结构优化设计第2章

1、2.1 2.1 优化问题的数学表述优化问题的数学表述2.2 2.2 优化算法中的基本概念优化算法中的基本概念2.32.3工程优化问题的收敛条件工程优化问题的收敛条件 第2章 优化设计的数学表述及其基本概念优化问题的数学表述优化问题的数学表述2.1 优化问题的数学表述 飞行器优化设计计问题，要求在满足规定的战术和技术条件下，寻找一组参数，使其设计指标达到最佳，得到最优设计方案。 2.1.1 2.1.1 优化设计的基本要素优化设计的基本要素2.1 优化问题的数学表述u设计变量u约束条件 u目标函数1.设计变量1）设计变量类型2.1 优化问题的数学表述u在一个结构设计方案中：全部参数设计参数（给定的

2、参数，设计变量）性态参数中间参数 设计参数是设计中的自变量，通常由设计者主动选择 性态参数是结构的各种性态变量，例如应力、位移、自振频率等等，是设计参数的因变量 设计者不能直接选出所需要的性态参数，而只能靠结构分析来描述 中间参数是由设计参数求性态参数，例如单元的应力是一个性态参数，求应力时所需的内力就是一个中间参数。 2.1 优化问题的数学表述u在优化过程中，针对具体问题，往往将设计参数中的一部分事先给定，例如在截面优化设计中，结构的坐标给定，结构中杆件连接关系给定，材料给定，这称为确定参数。 调整另一部分设计参数(截面面积)，这些可调整的设计参数，称为设计变量。 2.1 优化问题的数学表述

3、u设计变量从性质上可分为如下三种类型： （1)拓扑变量。包括元件、连接点及支持条件的数目及空间排列秩序等。该类变量描述了结构的构造模式。 （2)外形变量。该类变量描述了结构的几何外形，通常是节点坐标。 （3)尺寸变量。该类变量描述了组成结构元件的截面尺寸，如杆元件的截面面积、板元的厚度、受弯元件的截面惯性矩等。2.1 优化问题的数学表述u对应上述三类变量的优化分别称为结构拓扑优化、结构外形优化和结构尺寸优化。 拓扑和外形变量一般定义了结构的布局，同时包括拓扑和外形的优化就是结构布局优化。2.1 优化问题的数学表述 目前对于复杂结构，还没有有效的方法来解决拓扑优化问题。 对于外形优化问题，虽然有

4、不少的优化方法可以处理，但计算工作量极大。 因此，结构的拓扑和外形参数多是预先给定的，或者是通过对有限个预先给定的拓扑和外形参数的方案进行比较来实现“优化”的。2.1 优化问题的数学表述u设计变量在数学上的分类有连续变量和离散变量两种。 例如：铝板之类规格化材料的厚度是严密的离散形元件；柱子根数和加强件的数量之类是整数形。 2）飞行器设计变量概念 飞行器某一系统或任一零件、部件的设计方案，都可以用一组基本参数的数值来表示。 设计中应采用哪些基本参数来表示一个设计方案，依设计问题的性质、各设计阶段所规定的任务而定。2.1 优化问题的数学表述2.1 优化问题的数学表述u有些设计方案可以用几何参数表

5、示，如导弹的外形几何参数，零件的几何尺寸、剖面尺寸等；u有些则可以用某些相关的物理量表示，如航程，飞行高度，发动机推力或发动机转数等；还有的可以用代表某些性能的导出量，如过载，导引系数，燃料的比冲，涡轮喷气发动机的压气机增压比和涡轮前温度等表示。u设计变量定义 设计变量是指在设计过程中，能够用以描述设计特性的独立变量。一组设计变量构成一个设计方案。(简单讲, 设计中可调整的参数）2.1 优化问题的数学表述给定的 已知量基本参数未知的 设计变量2.1 优化问题的数学表述u设计变量通常用 X=(x1, x2, xn)T ，表示，它们构成一个n维列向量X，即 其中: xin维向量X的第i个分量； T

6、nxxxX),(21u设计空间以设计变量为坐标轴，所构成的空间2.1 优化问题的数学表述 如有两个设计变量，则构成一个二维设计空间。 X=(x1, x2)T是一个二维空间的设计向量，在设计平面(x1ox2)上的每一个点，对应有一定的x1和x2值，因此向量X代表一个双变量的设计方案2.1 优化问题的数学表述 若三个设计变量，就构成一个三维设计空间。 设计向量为X=(x1, x2, xn)T 。 若设计变量个数n3，称为超维几何设计空间。设计向量代表一组设计参数x1, x2, xn ，是一个n变量的设计方案。 2.约束条件 要使设计的工程结构能够满足设计者所要求的各项功能，设计者必须对结构的应力、

