届高三数学大一轮复习23函数的奇偶性与周期性教案理新人教A版

1、§2.3函数的奇偶性与周期性2021 高考会这样考1. 判定函数的奇偶性；2. 利用函数的奇偶性求参数或参数范畴；3. 函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用复习备考要这样做1. 结合函数的图象懂得函数的奇偶性、周期性；2. 留意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3. 利用函数的性质解决有关问题1奇、偶函数的概念一般地， 假如对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有 f x f x ，那么函数f x就叫做偶函数一般地，假如对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有f x f x ，那么函数f x 就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称2奇、偶函数的性质(1)

2、 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2) 在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3周期性(1) 周期函数： 对于函数y f x ，假如存在一个非零常数t，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f xt f x ，那么就称函数y f x 为周期函数，称t 为这个函数的周期(2) 最小正周期：假如在周期函数f x 的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 难点正本疑点清源 1函数奇偶性的判定(1) 定义域关于原点对称是函数具有

3、奇偶性的必要不充分条件；(2) 判定 f x 与 f x 是否具有等量关系在判定奇偶性的运算中，可以转化为判定奇偶性的等价关系式 f x f x 0 奇函数 或 f x f x 0 偶函数 是否成立2函数奇偶性的性质(1) 如奇函数f x 在 x0 处有定义，就f 0 0.(2) 设 f x ， g x 的定义域分别是d1， d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇(3) 奇函数在关于原点对称的区间上如有单调性，就其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上如有单调性，就其单调性恰恰相反21 课本改编题 已知 f x ax b

4、x 是定义在 a1,2 a 上的偶函数，那么a b 的值是 1答案3解析由 f x 是偶函数知，f x f x ，2即 ax bx a x2 bx，2bx 0， b 0.又 f x 的定义域应关于原点对称，11即 a1 2a0， a，故 a b . 33322021 ·广东 设函数 f x x cosx1. 如 f a 11，就 f a .答案 93解析令 g x f x 1 x cosx，33 g x x cos x x cosx g x ， g x 为定义在r 上的奇函数又f a 11， g a f a 1 10， g a g a 10.又 g a f a 1， f a g a

5、1 9.3设函数 f x 是定义在r 上的奇函数，如当x0 ， 时， f x lgx，就满意 f x>0的 x 的取值范畴是 答案 1,0 1 ，解析画草图，由f x 为奇函数知： f x>0 的 x 的取值范畴为 1,0 1 ， 4函数 f x 的定义域为r，如 f x 1 与 f x 1 都是奇函数，就 a f x 是偶函数b f x 是奇函数c f x f x2 d f x 3 是奇函数答案d解析由于 f x 1 与 f x 1 都是奇函数，所以 f x 1 f x1 ，即 f x f 2 x ，f x 1 f x 1 ， 即 f x f 2 x ，于是 f x 2 f x

6、2 ， 即 f x f x4 ，所以函数 f x 是周期 t4 的周期函数 所以 f x 1 4 f x 1 4 ， f x 3 f x 3 ，即 f x 3 是奇函数552021 ·大纲全国 设 f x 是周期为 2 的奇函数，当 0 x1时，f x 2x1 x ，就 f 2等于111124a 2b 4c. d.答案a解析 f x 是周期为 2 的奇函数，55 f2 f2 2111112 f2 f2 2× 2× 1 2 .题型一判定函数的奇偶性例 1判定以下函数的奇偶性：1 f x 9 x2x29；2 f x x 11 x；1 x24 x3 f x .| x 3

7、| 3思维启发：确定函数的奇偶性时，必需先判定函数定义域是否关于原点对称如对称，再验证 f x ± f x 或其等价形式f x ± f x 0 是否成立22解1 由 9 x 0x 90 ，得 x± 3. f x 的定义域为 3,3 又 f 3 f 3 0， f 3 f 3 0.即 f x ± f x f x 既是奇函数，又是偶函数1 x2 由01 x0，得 1<x1.1 x f x 的定义域 1,1 不关于原点对称 f x 既不是奇函数，也不是偶函数3 由 4 x20| x 3| 30 ，得 2 x2且 x0. f x 的定义域为 2,0 0,2，

