材料力学第9章-斜弯曲与偏心载荷作用时正应力分析与强度计算

1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s s Education & Teaching Studio Education & Teaching Studio 返回总目录返回总目录FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s s Education & Teaching Studio Education & Teaching Studio TSINGHUA UNIVERSITYChapter 7 Analysis of normal stresses and calculation

2、for the strength of beams under skew bending and under the combined actions of bending moment and axial force TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY当外力施加在梁的对称面当外力施加在梁的对称面( (或主轴平面或主轴平面) )内时，梁将产生平内时，梁将产生平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面称面( (或主轴平面或主轴平面) )，梁也将会产生弯曲，

3、但不是平面弯曲，这梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为种弯曲称为xyzFP主轴平面TSINGHUA UNIVERSITYxyz主轴平面 还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都作用在对称面作用在对称面( (或主轴平面或主轴平面) )内，内，( (梁的梁的截面具有两个或两个以上对称轴截面具有两个或两个以上对称轴) ) 或主轴平面内。或主轴平面内。FP1FP2TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYyzxyzFPyFPzFPFPzFPyTSINGHUA UNIVERS

4、ITYyzxyzFPzFPylTSINGHUA UNIVERSITYxyzFPzFPy 任意点任意点A（x,y）的正应力的正应力: :yzTSINGHUA UNIVERSITYC 由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应力也最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。必然发生在矩形截面的角点处。CTSINGHUA UNIVERSITYzzyyWMWMmaxzzyyWMWMmax 由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点由于两个弯矩引起

5、的最大拉应力发生在同一点，最大压应力最大压应力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩正应力必然发生在矩形截面的角点处。应力必然发生在矩形截面的角点处。CTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYyzMyMzTSINGHUA UNIVERSITYyzMyMzTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY例题 1 一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨

6、支撑，可一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁。图中以简化为简支梁。图中l=2 m。大梁由。大梁由32a热轧普通工字钢热轧普通工字钢制成，许用应力制成，许用应力 160MPa 。起吊的重物的重量。起吊的重物的重量FP80kN，并且作用在梁的中点，作用线与，并且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角轴之间的夹角 5 。 吊车大梁的强度是否安全？吊车大梁的强度是否安全？TSINGHUA UNIVERSITY首先，将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加首先，将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加 将将FP分解为分解为x和和y方向的两个分力方向的两个分力FPz和和FPy，将斜弯曲分解，将斜弯

7、曲分解为两个平面弯曲，为两个平面弯曲， FPyFPyFPzFPzcossinPPPPFFFFyz,TSINGHUA UNIVERSITY求两个平面弯曲情形下的最大弯矩求两个平面弯曲情形下的最大弯矩 根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形下，最大弯矩下，最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其中的。将其中的FP分别替换为分别替换为FPz和和FPy ，便，便得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩：得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩： 4cos4)(PPPmaxlFlFFMyyFPyFPyTSINGHUA UNIVERSITY求两个平面弯曲情形

8、下的最大弯矩求两个平面弯曲情形下的最大弯矩 根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形根据前几节的例题所得到的结果，简支梁在中点受力的情形下，最大弯矩下，最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其中的。将其中的FP分别替换为分别替换为FPz和和FPy ，便，便得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩：得到两个平面弯曲情形下的最大弯矩： PPmaxPsin44zzFlFlMFFPzFPzTSINGHUA UNIVERSITYFPyFPy计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力 在在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘各点承受最作用的截面上，截面上边缘各点承受最大压

9、应力；下边缘各点承受最大拉应力。大压应力；下边缘各点承受最大拉应力。+中性轴中性轴TSINGHUA UNIVERSITYFPzFPz计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力 在在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角点作用的截面上，截面上角点a、c 承受最承受最大拉应力；角点大拉应力；角点b、d 承受最大压应力。承受最大压应力。ca+db中性轴中性轴TSINGHUA UNIVERSITY计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力cdabFPy+cdabFPz+cdabFPzFPy 两个平面弯曲叠加的结果是：角点两个平面弯曲叠加的结果是：角

10、点c承受最大拉应力；承受最大拉应力；角点角点b承受最大压应力。因此承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。两点都是危险点。TSINGHUA UNIVERSITY计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力maxPmaxPmax,yzyzMFMFb cWWzyWlFWlF4cos4sinPPcdabMmaxMmax 两个平面弯曲叠加的结果是：角点两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力；承受最大拉应力；角点角点b承受最大压应力。因此承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。这两点两点都是危险点。这两点的最大正应力数值相等，即的最大正应力数值相等，即 TSINGHU

11、A UNIVERSITY计算两个平面弯曲情形下的最大正应力计算两个平面弯曲情形下的最大正应力 PPmaxsincos44,yzFlFlb cWW其中其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到另外从型钢表中可查到32a热轧普通工字钢的热轧普通工字钢的Wz=70.758cm3， Wy=629.2cm3。将这些数。将这些数据代入上式得到据代入上式得到. .33max33323280kN 10sin54m80kN 10cos54m4 70 758cm104 629 2cm10b c,. 225.2MPa160MPa因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。因此，梁在斜弯曲情形下的强度

