数列的综合应用ppt课件

1、一、数列的概念与简单的表示法：一、数列的概念与简单的表示法：1.数列的概念：按照一定的顺序陈列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列；常数列；摆动数列.3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。二、等差数列与等比数列二、等差数列与等比数列(其根本知识内容请看下表：其根本知识内容请看下表：留意：留意：1假设假设an+1an恒成立，那么恒成立，那么an为递增数列为递增数列2假设假设an+1an恒成立，那恒成立，那么么an为递减数列为递减数列(2)在数列在数列 中，假设中，假设an

2、nn 1nn 1nn 1nn 1aaaaaaaann 1nn 1nn 1nn 1aaaaaaaa那么 最小.na那么 最大.na)2(1 nddaaannn是是常常数数，是是等等差差数数列列)(是是常常数数，是是等等差差数数列列qpqpnaann )2(211 naaaannnn是等差数列是等差数列定义法：定义法： 特征法：特征法： 中项法：中项法： )()4(2是常数，是等差数列BABnAnSann等比数列等比数列an 的断定方法：的断定方法：)0()1(1 qqqaaannn是常数且是常数且是等比数列是等比数列)20()2(112 naaaaannnnn，是是等等比比数数列列)0()3(的

3、的常常数数为为非非、是是等等比比数数列列qccqaannn n 1111(1)(0,1)1111nnnnnaqaaaSqkqk kqqqqqqa 为常数,且为等比数列4前项和公式法：qaann1dnaan) 1(111nnqaa()nmaanm dmnmnqaa2abAabG 22) 1(2)(11dnnnaaanSnn1 1 11)1 (111qnaqqqaaqqaSnnnqpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaadaann1kkkkkSSSSS232,kkkkkSSSSS232,仍成等差仍成等差仍成等比仍成等比1 2 11nSnSSannn等等 差差 数数 列列等等 比比

4、 数数 列列定定 义义通通 项项通项推行通项推行中中 项项性性 质质求和求和公式公式关系式关系式nnSa 、适用一切数列适用一切数列等差数列与等比数列知识系表：等差数列与等比数列知识系表： a ann是公差为是公差为d的等差数列的等差数列 bn是公比为q的等比数列 若若等比数列的增减性项数为偶数 的等差数列，有： 项数为奇数 的等差数列，有：性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 .(可推广) 性质: 若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。 性质：若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比

5、为qq的等比数列. 2q,()0pqp qaq ap pqa,()()nmm nsm sn mnsmn ()0nmm nssmns2k21()kkkSk aaSSkd偶奇1kkSaSa奇偶21k 21(21) (kkkSna a为 中 间 项 ）kSSa奇偶1SkSk奇偶 11110000;10101110nnnnaaaaaaqqqqqaqa 或递 增 数 列或递 减 数 列 ；常 数 列 ; 摆 动 数 列1、察看法猜测求通项：、察看法猜测求通项：2、特殊数列的通项：、特殊数列的通项：3、公式法求通项：、公式法求通项：6、构造法求通项、构造法求通项bkaann1111nnbkbak akk4

6、、累加法，如、累加法，如)(1nfaann)(1nfaann5、累乘法，如、累乘法，如(1)公式法：公式法：4.常见的求和方法常见的求和方法(2)Sn法：法：(3)错位相减求和法：错位相减求和法：(4)裂项求和法：裂项求和法：(5)分组求和法：分组求和法：22222333323.(1) 1232 1 35(21)(1)(21) 12361 123(1)2n nnnnn nnnnn n 常用数列求和的几个结论._)1()2()1(.221)1()()(. 4 nnfnfnfnxfxfxf 则则的正整数的正整数为大于为大于又又满足满足已知函数已知函数倒序相加法裂项相消求和法裂项相消求和法)(11)

7、()11(11)11(1)(111nknkknna aadaaknnkknnnkkkk 是等差数列是等差数列其中其中)0()12(7531132 xxnxxxSnn求求和和：例例25.错位相减求和法错位相减求和法例例5. 知知 是两个等差数列，前是两个等差数列，前 项和项和 ,nnab88.ab分别是分别是 和和 且且 nAn,nB72,3nnAnBn求求181073152157151588BAba1212nnnnBAba12121211212121nnnnnaaABnbb212212nnnnnaanbb分析：分析：结论：结论：【思绪一】解：解：22727272333nnnnAnnnBnn n

8、nn22723nnAnnBnn11nnnnnnaAAbBB14522nn8810718ab要点梳理要点梳理1.1.解答数列运用题的根本步骤解答数列运用题的根本步骤 (1) (1)审题审题仔细阅读资料，仔细了解题意仔细阅读资料，仔细了解题意. . (2) (2)建模建模将知条件翻译成数学数列言将知条件翻译成数学数列言语，将实践问题转化成数学问题，弄清该数列语，将实践问题转化成数学问题，弄清该数列的构造和特征的构造和特征. . (3) (3)求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解. . (4) (4)复原复原将所求结果复原到原实践问题中将所求结果复原到原实践问题中. . 数列的综合运用数列的