8、关于原点对称24 x4 x2 f x x 33x. f x f x ， f x 是奇函数探究提高判定函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以第一考虑定义域对解决问题是有利的；(2) 判定 f x 与 f x 是否具有等量关系在判定奇偶性的运算中，可以转化为判定奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或 f x f x 0 偶函数 是否成立以下函数：xx3 32232 f x 1x x 1； f x x x； f x ln xx 1 ； f x 2；f x lg1 x1 x.其中奇函数的个数是a 2b 3c 4d 5答案

9、d22解析 f x 1 x x 1的定义域为 1,1 ，又 f x ± f x 0，就 f x1 x2x2 1既是奇函数，也是偶函数； f x 3x的定义域为r，x3又 f x x 3 x x3 x f x ， 就 f x x x 是奇函数；由 xx2 1>x | x| 0知 f x ln xx2 1 的定义域为r，又 f x ln xx 1 ln122xx 12 ln xx 1 f x ，就 f x 为奇函数；xx3 3 f x 2的定义域为r， xxx x3又 f x 323 32 f x ，就 f x 为奇函数；1 x由 1>0 得 1<x<1，xf x

10、 ln1 xx1 的定义域为 1,1 ，又 f x ln1 x1 x1 x ln1 x 11 x ln 1 f x ，x就 f x 为奇函数，奇函数的个数为5.题型二函数的奇偶性与周期性例 2设 f x 是定义在 r上的奇函数， 且对任意实数x，恒有 f x 2 f x 当 x0,2时， f x 2xx2.(1) 求证： f x 是周期函数；(2) 当 x2,4时，求f x 的解析式；3 计 算 f 0 f 1 f 2 , f 2 013思维启发： 1 只需证明f x t f x ，即可说明f x 是周期函数；(2) 由 f x 在0,2上的解析式求得f x 在 2,0 上的解析式， 进而求

11、f x 在2,4上的解析式；(3) 由周期性求和1 证明 f x 2 f x ， f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4 的周期函数2 解 x2,4， x 4， 2 ，4 x0,2， f 4 x 24 x 4 x 2 x26x 8， 又 f 4 x f x f x ，2 f x x 6x 8，即 f x x2 6x8， x2,43 解 f 0 0， f 2 0， f 1 1， f 3 1.又 f x 是周期为4 的周期函数， f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7, f 2 008 f 2 009 f 2 010 f 2 0110. f 0 f 1 f 2

12、, f 2 013 f 0 f 1 1.探究提高判定函数的周期只需证明f x t f x t0 便可证明函数是周期函数，且周期为 t，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题1已知 f x 是定义在r 上的偶函数，并且f x 2 fx， 当 2x3时， f x x，就 f 105.5 . 答案2.5解析由已知，可得f x 4 f x 2 21fx 211 fx f x 故函数的周期为4. f 105.5 f 4 ×27 2.5 f 2.5 22.5 3，由题意，得f 2.5 2.5. f 105.5 2.5.题型三函数性质的综合应用例 3设 f x 是 ， 上的奇

13、函数，f x2 f x ，当 0x1时， f x x.(1) 求 f 的值；(2) 当 4 x4时，求 f x 的图象与x 轴所围成图形的面积；(3) 写出 ， 内函数f x 的单调区间思维启发：可以先确定函数的周期性，求f ；然后依据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间解1 由 f x 2 f x 得，f x 4 f x 2 2 f x2 f x ， 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数， f f 1×4 f 4 f 4 4 4.(2) 由 f x 是奇函数与f x 2 f x ，得： f x 1 2 f x 1 f x1 ， 即 f 1 x f 1 x

