弹性力学：平面问题的基本理论

1、NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何方程4 物理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVER

2、SITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何方程4 物理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述物理分量：基本方法：取微元体平衡条件 平衡微分方程变形连续 几何方程物理条件 物理方程 （应力与外力）（应变与位移）（应力与应变）边界条件xyzxyyzzxxyzxyyzzxuvw十五个分量NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEAS

3、TERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何方程4 物理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2 平衡微分方程一、平面问题的平衡微分方程一、平面问题的平衡微分方程微元体：厚度为1 1xy( )o zxfyfcxyxyyxdxdyxxdxxyydyyxyxydxxyxyxdyy平面问题的特点：一切现象都看作是在一

4、个平面内发生的00yxxxxyyyfxyfxy(2-1)00 xyFF0cM平衡微分方程：00 xyFFNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程一、平面问题的平衡微分方程微元体：厚度为1,1,长：长：dxdx，宽：，宽：dydyxy( )o zxfyfcxyxyyxdxdyxxdxxyydyyxyxydxxyxyxdyy()()xyxy平面问题：0cMxyyx（22）切应力互等定理:NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVE

5、RSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程一、平面问题的平衡微分方程3个独立分量，两个方程00yxxxxyyyfxyfxy(2-1)矩阵形式： 2 12 13 12 3000 xxyyxyfxyfyx 2 33 12 12 10HP(2-3)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、空间问题的平衡微分方程Navier方程:(2-4)000yxxzxxxyyzyyyzxzzzfxyzfxyzfxyzyzzyzxxzx

6、yyx(2-5)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、空间问题的平衡微分方程Navier方程:矩阵形式： 3 13 13 66 10000000000 xyxzyyzzzxxyxzyffyzxfzyx 3 66 13 13 10HP(2-6)(2-4)00yxxzxxxyyzyyfxyzfxyz0yzxzzzfxyzNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性

7、力学简明教程弹性力学简明教程二、空间问题的平衡微分方程Navier方程:矩阵形式： 3 66 13 13 10HP(2-6)(2-4)00yxxzxxxyyzyyfxyzfxyz0yzxzzzfxyz1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。yzzyzxxzxyyx(2-5)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何

8、方程4 物理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程3 几何关系（位移应变）一、平面问题的几何方程dxABCMdyuuudxxvvvdyyA1M1C1B11AAvvdxxuudyy11xuudxuM AMAuxMAdxxy 方向上的位移为：x 方向上的位移为：uudxxvvdxx1BBx 方向上的位移为：y 方向上的位移为：uudyyvvdyy线段MA线应变：xy切应变：1A1M1M1BNORTHEASTERN UNIVERSITYN

9、ORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程一、平面问题的几何方程dxABCMdyuuudxxvvvdyyA1M1C1B1vvdxxuudyy11xuudxuM AMAuxMAdxx线应变：切应变：xyuvudyuvdxvvuyxdxdyxy11yvvdyvM BMBvyMBdyy1M1M1A1BuvudyuvdxvyxdxdyNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程xyxyuxvyv

10、uxy2 13 13200 xyxyxuvyyx一、平面问题的几何方程几何方程(2-9)矩阵形式：(2-10) 3 12 13 2TH3个应变分量、三个方程。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程xyzxyyzzxuvwxyzvuxywvyzuwzx二、空间问题的几何方程几何方程（Cauchy方程）(2-11)6个应变分量、六个方程。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVER

11、SITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程3 16 163000000000 xyzyzzxxyxyuzvwzyzxyx二、空间问题的几何方程矩阵形式：(2-12) 6 13 16 3THNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程xyzxyyzzxuvwxyzvuxywvyzuwzx三、刚体位移几何方程（Cauchy方程）(2-11)分析几何方程：1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。(wh

