。21/21/2(2)(0)(0)(1)1/21/20.450.552/53/5PPPP PPPP555.0445.0)3(P55555. 044445. 0)5(P5.05.05/35/22/12/101)0()1(PPP3.3 n步转移后系统各状态概率步转移

22、后系统各状态概率p本例n时的极限概率为P1()=4/9, P2()=5/9,即n时， 将收敛于一个定概率矩阵，即(本例为)： p在实践中常会遇到这样的情况，不管系统的初始状态如何，在实践中常会遇到这样的情况，不管系统的初始状态如何，在经历了一段工作时间后，便会处于相对稳定状态，在数在经历了一段工作时间后，便会处于相对稳定状态，在数学上称之为各态历经或遍历性。所谓学上称之为各态历经或遍历性。所谓遍历过程就是系统处遍历过程就是系统处于稳定状态的概率与初始状态无关的随机过程于稳定状态的概率与初始状态无关的随机过程。具有这种。具有这种性质的状态转移矩阵称为遍历矩阵。性质的状态转移矩阵称为遍历矩阵。Pn

23、9/59/49/59/4Pn3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率p如果转移矩阵如果转移矩阵P经过经过n次相乘后，所得矩阵的全部元素都次相乘后，所得矩阵的全部元素都大于大于0,即即 (i,j E),(注：常以此为判断马尔可夫链注：常以此为判断马尔可夫链是否为各态历经的或是否存在极限概率是否为各态历经的或是否存在极限概率)，则这样的转移，则这样的转移矩阵都是矩阵都是遍历矩阵遍历矩阵。遍历矩阵一定存在极限概率。遍历矩阵一定存在极限概率(或稳定或稳定状态状态)。p经过经过n步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，即使步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，即使再多转移一步，状态概率也

24、不会有变化，可以求出平稳状再多转移一步，状态概率也不会有变化，可以求出平稳状态。态。0)(Pnij3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率p设平稳状态概率为设平稳状态概率为P(n)= P1, P2Pn, P为一步转移概率为一步转移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以下方程：矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以下方程： 或写成：)()(nPPnPPPPPPPPPPPPPPPPnnnnnnnn21212222111211213.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率p 展开后得： (j=1,2,n) （n个方程只有n-1个是独立的，因此必须再加另一个独立方程。） 由此即可

25、求出n个平稳状态概率。 njjijniijPPPP1113.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率p 例：求如图所示系统的平稳状态概率。3.3 n步转移后系统各状态概率步转移后系统各状态概率p解：一步转移矩阵为: 设P(n)= P0 P1，则 PPttttPP101011001010PPPP101010PPPPP0P13.4 单部件可修系统单部件可修系统p单部件系统是指一个单元组成的系统单部件系统是指一个单元组成的系统(或把整个系统当作或把整个系统当作一个单元来研究一个单元来研究)，部件故障，则系统故障；部件正常，部件故障，则系统故障；部件正常，则系统正常。则系统正常。()0( )

26、1tx tt系统状态时刻 系统正常时刻 系统故障3.4 单部件可修系统单部件可修系统p部件的失效率、修复率分别是常数部件的失效率、修复率分别是常数、，则：，则：pt时刻系统处于工作时刻系统处于工作(正常工作正常工作)状态，在状态，在tt+t之间内发生故障的条之间内发生故障的条件概率为件概率为t (即为即为 )pt时刻系统处于故障状态，在时刻系统处于故障状态，在tt+t之间即之间即t时间内修复好的条件时间内修复好的条件概率为概率为t(即为即为 )01P10P3.4 单部件可修系统单部件可修系统p 单部件可修系统状态转移图单部件可修系统状态转移图3.4 单部件可修系统单部件可修系统p上图中:p同理

27、:ttxttxPtPP0)(| ) 1()(0101条件概率ttxttxPtPP10)(| )0()(0000ttxttxPtPP1)(| )0()(1010ttxttxPtPP11)(| ) 1()(11113.4 单部件可修系统单部件可修系统p上图的转移概率矩阵为上图的转移概率矩阵为:)(111010tPttttP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p令令p下面研究如何求解下面研究如何求解 和和p首先，利用全概率公式可求出首先，利用全概率公式可求出 和和 的表达式的表达式 1)()(，0)()(10txPtPtxPtP)(0tP)(1tP)(0ttP)(1ttP3.4 单部件可修系统单部件