14、 故知函数 y f x 的图象关于直线x 1 对称又当 0 x1时，f x x，且 f x 的图象关于原点成中心对称，就 f x 的图象如图所示当 4 x4时， f x 的图象与x 轴围成的图形面积为s，1就 s4s oab4××2×1 4.2(3) 函数 f x 的单调递增区间为4 k 1,4 k 1 k z ，单调递减区间为4 k 1,4 k 3 k z 探究提高函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，表达了转化思想(1) 已知定义在r 上的奇函数f x 满意 f x 4 f x ，且在区间 0,2上是增函数

15、，就 a f 25< f 11< f 80b f 80< f 11< f 25c f 11< f 80< f 25d f 25< f 80< f 11答案d解析由函数 f x 是奇函数且f x 在 0,2上是增函数可以推知，f x 在 2,2 上递增，又f x 4 f x . f x8 f x 4 f x ，故函数f x 以 8 为周期， f 25 f 1 ， f 11 f 3 f 3 4 f 1 ，f 80 f 0 ，故 f 25< f 80< f 11 (2) 函数 yf x x0 是奇函数，且当x0 ， 时是增函数，如f 1 0

16、，求不等式 f x x1 <0的解集2解y f x 为奇函数，且在0 ， 上为增函数， y f x 在 ， 0 上也是增函数， 且由 f 1 0 得 f 1 0.1如 f x x 2<0 f 1 ，就 xx 1 2xx 121即 0<x x 2<1 ，1117117解得 <x<或244<x<0.1如 f x x 2<0 f 1 ，就 xx 1 2xx 112由 x x1< 1，解得 x. 2原不等式的解集是1 x| 2<x<117或41174<x<0 1. 等价转换要规范典例： 12 分 函数 f x 的定义域

17、d x| x0 ，且满意对于任意x1，x2 d. 有 f x1· x2f x1 f x2 (1) 求 f 1 的值；(2) 判定 f x 的奇偶性并证明；3 假如 f 4 1，f 3 x 1 f 2 x6 3，且 f x 在0 ， 上是增函数，求x 的取值范畴审题视角1 从 f 1 联想自变量的值为1，进而想到赋值x1 x2 1.2判定 f x 的奇偶性，就是讨论f x 、f x 的关系从而想到赋值x1 1， x2 x. 即 f x f 1 f x 3就是要显现f m< f n 的形式，再结合单调性转化为m<n 或 m>n的形式求解规范解答解1 令 x1 x2 1，

18、有 f 1 ×1 f 1 f 1 ，解得 f 1 0.2分2 f x 为偶函数，证明如下：4 分 令 x1 x2 1，有 f 1 × 1 f 1 f 1 ，解得 f 1 0.令 x1 1， x2 x，有 f x f 1 f x ， f x f x f x 为偶函数 7 分 3 f 4 ×4 f 4 f 4 2，f 16 × 4 f 16 f 4 3.8分由 f 3 x 1 f 2 x6 3，变形为 f 3 x12 x6 f 64 * f x 为偶函数，f x f x f | x| 不等式 *等价于 f |3x 12 x6| f 64 9 分又 f x 在

19、0 ， 上是增函数，|3 x 12 x6| 64，且 3 x 12 x6 0.解得71 x< 或1<x<3 或 3<x5.333 x 的取值范畴是 x| 71 x< 或3313<x<3 或 3<x5 12 分温馨提示数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度 假如每一步等价转换都是正确的、规范的， 那么这个解题过程就肯定是规范的等价转化要做到规范，应留意以下几点：(1) 要有明确的语言表示如“m”等价于“ n”，“ m”变形为“ n”(2) 要写明转化的条件 如本例中： f x 为偶函数， 不等式 * 等价于 f

20、 |3x 12 x6| f 64 3 转化的结果要等价如本例：由于f |3x 12 x6| f 64 . |3 x 12 x6| 64，且 3 x 12 x6 0. 如漏掉 3 x 12 x6 0，就这个转化就不等价了.方法与技巧1正确懂得奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：(1) 定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2) f x f x 或 f x f x 是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判定函数奇偶性的主要依据为了便于判定函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f x ± f x . f x ±f