12、是不安全的。 TSINGHUA UNIVERSITY讨论讨论 如果令上述计算中的如果令上述计算中的0，也就是载荷，也就是载荷FP沿着沿着y轴方向，轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为0。于是梁内的。于是梁内的最大正应力为最大正应力为 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。36max32 380kN 104m126.7 10 Pa126.7MPa4 629.2cm(10 ) 可见，载荷偏离对称轴可见，载荷偏离对称轴(y)一很小的角度，最大正应力就会一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加，这对于梁的强度是一

13、种很大的威胁，实际工程有很大的增加，这对于梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧面斜方时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧面斜方向起吊的原因。向起吊的原因。 maxmaxmax()()225.2 126.7100%100%77.7%()126.7斜弯曲平面弯曲平面弯曲TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIV

14、ERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵当杆件同时承受垂直于轴线的横向力和沿着轴线方向的纵向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略向力时，杆件的横截面上将同时产生轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。xyzFP2FP1TSINGHUA UNIVERSITY 如果作用在杆件上的纵如果作用在杆件上的纵向力与杆件的轴线不一致，向力与杆件的轴线不一致，这种情形称为偏心加载。如这种情形称为偏心加载。如图所示即为偏

15、心加载的一种图所示即为偏心加载的一种情形。这时，如果将纵向力情形。这时，如果将纵向力向横截面的形心简化，在杆向横截面的形心简化，在杆件的横截面上就会产生轴力件的横截面上就会产生轴力和弯矩。和弯矩。 xyzFPexyzFPFP eTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYxyzFPxyzFP e-+-maxxyzFP eFPmaxTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 由于轴力由于轴力FN和弯矩和弯矩Mmax的方向有不同形式的组合，因此的方向有不同形式的组合，因此横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。横截面上的

16、最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。 式中式中MFPe；e为偏心距；为偏心距；A为横截面面积。为横截面面积。 AFWMNmaxWMAFNmaxxyzFPeTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY例题 2 钻床立柱为空心铸铁管，钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为管的外径为D140 mm，内、，内、外径之比外径之比dD0.75。铸铁的。铸铁的拉伸许用应力为拉伸许用应力为35 MPa，压，压缩许用压应力为缩许用压应力为90 MPa。钻。钻孔时钻头和工作台面的受力如孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中图所示，其中FP15 kN，力，力FP作用线与立柱轴线之间的

17、距作用线与立柱轴线之间的距离离(偏心距偏心距)e400 mm。 试校核：试校核：立柱的强度是立柱的强度是否安全？否安全？ FPFPeTSINGHUA UNIVERSITYFPFPem mMzxyFNm me确定立柱横截面上的内力分量确定立柱横截面上的内力分量FNFP15 kN MzFPe6 kN.m FPTSINGHUA UNIVERSITY 立柱在偏心力立柱在偏心力FP作用下产生拉作用下产生拉伸与弯曲组合变形。因为立柱内所伸与弯曲组合变形。因为立柱内所有横截面上的轴力和弯矩都是相同有横截面上的轴力和弯矩都是相同的，所以，所有横截面的危险程度的，所以，所有横截面的危险程度是相同的。根据横截面上

18、轴力是相同的。根据横截面上轴力FN和和弯矩弯矩Mz的实际方向，横截面上左、的实际方向，横截面上左、右两侧的右两侧的b点和点和a点分别承受最大拉点分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为应力和最大压应力，其值分别为 确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力 432122P43PNmaxdDFDeFAFWMzMPa9234.MzxyFPm meFPa bFNFP15 kN MzFPe6 kN.m TSINGHUA UNIVERSITY确定危险截面并计算最大应力确定危险截面并计算最大应力 432122P43PNmaxdDFDeFAFWMzMPa9234.432122P43PNmaxdD

19、FDeFAFWMzMPa3830. 二者的数值都小于各自的许用应力值。这表明立柱二者的数值都小于各自的许用应力值。这表明立柱的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度都是安全的。的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度都是安全的。 MzxyFPm meFPa bTSINGHUA UNIVERSITY例题 3 开口链环由直径开口链环由直径d12 mm的圆钢弯制而成，其形状如图的圆钢弯制而成，其形状如图所示。链环的受力及其他尺寸均示所示。链环的受力及其他尺寸均示于图中。于图中。 1链环直段部分横截面上链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；的最大拉应力和最大压应力； 2. . 中性轴与截面形心之间中性轴与

20、截面形心之间的距离。的距离。TSINGHUA UNIVERSITYl计算直段部分横截面计算直段部分横截面上的最大拉、压应力上的最大拉、压应力 将链环从直段的某一横将链环从直段的某一横截面处截开，根据平衡，截截面处截开，根据平衡，截面上将作用有内力分量面上将作用有内力分量FN和和Mz。 0 xF 0CM得到得到FN800 N，Mz 80015103 Nm12 Nm 由平衡方程由平衡方程 CTSINGHUA UNIVERSITY 轴力轴力FN引起的正应力在引起的正应力在截面上均匀分布，其值为截面上均匀分布，其值为 FN800 N，Mz 80015103 Nm 12 Nm l计算直段部分横截面计算直

