河海大学《几何与代数》5-4实对称矩阵的对角化ppt课件

1、定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .阐明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说阐明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵明，均指实对称矩阵定理定理1 1的意义的意义.,0,0)( , i以以取取实实向向量量从从而而对对应应的的特特征征向向量量可可系系知知必必有有实实的的基基础础解解由由是是实实系系数数方方程程组组线线性性方方程程组组所所以以齐齐次次为为实实数数的的特特征征值值由由于于对对称称矩矩阵阵 AExAEAii ., 221212121正正交交与与则则若若是是对对应应的的特特征征向向量量的的两两个个特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设定定理理pppp

2、A 证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT. , 31素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其详细步骤为：为对角矩阵，其详细步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特

3、征向量单位化将特征向量单位化.4.1.;的特征值的特征值求求A 的的特特征征向向量量求求出出由由AxAEi, 02 P,211121112 A例例 对以下实对称矩阵，分别求出正交矩阵对以下实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵. .APP1 1 1求其特征值求其特征值211121112 AE 412 211121112 AE 412 从而得特征值从而得特征值. 41321 ， 得得基基础础解解系系时时，由由当当, 0441 xAE 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系时时，由由当当, 0121 xAE ,) 0 , 1 , 1(1 T .) 1 , 0 , 1(2

4、T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.) 1 , 1 , 1 (3T ,33 ,1112122 得正交向量组得正交向量组.) 1 , 1 , 1 (3T .,) 1 , 21, 21()0 , 1 , 1(21 TT ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,021212 ,3131311 .6261613 .31313162616102121 P所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质： (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2) (2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3) (3)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角