21、x 0.fxfx±1 f x 0 3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判定函数的奇偶性失误与防范1判定函数的奇偶性，第一应当判定函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判定函数f x 是奇函数，必需对定义域内的每一个x，均有 f x f x ，而不能说存在 x0 使 f x0 f x0 对于偶函数的判定以此类推3分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判定，不行以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 时间： 60 分钟 a 组专项基

22、础训练一、挑选题 每道题 5 分，共 20 分 12021 ·广东 以下函数为偶函数的是 a ysinxby x3x2c ye d y lnx 1答案d解析由函数奇偶性的定义知a、 b项为奇函数，c 项为非奇非偶函数，d 项为偶函数 22021 ·天津 以下函数中，既是偶函数，又在区间1,2内是增函数的为a ycos 2 x，x rb y log 2| x| ，x r 且 x0xx3e ec y2， x rdy x 1，x r答案b解析选项 a 中函数 ycos 2 x 在区间0， 2上单调递减，不满意题意；选项 c中的函数为奇函数；选项 d中的函数为非奇非偶函数，应选b.

23、32021 ·辽宁 如函数 f x xx 1x a为奇函数，就a 等于 a. 12b. 2 3c. 3 4d 1答案a解析 f x f x ，x2x 1x axx 1xa，.2 a 1 x 0， a 1242021 ·福州质检 已知 f x 在 r上是奇函数，且满意f x 4 f x ，当 x0,2 时，f x 2x2， 就 f 7 等 于 a 2 b 2 c 98 d 98 答 案 a解析 f x 4 f x ， f x 是周期为 4 的函数， f 7 f 2 ×4 1 f 1 ，又 f x 在 r 上是奇函数， f x f x ，f 1 f 1 ，22而当 x

24、0,2 时， f x 2x ， f 1 2×1 2， f 7 f 1 f 1 2，故选 a.二、填空题 每道题 5 分，共 15 分 xx5设函数f x xe ae x r 是偶函数，就实数a 的值为 答案 1 xxx x解析由于 f x 是偶函数，所以恒有f x f x ，即 xe ae xe ae ，化简得 xxxe e a1 0. 由于上式对任意实数x 都成立，所以a 1.6设 f x 为定义在r 上的奇函数，当x0时， f x 2x 2x b b 为常数 ，就 f 1 .答案 3解析由于 f x 是定义在r 上的奇函数， 因此 f x f x 0. 当 x 0 时，可得 f

25、00，x可得 b 1，此时 f x 2 2x 1，因此 f 1 3. 又 f 1 f 1 ，所以 f 1 3.372021 ·江南十校联考 已知定义在r 上的函数yf x 满意条件fx2 f x ，且函数 y3 fx 4 为奇函数，给出以下四个命题：函数 f x 是周期函数；3函数 f x 的图象关于点 4， 0 对称；函数 f x 为 r 上的偶函数；函数 f x 为 r 上的单调函数 其中真命题的序号为 答案3解析由 f x f x 3 . f x 为周期函数，且t 3，为真命题；又y fx4 关于0,0对称，3y fx 43向左平移个单位得4y f x 的图象，就 yf x 的

26、图象关于点3， 0 对称，为真命题；444又 y fx3为奇函数， fx3 fx 3 ，fx33 f3x 3 f 4x) ，44 4 4 fx 32 f x ， f x f x 3 fx 32 f x ， f x 为偶函数，不行能为 r 上的单调函数所以为真命题，为假命题三、解答题 共 25 分2a8 12 分 已知函数f x x x x0 (1) 判定 f x 的奇偶性，并说明理由；2 如 f 1 2，试判定f x 在2 ， 上的单调性解1 当 a 0 时， f x x2， f x f x，函数是偶函数2a当 a0时， f x x x x0 ，取 x± 1，得 f 1 f 1 20