7、位移、自振频率、临界载荷等性态变量提出一定的要求(或者说限制)。 对性态变量的限制实际上就是对设计变量的限制。 在优化设计问题中，我们把这些对设计变量的限制称为约束条件。2.1 优化问题的数学表述u工程结构设计中常见关于性态变量的约束条件 1） 应力约束条件。这是以避免发生常见的各种形式的破损而建立起来的条件，破坏形式有断裂、屈服、屈曲等。 2）变形约束条件。这是在规定的荷载条件下，满足所要求的刚度特性而建立起来的条件。 3）动态特性约束条件。它是保证结构在承受动载荷作用下不会引起结构产生危险的共振，以保证结构的安全、正常运行、工作人员的舒适等。2.1 优化问题的数学表述 4）（整体）稳定性约

8、束条件。这是要求结构具有良好的承压稳定性，不会在给定载荷作用下发生（整体）失稳破坏。 5）界限约束条件。它为规范中的有关规定和理所当然的一些构造和工艺上的要求的条件，例如板材最小厚度、钢筋的最小直径以及元件断面不能为负值等。 2.1 优化问题的数学表述u概念： 优化设计的目的就是要设计出最优的结构。要评价一个结构设计方案的优劣，必须要有一个评价设计方案优劣的函数，称为目标函数。 目标函数是设计变量的函数，是对设计方案进行比较选择的指标，也就是判断设计方案优劣的标准。2.1 优化问题的数学表述 3.目标函数2.1 优化问题的数学表述u目标函数f(X)最小 在优化设计中，一般总是要求目标函数f(X

9、)最小。 在某些问题中(如使用寿命、有效载重、安全系数等)要求目标函数最大。为统一处理起见，可人为地在数学上规定目标函数为-f(X)的形式，这样就可以将求最大值的问题转化为求最小值的问题。 因此，在以后的讨论中，不再分别说最大或最小问题，统一作为最小问题处理。2.1 优化问题的数学表述通常根据不同类型的问题和不同要求，确定不同形式的目标函数。如在工程结构设计中实际上还经常遇到希望一个量最大而另一个量最小的问题，这时目标函数可以取这两个两相减或相除的形式。在实际设计问题中目标函数还有待我们进一步研究。在某些工程设计中，有时可能出现两个或更多个应当成为目标函数的量。如有的需要同时考虑重量和造价，这

10、时目标函数可定义为： 其中 是加权系数 )()()(21XfXfXf,2.1 优化问题的数学表述 2.1.2 结构优化设计的数学表达式）（或MaxMinXf)(求设计变量，X=(x1, x2, xn) T，使目标函数：()012()012ijg Xih Xj， ， ，m， ， ，lu含义： 设计最优化的任务归结为求一组设计变量，从而找到一个设计方案，使此方案满足规定的约束条件，同时其目标函数又是最小的。2.1 优化问题的数学表述u分类： 目标函数, 约束条件为线性函数 线形规划问题 目标函数，约束条件为非线性函数 非线形规划问题 2.1.3 基本术语2.1 优化问题的数学表述 由n个设计变量所

11、组成的数学空间称为n维设计空间，当目标函数f(x)为某一定值时，则在n维空间中形成一等值超曲面，而每一个不等式约束方程在n维空间中形成一超曲面，这些超曲面组合成所谓约束界面。2.1 优化问题的数学表述u在设计空间中，所有的约束边界面将设计空间划分为两个区域： 2.1 优化问题的数学表述 一个是满足所有约束的设计点所组成的区域，称为可行域，即该区域中的每一点都代表着一个可行的方案； 另一个区域是由不满足所有的约束点所组成的区域，称为不可行域，即该区域内每一个点代表一个不可行的方案。u关于约束和可行域的概念可借助图来理解。我们面临的问题是在所有的可行方案中找出最佳方案，也就是在可行域中找出最优点。

12、2.1 优化问题的数学表述u基本术语（1）可行域（可行区）（2）可行解 若 ， 则X为可行解。（3）内点 若 ， 则X为内点。（4）边界点 若 则X为边界点。m, 2 , 1j , 0)x(gXjXm, 2 , 1j , 0)x(gXXjam, 2 , 1j , 0)x(gXXjb2.1 优化问题的数学表述（5）临界约束 对一个设计点X，若有 ， 则 是X点的临界约束。（6）非可行解 若 ， 则X为不可行解（7）最优解 若 ， 且使 则X为最优解。RjCj , 0)x(gmj1 , 0)x(g/ jCjRRjCj , 0)x(gXX)max(min)x(f 2.1.4 优化算法的一般描述 2.