12、y?-next film)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程三、刚体位移(2-9)1、平面问题xyxyuvxyvuxy0 xyxy令： 1200 xyuufyxvvfxy 210 xydfxdfyvuxydxdy由此得： 21dfxdfydxdy ：常数NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程三、刚体位移所以：由此得：只能等于常

13、数 2dfxdx 21dfxdfydxdy 20fxxv1dfydy 10fyyu 任意常量00uv00uuyvvx(2-13)当应变为零时：位移是刚体位移。刚体位移弹性变形位移NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程三、刚体位移1、平面问题分析刚体位移任意常量00uv00uuyvvx当000v0uu为沿 轴的平动ox当000u0vv为沿 轴的平动oy当0000uvvxuy NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSIT

14、YNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程三、刚体位移分析刚体位移任意常量00uv00uuyvvx0uu为沿 轴的平动ox0vv为沿 轴的平动oy当0000uvvxuy oxyrkvx2222Kuvxyruy rxy 物体绕O点的刚体转动刚体位移是任意的， 的确定与问题的约束有关(3个条件)。00uv、取一点：kuvxy1、平面问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程三、刚体位移2、空间问题刚体位移任意常量000uvw0

15、00yzzxxyuuzyvvxzwwyx（2 21414） 刚体位移是任意的， 的确定与问题的约束条件有关。000 xyzuvw第二课 overNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程三、刚体位移小结：小结： 物体在变形为零时，可以有刚体位移。可见，当物体发生一定的变形时，由于约束条件的不同，它可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完全确定的。（解释了why）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTH

16、EASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何方程4 物理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程4 物理方程（虎克定律）一、空间问题1112 12 12 1xxyzyyzxzzxyyzyzyzzxzxzxxyxyxyEEEGEGEGE 物理方程反映应力分量与应变分量之间的关系。假定：完全弹性、均匀、各项同性。(2-15)2 1EG其中G：切变模量NOR

17、THEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程一、空间问题矩阵形式：6 16 1661000100010002 1000002 1000002 100000 xxyyzzyzyzzxzxxyxyEEEEEEEEEEEE（217） 6 16 166ANORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程一、空间问题物理方程的另外一种形式：111xxyzyyzxz

18、zxyEEE 体积应力xyz xyze令：体积应变 式改写：1111xxxyzxEE 11xxE NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程物理方程的另外一种形式：111xxyzyyzxzzxyEEE 令：xyze体积应变体积应力xyz 式改写成：1122xyyxyzxyzEE 令11xxE11xxE 求解x一、空间问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学

19、简明教程弹性力学简明教程物理方程的另外一种形式：xyze令：体积应变体积应力xyz 12xyyxyzE11xxE12eE12Ee 112xxEe1 2E：体积模量一、空间问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程物理方程的另外一种形式：xyze令：体积应变体积应力xyz 112xxEe112yyEe112zzEe2 1xyxyE2 1zxzxE2 1yzyzE（218）一、空间问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVE

20、RSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程物理方程的另外一种形式：112xxEe112yyEe112zzEe2 1xyxyE2 1zxzxE2 1yzyzE 6 16 166D112E矩阵形式：令：拉梅常数、21E一、空间问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程物理方程的另外一种形式： 6 16 166D112E矩阵形式：拉梅常数、21E666 16 1200020002000000000000000000 xx

21、yyzzyzyzzxzxxyxy（218）弹性矩阵D一、空间问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、平面问题0zzxzy平面应力问题平面应变问题平面问题1、平面应力问题:0 xzyz由（215）式知：(2-19)zxyE 11xxyyyxEE2 1xyxyE(2-20)如已知 、 可求得 、 ， 由 与 确定。 xyxyzxyNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERS

22、ITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、平面问题0zzxzy平面应力问题:0 xzyz物理方程(2-19)zxyE 11xxyyyxEE2 1xyxyE(2-20) 6 16 166A矩阵形式：（221）3 33 13 11010002 1xxyyxyxyNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、平面问题0zzxzy平面应力问题:0 xzyz物理方程的另一种形式2211xxyyyxEE2 1xyxyE(2-22) 3 13 13 3D矩阵形式：（223）23