21、段部分横截面上的最大拉、压应力上的最大拉、压应力 7.07MPaPa107.07Pa1012800446622NNNdFAFFxCTSINGHUA UNIVERSITY弯矩弯矩Mz引起的正应力沿引起的正应力沿y方向线性分布。最大拉、压方向线性分布。最大拉、压应力分别发生在应力分别发生在A、B两点，两点，其绝对值为其绝对值为 FN800 N，Mz 80015103 Nm 12 Nm l计算直段部分横截面计算直段部分横截面上的最大拉、压应力上的最大拉、压应力 70.7MPaPa1070.7Pa10121232326633maxdMWMMzzzzxCTSINGHUA UNIVERSITY 将上述两个

22、内力分量引起的应力分布叠加，便得到由将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由载荷引起的链环直段横截面上的正应力分布。载荷引起的链环直段横截面上的正应力分布。 FN800 N，Mz 80015103 Nm12 Nm l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力计算直段部分横截面上的最大拉、压应力CCNCTSINGHUA UNIVERSITY 从图中可以看出，横截面上的从图中可以看出，横截面上的A、B二点处分别承受最二点处分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为大拉应力和最大压应力，其值分别为 l计算直段部分横截面上的最大拉、压应力计算直段部分横截面上的最大拉、压应力 MPa8 .77Nmaxz

23、xxxMFMPa6 .63NmaxzxxxMFCCNCTSINGHUA UNIVERSITY令令FN和和Mz引起的正应力之引起的正应力之和等于零，即和等于零，即 2计算中性轴与形心之间的距离计算中性轴与形心之间的距离 00NzzxIyMAF其中，其中，y0为中性轴到形心的距为中性轴到形心的距离离 。于是，由上式解出。于是，由上式解出0.6mmm100.6m1264101280044643-6224NN0dMdFAMIFyzzzCNTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNI

24、VERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆纵向力向截面形心坐标轴简化FPxyzC 首先，首先，以截面形心为坐以截面形心为坐标原点，建立坐标系标原点，建立坐标系Cxyz，其中其中x轴与杆的轴线一致，轴与杆的轴线一致，y、z轴与形心主轴一致。轴与形心主轴一致。TSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆纵向力向截面形心坐标轴简化xyzC 其次，其次，将外力分别向将外力分别向3个个坐标轴投影和取矩。坐标轴投影和取矩。FNMzMyFPTSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆 横向

25、力（作用线通过截面形心）向截面形心坐标轴简化xyzC 首先，首先，以截面形心为坐以截面形心为坐标原点，建立坐标系标原点，建立坐标系Cxyz，其中其中x轴与杆的轴线一致，轴与杆的轴线一致，y、z轴与形心主轴一致。轴与形心主轴一致。FPCTSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆 横向力（作用线通过截面形心）向截面形心坐标轴简化xyzC 其次，其次，将外力分别向将外力分别向3个个坐标轴投影。坐标轴投影。FPyFPzFPCTSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆 横向力（作用线不通过截面形心）向截面形心坐标轴简化仅对圆轴有效xyzC 首先，首先，以截

26、面形心为坐以截面形心为坐标原点，建立坐标系标原点，建立坐标系Cxyz，其中其中x轴与杆的轴线一致，轴与杆的轴线一致，y、z轴与形心主轴一致。轴与形心主轴一致。FPTSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆 横向力（作用线不通过截面形心）向截面形心坐标轴简化仅对圆轴有效xyzCFP 其次，其次，将外力分别向将外力分别向3个个坐标轴方向分解。坐标轴方向分解。FPxFPyFPzTSINGHUA UNIVERSITY对于实心截面杆对于实心截面杆 横向力（作用线不通过截面形心）向截面形心坐标轴简化仅对圆轴有效xyz 然后，然后，将外力分量分别将外力分量分别向向3个坐标轴投影和取矩。个坐标轴投影和取矩。FPxFPyFPzMyMyFPxFPyFPzTSINGHUA UNIVERSITY对于薄壁截面杆对于薄壁截面杆 薄壁截面杆在作用线不通过截面薄壁截面杆在作用线不通过截面形心形心的的纵向纵向力力的作用下，横截面将发生翘曲，这时，杆件横的作用下，横截面将发生翘曲，这时，杆件横截面上会出现新的内力分量，相应地会出现新的截面上会出现新的内力分量，相应地会出现新的截面几何量截面几何量扇性几何性质。由实心截面杆所扇性几何性质。由实心截面杆所得到的结论都不再成立。得到的结论都不再成立。 用于实心截面的简化方法将不再适用。用于实心截面的简化方法将不再适用。TSINGHUA UNIV