带电粒子在磁场中的运动解题技巧

1、优秀教案欢迎下载带电粒子在磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛 伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查同学综合分 析问题、 运用数字学问解决物理问题的难度较大的考题；但无论这类问题情形多么新奇、设问多么奇妙， 其关键一点在于规范、精确地画出带电粒子的运动轨迹；只要确定了带电粒子 的运动轨迹，问题便迎刃而解；下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法；一、对称法带电粒子假如从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，就其轨迹关于入射点和出射 点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒

2、子假如沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，就其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图 2）；利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系；例 1 如图 3 所示，直线mn上方有磁感应强度为b的匀强磁场；正、负电子同时从同 一点 o以与 mn成 30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析： 正、负电子的半径和周期是相同的；只是偏转方向相反；先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形；所以两个射出点相距 s=2r =，由图仍看出经受时间相差，所以解此题的关键是找

3、圆心、找半径和用对称；优秀教案欢迎下载例 2如图 5 所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场；一带电粒子以速度v0 从 m点沿半径方向射入磁场区，并由n 点射出， o点为圆心；当mon 120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径r 及在磁场区中的运动时间；解析： 分别过 m、n 点作半径om、on的垂线，此两垂线的交点o' 即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6 所示；由图中的几何关系可知，圆弧mn所对的轨道圆心角为60°， o、o' 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为r=r/tan30 ° =又 带 电 粒

4、子 的 轨 道 半 径 可 表 示 为 ：故 带 电 粒 子 运 动 周 期 ：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是环绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨 迹；优秀教案欢迎下载例 3如图 8 所示， s为电子源， 它在纸面360°度范畴内发射速度大小为v0，质量为 m，电量为 q 的电子（ q<0）， mn是一块足够大的竖直挡板，与s 的水平距离为l，挡板左侧充 满垂直纸面对外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/ ql，求挡板被电子击中的范畴为多大？解析：

5、 由于粒子从同一点向各个方向发射， 粒子的轨迹为绕 s 点旋转的动态圆， 且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转， 这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹， 如图 9 所示， 最高点为动态圆与 mn的相切时的交点 p，最低点为动态圆与 mn相割，且 sq为直径时 q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力供应向心力，由得：sq为直径，就： sq=2l，so=l ，由几何关系得：p为切点，所以opl ，所以粒子能击中的范畴为；例 4（ 2021 全国新课程卷）如图10 所示，在0x a0 y范畴内有垂直于xy平面对外的匀强磁场，磁感应强度大小为b；坐标原点o处有一个粒子源，在某时刻发射大 量质量

6、为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在090°范畴内； 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a 之间， 从发射粒子到粒子全部离开磁场经受的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一；求最终离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（ 1）速度大小；（2）速度方向与y 轴正方向夹角正弦；优秀教案欢迎下载解析： 设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为r，由牛顿其次定律和洛仑兹力公式得：，解得：；从 o 点以半径r（ r a）作“动态圆”，如图11 所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为c 的圆弧

7、， 圆弧与磁场的边界相切；设该粒子在磁场中的运动时间为t ，依题意，所以 oca；设最终离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：，再加上，解得：，三、缩放圆法带电粒子以大小不同， 方向相同的速度垂直射入匀强磁场中， 作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 12），利用缩放的动态圆，可以探究出临界点的轨迹，使问题得到解决；优秀教案欢迎下载例 5如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为b，宽度为 d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为 ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范畴；解

8、析： 如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得： r+r cos =d电 子 在 磁 场 中 运 动 时 洛 伦 兹 力 提 供 向 心 力 ：， 所 以 ：优秀教案欢迎下载联立 解 得：， 所 以 电子 从 另一 侧射 出的 条 件是 速 度大 于；例 6（2021 全国 ii卷）如图 15 所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为 u，两板间有匀强磁场，磁感应强度为b0，方面平

9、行于板面并垂直纸面朝里；图中右边有一边长为a 的正三角形区域efg（ef 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为b，方向垂直纸面对里；假设一系列电荷量为q 的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经ef边中点 h 射入磁场区域；不计重力；（ 1）已知这些离子中的离子甲到达边界eg后， 从边界 ef穿出磁场， 求离子甲的质量；（ 2）已知这些离子中的离子乙从eg边上的 i 点（图中未画出）穿出磁场，且gi 长为3a/4 ，求离子乙的质量；（ 3）如这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的

10、，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？解析： 由题意知，全部离子在平行金属板之间做匀速直线运动，就有：qvb0 =qu/ d，解得离子的速度为：v=u/b0d（为肯定数值）；虽然离子速度大小不变，但质量 m转变， 结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式 r=mv/qb分析， 可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图 16 中的动态圆；（ 1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17 中的半圆，半圆与eg边相切于a点，与 ef边垂直相交于b 点，由几何关系可得半径：r 甲=acos30 ° tan15 ° =（） a，从而求得离子甲的质量m甲=；优秀教案欢迎下载（

11、2）离子乙的运动轨迹如图18 所示，在 eio2 中，由余弦定理得：，解得 r乙 =a/4 ，从而求得乙离子的质量m乙=；（ 3）由半径公式r=mv/qb可知 rm，结合（ 1）（ 2）问分析可得：如离子的质量满意m甲/2 m m甲，就全部离子都垂直eh边离开磁场， 离开磁场的位置到 h 的距离介于r甲到 2r 甲之间，即；如离子的质量满意m甲<m m乙，就全部离子都从eg边离开磁场，离开磁场的位置介于 a 到 i 之间，其中ae的距离 ae=， ie 距离 ie =；四、临界法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径 r 和速度 v以及磁场 b之间的约束关系进

12、行动态轨迹分析， 确定轨迹圆和边界的关系， 找出临界点， 然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键；例 7长为 l 的水平极板间，有垂直纸面对内的匀强磁场，如图19 所示，磁感应强度为 b，板间距离也为l，两极板不带电，现有质量为m电量为 q 的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v 射入磁场， 欲使粒子打到极板上，求初速度的范畴；优秀教案欢迎下载解析： 由左手定就判定受力向下，所以向下偏转， 恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态， 分别作出两个状态的轨迹图，如图 20、图 21 所示， 打到右边界时， 在直角三角形oab中，由几何关系得：解得轨道半径

13、电子在磁场中运动时洛伦兹力供应向心力因此打在左侧边界时，如图21 所示，由几何关系得轨迹半径电 子 在 磁 场 中 运 动 时 洛 伦 兹 力 提 供 向 心 力 ，所 以所以打在板上时速度的范畴为 v例 8如图 22，一足够长的矩形区域abcd 内布满磁感应强度为b，方向垂直纸面对里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边中点 o射出与 od边夹角为30°，大小为v0 的带电粒子，已知粒子质量为m, 电量为 q，ad 边长为 l，ab 边足够长，粒子重力忽视不计；求：（ 1）试求粒子能从ab 边上射出磁场的v0 的大小范畴；（ 2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情形下粒子从磁场中射出所在边上位置的范畴；优秀教案欢迎下载解析： （ 1）画出从 o点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab 边射出的粒子的临界轨迹如图23 所示，轨迹与dc 边相切时，射到ab 边上的 a点，此时轨迹圆心为o1，就轨道半径r 1=l，由得最大速度；轨迹与 ab 边相切时， 射到 ab 边上的 b 点，此时轨迹圆心为o2，就轨道半