23、 13 13 3101011002xxyyxyxyENORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、平面问题0zzxzy平面应力问题平面应变问题平面问题2、平面应变问题:0 xzyz由（215）式知：(2-24)zxy 221111xxyyyxEE2 1xyxyE(2-25)111xxyzyyzxzzxyEEE （224）和（225）式是平面应变问题的物理方程。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEAS

24、TERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程二、平面问题物理方程的两种形式：11xxyyyxEE2 1xyxyE(2-20)121EE11221111xxyyyxEE(2-25)2 1xyxyE令：111111xxyyyxEE 2 1xyxyE（227）（226）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何方程4 物理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSIT

25、YNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件 混合边界条件混合边界条件5 边界条件边界条件：边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 边界条件一、位移边条(2-28)uv其中：已知位移分量：未知位移分量：平面问题uvus在 上uuvv uv uv 矩阵形式：1、平面问题(2-29)NOR

26、THEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 边界条件一、位移边条边界条件：(2-30)其中：未知量和已知量的关系。us在 上uuvvww uvw uvw 矩阵形式：2、空间问题(2-31)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 边界条件二、应力边条边界条件：xyff方向余弦：未知量和已知量的关系。已知应力分量：dsldsmdscos()

27、cos()lnxmny面积：1、平面问题s在 上xyxfyfxyxxyyyxxfyfxfyfnNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 边界条件二、应力边条(2-32)xyff已知应力分量：方向余弦：cos()cos()lnxmnydsldsmds面积：1、平面问题xyxxyyyxxfyfxfyfnxyxxxyyylmflmf边界条件：00 xxyyxyflmfml lf矩阵形式：(2-33)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN

28、 UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程5 边界条件二、应力边条(2-34)xyzfff已知应力分量：2、空间问题边界条件：000000000 xyxzyyzzzxxylnmfmnlfnmlf 6 13 63 1lf矩阵形式：(2-35)xyxzxxxyyzyyxzyzzzlmnflmnflmnfNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章 弹性力学的基本理论1 概述2 平衡微分方程3 几何方程4 物

29、理方程5 边界条件6 圣维南原理NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程6 圣维南原理如果将物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢、主矩相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。1、利用静力等效力系（P22）FFFFF/FA/FA2F2F2FNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教

30、程Saint-Venant原理与应力集中示意图应力分布示意图变形示意图NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2h2hxy第二章 弹性力学的基本理论6 圣维南原理2、局部边界用近似边界条件xxyxfyfxxyxfyfNFSFM222222hxNxlhhxxlhhxySxlhdyFdyyMdyF（c）222222222222hhxxxlhhhhxyxlhhhhxyyxlhhdyfy dydyyfy dyydyfy dy （b）xxxlf xyyxlf llNORTH

31、EASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程 总 结 求解的应力应满足平衡方程和应力边界条件，在空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个平衡方程；在平面应力状态有三个未知的应力函数，只有两个平衡方程，问题是静不定的，需要从变形和物理关系方面补充方程才能求解。 边界条件主要是用来确定解出的应力中的未定常数。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第

32、二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态xxyyyxxyoxpypnpnn（3）由全应力求斜截面上的正应力和切应力；本节的基本思路：本节的基本思路：（1）画一个三角形微元；（2）受力平衡导出斜截面上的全应力 ， ；xpyp（4） ， 主应力和主应力方向；0n（5）最大与最小切应力；1t 厚度：方向余弦：co

33、s()cos()lnxmnyNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态xxyyyxxyoxpypnpnn（3）由全应力求斜截面上的正应力和切应力；nxylpmp方向余弦：cos()cos()lnxmny1t 厚度：222nxyxylmlm（2-4）22()nyxxylmlm同理：同理：（2-5）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN

