连涵生：方阵最小多项式的性质探究

1、方阵最小多项式的性质探究摘要：讨论方阵最小多项式的儿个性质及相关的儿个简单应用关键词:方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式定义1：设方阵a,若f(x) f(x),使f(a)=o,则称f(x)为a的零 化多项式。命题1:方阵的零化多项式是存在的。证明：设a为nxn方阵，m”(f)表示域f上的所有nxn方 阵的集合，构一线性空间，它的维数为2, a属于m”(f),由 e,a,a-,a"2这斤2 + 1个向量必定线性相关。则存在一组不全2为零的数：兔,，使得doe + d/ + + cj2/vl =0, 作多项式/(兀)=°()+dx + + °“2尤"，

2、且/(x)h 0,有/(a) = 0, 即m”(f)中的任意向量a来说，零化多项式是存在的。定义2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。由命题1的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。只要由 e,a,-,ak,随£增大往上找。但是这也只能说方阵4的最小多 项式的次数最多不超过斤s这个估计是比较粗糙的，我们可以估 计得更精确些。命题2： (cayley-hamilton定理)设a是数域p上一个nxn矩阵, f(x) = ae-a是a的特征多项式,则/"(a) = a"-(坷1 +。22 *+(-l)rt |a|e = 0证明：详见北大数教材高等代数p303o

3、 也就是说可以把方nxn方阵的最小多项式的次数缩小到不超过下面介绍几个最小多项式的性质： 命题3：矩阵a的最小多项式是唯一的。命题4：设g(x)为方阵a的最小多项式，那么f(x)以a为根当且 仅当g(x)整除f(x)命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。证明：设方阵a的最小多项式是m(x),矩阵b最小多项式是n(x),曲4与b相似知，b = pap,其中p为可逆阵。则 m(b) = m(p_1 ap) = pm(a)p = 0由命题4得(x)整除/力(兀),同理可证也(兀)整除(兀),且也(兀),(兀)都是首一的。所以加(兀)=(兀)。得证a命题6：设a是一个分块矩阵，4 =小多项多等于人的最

4、小多项式的最小公倍式，i = 1,2,沙。 证明：设4的最小多项式为f£x) , a的最小多项式为/u), fi (兀)的最小公倍式是go),由fi (%)整除g知g(4)= 0,g（a）故 g（a）=ga1）.=0g（4）因此/(x)整除g(x)(可由命题4得)。/(a)又因为 f(a) =/(a?).=0因此对于每_/(a)_一个j有f(a)= o，即 *)整除/u) o而g是的最小公倍式。故g(x)整除f(x),综上所得/(x) = g(x)o因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵， 即jordan标准型，所以利用jordan标准型求最小多项式也是证 明中常用的方法

5、。命题7：方阵a的最小多项式是a的最后一个不变因子。a1 a证明此定理前先给出一个引理：£级若当块丿= _1 a的最小多项式为(x-a)ko_0 证明：丿的特征多项式为而丿qe= '° 1 0(j_ae¥=0 :001 00:ho，所以丿的最小多项式为0(x-a)k o证明：存在可逆矩阵p,使 p-ap =下面证明命题7：由命题6知，丿的最小多项式为的最小多项式的公倍式，且由引 理知人的最小多项式为(x-人几 心1,2，,s。从而丿的最小多 项式 g/(x)=(x-%)"'，(兀一&)"2,，(尤一&)4 =go

6、 为a的最小多项式。由于一个初等因子决定一块jordan块，但由初等因子的定义 知它是不变因子分解在互不相同的一次因式的方幕。我们知道%整除如，21,2,/。因此有ga(x)整除dn(x), 又由最小公倍式定义得d”(x)整除ga(x),且d”(x)与go)都是 首一的。所以可推得(x) = gau)0命题8：数域p上的n级矩阵a与对角阵相似的充分必要条件为a的最小多项式是p上的互素的一次因式的乘积。证明参见北大教材p323o推论：复数域上的矩阵a与对角阵相似的充分必要条件是a的 最小多项式无重根。命题9 :设n阶矩阵a的全体实系数我项式所成的线性空间w, 则w的维数等于a的最小多项式m(x)

7、的次数ko证明：假设维(w)<k,则£,£,八一这k个矩阵必相关,存 在不全为零的数zo,z(, ,lk_x i 使 iqe + lxa/a" " = 0与加(x)为最小多项式矛盾。则维(w)>k .下证维(w) < k，只要证明a,n(m > k)，可由e, a,a-】线性 表出即可。若m(x) = xk,显然成立。若xk,由代余除法知：存在rx上的多项式p(x), 厂,使得x" = p(x)加(x) +r(x),次数r(x) < k或者心)= 0。则 am = p(a)m(a) + r(a) = r(a),即