13、1 优化问题的数学表述 优化技术和计算机技术的应用密切相关，它是数值计算而不是解析解，一般具有简单的逻辑结构，可以反复地进行计算，是满足精度要求的近似解，满足这些要求的计算方法是数值迭代方法。n基本思想：从某一个选定的初始设计点x0出发，按照某种最优化方法所规定的办法确定适当的搜索方向和步长，获得第一个修改设计点x1，计算此点的目标函数值f(x1)，使其满足f(x1)f(x0),然后以x1点为新的起点重复上述步骤。 2.1 优化问题的数学表述u一般迭代格式： S是方向向量 是单位方向向量 一般来说优化算法就是确定方向向量S和步长SXX(k)1)(k21TS)(SSS2.2 优化算法中的基本概念

14、1 方向导数2 梯度定义和几何意义3 无约束条件下函数f(x)极值（Hessian矩阵）4 拉格朗奇乘子法（Lagrange）5 Kuhn-Tucker 驻点条件6 凸集、凸函数和凸规划 2.2 优化算法中的基本概念1 方向导数 方向导数讨论函数f(x)在某一点沿某一方向的变化率。 设在空间中一点x（0）对应的函数值为f(x（0）)，设通过点x（0）有某单位向量n21sssS其中 ， ，. 为单位向量在各坐标轴上的分量，亦即方向余弦。1s2sns 如果设计变量从点x（0）沿着方向 移动距离 而获得一个新的设计点x 则对应该点的函数值为f（x）或f（x（0）+ ），写出商式ssxx(0)s )x

15、(f)Sx(f(0)(0)2.2 优化算法中的基本概念u定义：当点X沿着 趋于x（0）时（即 时）商式有极限，则称此极限为函数f（x）在点x（0）沿方向的方向导数， 记为 为f（x）在x（0）点沿s方向的方向导数。)x(f)x(flim)x(f(0)(0)s2.2 优化算法中的基本概念s02.2 优化算法中的基本概念设函数f（x）在设计区域内具有一阶连续偏导数，在x（0）点处对 f（x）= f（x（0）+ ），进行泰勒级数展开：s )(S )x(f)()x-(x )x(f)()x-(x |xf )x-(x |xf)x(f)x(fT)0(0)nnT)0(0)nnxn(0)11x1(0)(0)(0

16、)2.2 优化算法中的基本概念根据点x（0）的一阶偏导数可以定义一个向量：(0)1(0)T2nx xfxfxf(x) fx2.2 优化算法中的基本概念)(S )x(f)()x-(x )x(f)x(f)x(fT)0(0)nnT)0(0)S )x(f)x(fT)0(0)s则： 内积（梯度在方向s上的投影）2 梯度定义和几何意义 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度：n)0(2)0(1)0(xxn21T)0(x)f(xx)f(xx)f(xxfxfxf )x(f)0(2.2 优化算法中的基本概念2.2 优化算法中的基本概念 无约束条件下函数f(x)存在极值点的必要条件和充分条件。 (a) 首先看一下

17、函数f(x)在x（0）点处的Taylor展开 2.2 优化算法中的基本概念3 无约束条件下函数f(x)极值（Hessian矩阵） 设计变量从点x（0）沿着方向 移动距离 而获得一个新的设计点x 在 x（0）点处泰勒展开： 如取到二次项ssxx(0)(0)( )(s)f xf x）（）（）（）（)0()0(1,)0(2)0(1)0(0()x(21)(x)xjjiinjijiiiniixxxxxxfxxxXfff2.2 优化算法中的基本概念如用向量矩阵形式表示，则上式可写为 )0()0(22)0(11)0(22)0(21)0(22)0(222)0(212)0(21)0(221)0(211)0(2)

18、0()0(22)0(11)0()0(22)0(11)0(2)0(1)0(0)()()()()()()()()(21)()()()nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxxxxxxxxxxxxXfxXfxXfXfXf）（）（2.2 优化算法中的基本概念可简写为）（）（）（）（）（）（）（）（）（) 0(0) 0() 0(00H21)XXXXXXXXfXfXfTT)S(H)S(21S )x(f)x(f0TT)0(0)）（）（X2.2 优化算法中的基本概念式中 TnnxXfxXfxXfxXfxXfxXfXf)()()()()()()0(2)0(1)0()0(2)0(1)0(0）（）（nnnnnnxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfXH)()()()()()()()()()0(22)0(21)0(22)0(222)0(212)0(21)0(221)0(211)0(20）（）（2.2 优化算法中的基本概念 是函数f(x)在点x（0）的一阶偏导数矩阵，称为函数在该点的梯度。 是函数在f(x)在点x（0）的二阶偏导数组成的n*n阶对称矩阵，或称为