34、UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程（4）由 ，主应力和主应力方向；0n2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态xxyyyxxyoxpypnpnn方向余弦：cos()cos()lnxmny1t 厚度：xxxyplmyyxypml（2-3）0n时，根据平行四边形法则,xyplpm,xxyyxylmlmlm,xyxxyymmll212222xyxyxy（2-6）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程xxyyyxxyo1211xxyy

35、yxxyoxpyp1n2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态（4）由 导出主应力和主应力方向；0n主方向222222sintancosxyyml111111sintancosxxyml12tantan1 12xy常数（2-7）,xyxxyymmll NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态（5）最大与最小切应力；21()nlm221lm222121111()42nlll （1）当 时， 取得

36、最大或最小值；（2）最大最小切应力为： 与主应力的夹角2102ln12245由（2-5）可以得到NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题位移法求解平面问题的思

37、路（2）根据几何方程导出应变分量（3）根据物理方程导出应力分量问题：怎样得到 ？( , ) 0f u v （1）根据 求出位移分量( , ) 0f uv , u v位移法：按位移求解的方法( , )0f u v NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题平衡方程00yxxxxyyyfxyfxy几何方程xyxyuxvyvuxy物理方程（平面应力）2211xxyyyxEE2 1xyxyE应力边界条件：xyxxxyyylmflm

38、fuuvv位移边界条件：问题：怎样得到 ？( , )0f u v 把几何方程带入物理方程消去应变，再带入平衡方程或边界条件消去应力。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程平面应变问题：2,11EE2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题按位移求解平面问题的一般提法（平面应力）按位移求解平面问题的一般提法（平面应力）位移边界条件应力边界条件（平面应力）基本方程基本方程222222222222110122110122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y

39、（2-18）22112112xsysEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy（2-19）ssuuvv（2-14）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题例题：矩形薄板，受力如图，试求应力分量（体力不计）。例题：矩形薄板，受力如图，试求应力分量（体力不计）。解：1）设位移分量2）将位移分量代入（2-18）式uAxvBy1qaoxby2q3）由几何方程求应变分量0 xyxyuvABxy4）由物理方程求应力分量2211

40、xyEABEBA0 xyNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题解：5）边界条件000 xyxu1qaoxby2q满足21qqAE12qqBE000yxyv10 xxyxaq 20yyxybq 121EABq 221EBAq 例题：矩形薄板，受力如图，试求应力分量（体力不计）。例题：矩形薄板，受力如图，试求应力分量（体力不计）。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYN

41、ORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题本章作业：本章作业：2-7；2-8；2-9；2-16；2-17；2-18（书面作（书面作业）业）本章作业：本章作业：2-1；2-2；2-3；2-10；2-11；2-12；2-14；2-19 课后思考课后思考NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题NOR

42、THEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程问题：（问题：（1）怎样找到方程组）怎样找到方程组 ？ （2）怎样给出合适的边界条件？）怎样给出合适的边界条件？(,)0 xyxyf 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题按应力法求解平面问题的基本思路：按应力法求解平面问题的基本思路：应力法：应力法：按应力求解的方法。它是以应力分量为基本未知数的函数（方程？）。(,)0 xyxyf ,xyxy （2）给出合适的边界条件，求解（1）找到用应力表示的方程组(,)0 xyxyf

43、（3）根据物理方程求出,xyxy（4）根据几何方程确定, u vNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题问题：（问题：（1）怎样找到方程组）怎样找到方程组 ？(,)0 xyxyf 平衡方程00yxxxxyyyfxyfxy几何方程xyxyuxvyvuxy物理方程（平面应力）2211xxyyyxEE2 1xyxyE应力边界条件：xyxxxyyylmflmfuuvv位移边界条件：Look：平衡方程是由应力表示的方程，但有：平衡