8、a'n 可由 ,占 线性表 出。所以维(w)<k o 综上所得维(w) = ko命题10：设a是n阶方阵，则a的特征多项式f(x)与a的最小 多项式m(x)的根相同，当a的特征值互异时，则f(x)=m(x).证明：一方面，因为加(x)整除/(兀)故a的最小多项式加()的 根是/(%)的根。另一方面，由 m(x) = dn (x), f(x) = xe-a = d (x)d2 (%) dn (x)。 设尤0是/(x)的根，则(兀-兀0)整除f(x)°于是必有i，使 (x-x0)整除di(x) o又是(兀)整除dtl(x),故兀0为加(兀)的根。 综上所得加(x)与/(x)

9、有相同的根。若f(x) = xe-a =(兀_兀)(兀_兀2)(兀_£),其屮兀1，兀2，心 互不相同,由前面知加(兀)与于有相同的根。知m(x) = /(x)o 命题11：设a是n级矩阵，/(对是次数大于零的多项式，m(x) 是a的最小多项式：(1) 如果/(兀)整除m(x),那么/(a)退化的。(2) 如果d(x)是/(兀)和加的最人公因式，那么/(4)与 (a)的秩相等。(3) /(a)为非退化的充分必要条件是加(x)和/互素。 证明:(1)假设/(力)退化。由已知存在g(兀)(次q(x)v次加(兀), m(x) = f(x)q(x)则 加=/(伽=0 /(a)可逆 q(a)

10、= 0 与加(x)为最小多项式矛盾。(2) 由已知存在u(x),v(x)9 使 d(x) = w(x)/(x) + v(x)m(x), d(a) = u(a)f(a) + v(a)m(a) = u(a)f(a),则秩(d(a)秩(f(a) 又 如整除/(x),则存在p(x),使f(x) = d(x)p(x)即 f(a) = d(a)p(a),则秩(d(a)秩(f(a) 综上可得秩(d(a) =秩(f)。(3) 必要性：设 d(x) = (/(x),m(x),由(2)知，秩(d(a)=秩(f(a)二 n,若次 d(x) 0,由 d(x)整除 m(x), 存在 q(x),使m(x) = d(x)q

11、(x) 9 则由 m(a) = d(a)q(a) = 0 (a)可逆q(a) = 0 ,而次g(x) <次m(x)与加(x)为最小多项式矛 盾。所以(/(x),m(x) = lo充分性：(/(x),m(x) = l,则存在u(x),v(x)使得 u(x)f(x) + v(x)m(x) = 1，则 u(a)f(a) + v(a)m(a) = e m(a) = 0 则 u(a)f(a) = e9 则/(4)非退化。命题12：非奇异(退化)矩阵a的最小多项式与的最小多项 式z间的关系。证明：设非奇异矩阵a的最小多项式为 f(x) = x'n+alxm-+- + am ,设犷的最小多项式

12、为 g (兀)=xs + bxsx 4bs o由/(%)为4的最小多项式得/(a) = 0 ,即 47+°/心1+色上=0,由a非奇异知严0,则上式可 化为订"(丄£ +虫犷+ (小")=0,得丄£ +勺-犷+ (小"=0。% %令p(x) =丄+ + + /,由p(f) = 0,贝叫整除p(x),% %知次g(x) < 次p(x),即 s < m o由g(a-】)= o,即(人-丫+勺(犷)2+牡=0,两边同时乘得 e + b/ +=o,由 b严 0 得1ap) e + a + + -as- +as = q,贝【j /(

13、x)整除bbbsss1 hh+ 1 x + f 5-1 xv_l + x5,矢 n 次/w，即 m<s b b优.综上所述m = s o又p(x)与g(x)都是首一多项式且g(x)整除p(x)，所以 p(x) = g(x)o所以川的最小多项式为p(x) =丄+虫无+ 由观察知/(x)的系数倒过来排再同除以常数项即为g(x)o同理可推知，a的最小多项式为：h(x)= xm +国1严*斗(坷 x 十 十%二、几个简单应用-1 +知21 0 0例1 :设矩阵4= 0 w 000w2设v = /(兀)|/(兀)e rx.r是实数域,求维(v)二?三个互显特征值，由命题 10f(x) = xe - a = (x -1)(% - w)(x - w2)( m(x)为 a 的最小多项式)再由命题9知维(v)=次(加(q) = 3 o例2：判断以下三种矩阵是否可对角化？a2=e； a2 = a； afn =0,5为整数)，但/tho。(1 ) a2=e, f(x) = x2-l = (x-l)(x + l)为 a 的零化多项式 且无重根，由命题4知，a的最小多项式ga(x)整除/(%),则 gn(x)无重根，由命题8知