28、可修系统)()()1 ()()()()(1)(1)(|0)(0)(0)(|0)(0)()(101100000ttPtPttPtPtPtPtxPtxttxPtxPtxttxPttxPttP 此即为 的计算公式 )(0ttP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p由上式展开、移项、两边除以p若令取极限有：(1)t0t)()(t)() t(lim10000ttPtPtPtP)()()(100tPtPtP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p同理可得：(2)p(1)、(2)联立即可求出和。p(1)、(2)的联立方程称为状态方程)()1 ()()(101tPtttPttP)()()(101tPtPtP)(

29、0tP)(1tP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p下边求解状态方程p对上述(1)、(2)两边取拉氏变换：)()()()()()(101100tPLtPLtPLtPLtPLtPL)()()0()()()()0()(10111000sPsPPssPsPsPPssP拉氏变换引入的变量引用ssPtPLPssPtPL)()()0()()(3.4 单部件可修系统单部件可修系统p假设t=0时系统为正常状态，即，。代入上式1)0(0P0)0(1P)()()()()(1)(101100sPsPssPsPsPssP)()()(11)(10sssPssssssP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p拉氏反变换：

30、ttetPetP)(1)(0)()(3.4 单部件可修系统单部件可修系统p由此瞬态有效度(可用度)：p稳态有效度：p平均有效度：(0,t)()(0tPtA)(lim)(tAAttetdttAttAtt2)(20)()()(1)(3.4 单部件可修系统单部件可修系统p由上述可归纳出解可修系统有效度的方法步骤如下：由上述可归纳出解可修系统有效度的方法步骤如下：(1)画出系统的状态转移图画出系统的状态转移图(2)写出转移矩阵写出转移矩阵 (3)令令 ，求出，求出P(也称为转移矩阵也称为转移矩阵)(4)求状态方程系数矩阵求状态方程系数矩阵AA=P-I （I为与为与P同阶的单位矩阵，同阶的单位矩阵，A又

31、称为转移率矩阵）又称为转移率矩阵）)( tP 1t3.4 单部件可修系统单部件可修系统p(5)写出状态方程式式中为各状态概率向量为各状态概率导数向量p(6)求解状态方程通常要给定初始状态，且常用拉氏变换及反变换求解法。AtPtP)()()(tP)(,),(),()(10tPtPtPtPn)(tP)(,),(),()(10tPtPtPtPn)0(,),0(),0()0(10nPPPP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p如上例：tttttP11)(11PIPAAtPtP)()()(),()(),(1010tPtPtPtP3.4 单部件可修系统单部件可修系统p得状态方程与前述一致p以下即可用拉氏变

32、换法等求解方程)()()()()()(101100tPtPtPtPtPtP3.5 串联可修系统串联可修系统nn个相同单元组成的串联系统个相同单元组成的串联系统n每个单元：每个单元： 、 为常数为常数n两种状态：两种状态：p状态状态0：n个单元全正常，系统正常状态个单元全正常，系统正常状态p状态状态1：任一单元故障，系统故障状态：任一单元故障，系统故障状态n因为任一单元故障，系统即停止工作因为任一单元故障，系统即停止工作(不会出现两个及不会出现两个及以上单元同时故障的情况以上单元同时故障的情况)3.5 串联可修系统串联可修系统n个相同单元组成的串联系统状态转移图个相同单元组成的串联系统状态转移图

33、3.5 串联可修系统串联可修系统p用前述方法：tttntntP11)(11nnPnnIPA3.5 串联可修系统串联可修系统p状态方程：p初始条件：AtPtP)()(nntPtPtPtP)(),()(),(10101)0(0P0)0(1P3.5 串联可修系统串联可修系统p用拉氏变换与反变换可解出：tnennntPtA)(0)()(nA)(3.5 串联可修系统串联可修系统pn个不同单元组成的串联系统个不同单元组成的串联系统系统有系统有n+1个状态：个状态：p状态状态0：n个单元均正常，系统正常状态个单元均正常，系统正常状态p状态状态1：单元：单元1故障，其余正常，系统故障故障，其余正常，系统故障p状态状态2：单元：单元2故障，其余正常，系统故障故障，其余正常，系统故障 p状态状态n：单元：单元n故障，其余正常，系统故障故障，其余正常，系统故障ii3.5 串联可修系统串联可修系统3.5 串联可修系统串联可修系统 )(Pt1