44、方程是由应力表示的方程，但有3个未知数，两个方程，因此要补充一个个未知数，两个方程，因此要补充一个 方程方程补充方程？补充方程？NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程相容方程表明：相容方程表明： 变形分量不独立，因此 的函数形式不能任意选取。,xyxy2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题问题：怎样找到补充方程？问题：怎样找到补充方程？（1）从几何方程中消去位移分量）从几何方程中消去位移分量相容方程相容方程几何方程xyxyuxvyvuxy223322222

45、yxuvuvyxx yy xx yyx 22222yxyxyxx y 相容方程：相容方程：（2-20）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题（2）把物理方程带入相容方程）把物理方程带入相容方程导出补充方程导出补充方程物理方程物理方程（平面应力）2211xxyyyxEE2 1xyxyE222222 1xyxyyxyxx y 平衡方程平衡方程yxxxyxyyfyxfyx 22222yx yxyxxy（2-20）相容方程相容

46、方程221yxxyffxyxy （2-21）补充方程补充方程NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题221yxxyffxyxy （2-21）平面应力平面应力2211yxxyffxyxy （2-22）平面应变平面应变1NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-9 按应力求解平面问题按应力求解

47、平面问题按应力求解平面问题的一般提法（平面应力）按应力求解平面问题的一般提法（平面应力）221yxxyffxyxy （2-212-21）00yxxxxyyyfxyfxy（2-22-2）xyxxxyyylmflmf（2-152-15）对于平面应变只需把（2-21）换成（2-22）即可2211yxxyffxyxy （2-22）平面应变平面应变NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程小结：小结：1 1）按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边条的问题。当问题是位移）

48、按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边条的问题。当问题是位移 边条或混合边条时，因位移分量无法用应力分量表示，故不能得到精确解；边条或混合边条时，因位移分量无法用应力分量表示，故不能得到精确解；2 2）按应力求解平面问题时应力分量）按应力求解平面问题时应力分量 必须满足下列条件必须满足下列条件 a a）在区域内的平衡方程（）在区域内的平衡方程（2-22-2）；）； b b）在区域内的相容方程（）在区域内的相容方程（2-212-21）或（）或（2-222-22）；）； c c）在边界上的应力边界条件（）在边界上的应力边界条件（2-152-15） d d）对于多连体，还必须满足位移单值条件。

49、）对于多连体，还必须满足位移单值条件。,xyxy 2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题3 3）当体积力为常数或零时，上述基本方程与材料常数无关）当体积力为常数或零时，上述基本方程与材料常数无关。4 4）相容方程与几何方程等价。）相容方程与几何方程等价。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数NORTHEASTERN UNIVE

50、RSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数按应力求解平面问题的一般提法（平面应力）按应力求解平面问题的一般提法（平面应力）221yxxyffxyxy （2-212-21）00yxxxxyyyfxyfxy（2-22-2）xyxxxyyylmflmf（2-152-15）对于平面应变只需把（2-21）换成（2-22）即可2211yxxyffxyxy （2-222-22）平面应变平面应变NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

51、STERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数常体力：12,xyfcfc带入（2-2），（2-21），（2-22）（2-2）（2-21）（2-22）22220 xyxy（2-23）xyxxxyyylmflmf（2-152-15）00yxxxxyyyfxyfxy（2-22-2）讨论：P28下面画线部分NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教

52、程2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数当体积力为常量时：由平衡方程解法： 应力函数相容方程边界条件解出满足00yxxxxyyyfxyfxy方程组求解：通解齐次方程的通解非齐次方程的特解 00yxxxyyxyxy齐次方程组NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程00yxxxxyyyfxyfxy方程组求解：通解齐次方程的通解非齐次方程的特解 设解：1）平衡方程（非齐次方程）的特解 0 xxyyxyf xf y 0 xxyyxyxyf xf yf xf y 00 xyxyxyf yf x 各组解代入方程均满足2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程方程组求解：通解齐次方程的通解非齐次方程的特解 ) 将式变形2）齐次方程（体积力为零）的通解 A