曲线的凹凸和拐点ppt课件

1、一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研讨曲线的弯曲方向如何研讨曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上恣意弧段位图形上恣意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上恣意弧段位图形上恣意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2

2、(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的断定二、曲线凹凸的断定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果bax

3、fxfbaxfxfbababaxf 证证:,Ix,x 21利用一阶泰勒公式可得利用一阶泰勒公式可得,xx221 记记21111()()( )( )()()2!ff xffxx22222()()( )( )()()2!ff xffxx两式相加：两式相加：22112121()()2 ( )()()()2!2xxf xf xfff11()()( )0,( )2f xf xfxf当, (1)成立成立11()()( )0,( )2f xf xfxf当,(2)成立成立例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,

4、(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点留意到留意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数, ,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf. .1 1、定义、定义留意留意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfx

5、xf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为方

6、法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 留意留意

7、: :例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改动弯曲方向的点改动弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的断定凹凸性的断定.拐点的求法拐点的求法1, 2.思索题思索题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.思索题解答思索题解答因为因为0