27、；f 1 f 1 2a0， f 1 f 1 ， f 1 f 1 函数 f x 既不是奇函数也不是偶函数2 如 f 1 2，即 1 a 2，解得 a 1，21这时 f x x .x任取 x1，x22 ， ，且x1<x2，2x211就 f x1 f x2 x1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2x1x2x2 x1 x1x21.x1x2由于 x12， x22，且 x1<x2，1 x1 x2<0， x1 x2>，x1x2所以 f x1< f x2 ，故 f x 在2 ， 上是单调递增函数 9 13 分 已知函数f x 是定义在r 上的奇函数，且它的图象关于

28、直线x 1 对称1 求证： f x 是周期为4 的周期函数；2 如 f x x 0< x1 ，求 x 5， 4 时，函数f x 的解析式(1) 证明由函数 f x 的图象关于直线x 1 对称，有 f x 1 f 1 x ，即有 f x f x2 又函数 f x 是定义在r上的奇函数，故有 f x f x 故 f x 2 f x 从而 f x 4 f x 2 f x ，即 f x 是周期为4 的周期函数(2) 解 由函数 f x 是定义在 r上的奇函数，有 f 0 0. x 1,0 时， x 0,1 ， f x f x x. 故 x 1,0 时， f x x.x 5， 4 时， x4 1,

29、0 ，f x f x 4 x 4.从而， x 5， 4 时，函数 f x x 4.b 组专项才能提升一、挑选题 每道题 5 分，共 15 分 212021 ·安徽 设 f x 是定义在 r上的奇函数， 当 x0时，f x 2x x，就f 1 等于 a 3 b 1 c 1 d 3答案a2解析 f x 是奇函数，当x0时， f x 2x x， f 1 f 1 2 × 1 2 1 3.2已知 f x 是定义在r 上的偶函数，g x 是定义在r 上的奇函数，且g x f x 1 ，就f 2013 f 2 015的值为 a 1 b 1 c 0 d 无法运算答案c解析由题意，得g x

30、f x 1 ，又 f x 是定义在r 上的偶函数， g x 是定义在 r 上的奇函数， g x g x ，f x f x ， f x 1 f x 1 ， f x f x 2 ， f x f x 4 ， f x 的周期为4， f 2 013 f 1 ， f 2 015 f 3 f 1 ，又 f 1 f 1 g0 0， f 2 013 f 2 0150.32021 ·淄博一模 设奇函数f x 的定义域为r，最小正周期t 3，如 f 1 1， f 2 2a 3，a 1就 a 的取值范畴是 2a a< 1 或 a2b a< 132c 1<a 3 d a 3答案c解析函数 f

31、 x 为奇函数，就f 1 f 1 由 f 1 f 1 1，得 f 1 1；函数的最小正周期t 3，就 f 1 f 2 ，2a 32由 a 1 1，解得 1<a 3.二、填空题 每道题 4 分，共 12 分 242021 ·浙江 如函数 f x x | x a| 为偶函数，就实数a .答案0解析函数 f x x2 | x a| 为偶函数，f x f x ，即 x 2 | x a| x2| x a| ，| x a| | x a| ， a 0.15已知函数f x 满意： f 1 4，4f x f y f xy f xy x， y r ，就 f 2 015 .1答案4解析方法一令 x

32、1，y 0 时， 4f 1 · f 0 f 1 f 1 ，解得 f 0 12令 x1， y 1 时， 4f 1 · f 1 f 2 f 0 ，1解得 f 2 ，4令 x2， y 1 时， 4f 2 · f 1 f 3 f 1 ，1解得 f 3 ，211114依次求得 f 4 4， f 5 4， f 6 2， f 7 ，114f 8 ， f 9 ，,2可知 f x 是以 6 为周期的函数，1 f 2 015 f 335 ×6 5 f 5 4.方法二 f 1 1， 4f x · f y f x y f xy ，4构造符合题意的函数f x 1cos 23 x， f