9、综合运用2.2.数列运用题常见模型数列运用题常见模型 (1) (1)等差模型：假设添加或减少的量是一个固等差模型：假设添加或减少的量是一个固定量时，该模型是等差模型，添加或减少的定量时，该模型是等差模型，添加或减少的量就是公差量就是公差. . (2) (2)等比模型：假设后一个量与前一个量的比是一等比模型：假设后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比数就是公比. . (3) (3)分期付款模型：设贷款总额为分期付款模型：设贷款总额为a a，年利率为，年利率为r,r,等等额还款数为额还款数为b,b,分分n n期还完，

10、那么期还完，那么b=b=.1)1 ()1 (arrrnn根底自测根底自测1.1.数列数列anan是公差不为是公差不为0 0的等差数列且的等差数列且a7a7、a10a10、a15a15是是 等比数列等比数列bnbn的延续三项，假设等比数列的延续三项，假设等比数列bnbn的的首项首项 b1=3, b1=3,那么那么b2b2等于等于 A. B.5 C.2 D. A. B.5 C.2 D. 解析解析 由条件知由条件知 =a7a15, =a7a15, a7+3da7+3d2=a72=a7(a7+8d),(a7+8d), 9d=2a7 9d=2a7，q=q= b1=3 b1=3，b2=b1q=5.b2=b

11、1q=5.B210a.35377710adaaa524592.2.一套共一套共7 7册的书方案每两年出一册，假设出完全部册的书方案每两年出一册，假设出完全部各册书，公元年代之和为各册书，公元年代之和为13 95813 958，那么出齐这套，那么出齐这套书的年份是书的年份是 A.1994 A.1994B.1996 C.1998 D.2000B.1996 C.1998 D.2000 解析解析 设出齐这套书的年份是设出齐这套书的年份是x x， 那么那么x-12x-12+(x-10)+(x-8)+x=13 958,+(x-10)+(x-8)+x=13 958, 7x- =13 958,x=2000.

12、7x- =13 958,x=2000.D27)012(3.3.20212021四川等差数列四川等差数列anan的公差不为零的公差不为零, ,首项首项 a1=1,a2 a1=1,a2是是a1a1和和a5a5的等比中项，那么数列的等比中项，那么数列anan的前的前1010项项 之和是之和是 A.90 B.100 C.145 D.190 A.90 B.100 C.145 D.190 解析解析 由题意知，由题意知，a1+da1+d2=a1(a1+4d),2=a1(a1+4d), 即即 +2a1d+d2= +4a1d,d=2a1=2. +2a1d+d2= +4a1d,d=2a1=2. S10=10a1+

13、 d=10+90=100. S10=10a1+ d=10+90=100.B21a21a29104.4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将本身分裂为在杀死一个病毒的同时将本身分裂为2 2个，如今有个，如今有一个这样的细菌和一个这样的细菌和100100个这样的病毒，问细菌将病个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需求毒全部杀死至少需求 A.6 A.6秒秒B.7B.7秒秒 C.8 C.8秒秒D.9D.9秒秒 解析解析 依题意依题意1+21+22+2n-1100,1+21+22+2n-1100, 100,2n101, 100,2n

14、101, n7, n7,即至少需求即至少需求7 7秒细菌将病毒全部杀死秒细菌将病毒全部杀死. .B2121n5.5.知数列知数列anan中，中，a1=2a1=2，点，点an-1,anan-1,an (n (n1 1且且nN)nN)满足满足y=2x-1y=2x-1，那么，那么a1+a2+a10= .a1+a2+a10= . 解析解析 an=2an-1-1 an=2an-1-1，an-1=2(an-1-1),an-1=2(an-1-1), an-1 an-1是等比数列，那么是等比数列，那么an=2n-1+1.an=2n-1+1. a1+a2+a10 a1+a2+a10 =10+(20+21+22+

15、29) =10+(20+21+22+29) =10+ =1 033. =10+ =1 033.1 0331 033212110题型一题型一 等差数列与等比数列的综合运用等差数列与等比数列的综合运用【 例【 例 1 1 】 数 列】 数 列 a n a n 的 前的 前 n n 项 和 记 为项 和 记 为 S nS n ，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). 1 1求求anan的通项公式；的通项公式； 2 2等差数列等差数列bnbn的各项为正，其前的各项为正，其前n n项和为项和为TnTn，且且T3=15T3=15，又，又a1+b1,a2+b2,

16、a3+b3a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求成等比数列，求Tn.Tn. S1 S1， n=1 n=1， Sn-Sn-1 Sn-Sn-1，n2.n2.求求an.an.2 2留意等差数列与等比数列之间的相互关系留意等差数列与等比数列之间的相互关系. .思想启迪思想启迪1 1运用公式运用公式an=an=题型分类题型分类 深度分析深度分析解解 1 1由由an+1=2Sn+1,an+1=2Sn+1,可得可得an=2Sn-1+1 (n2),an=2Sn-1+1 (n2),两式相减得两式相减得an+1-an=2an,an+1-an=2an,那么那么an+1=3an (n2).an+1=3an

17、(n2).又又a2=2S1+1=3,a2=3a1.a2=2S1+1=3,a2=3a1.故故anan是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，的等比数列，an=3n-1.an=3n-1.2 2设设bnbn的公差为的公差为d,d,由由T3=15,b1+b2+b3=15,T3=15,b1+b2+b3=15,可得可得b2=5,b2=5,故可设故可设b1=5-d,b3=5+d,b1=5-d,b3=5+d,又又a1=1,a2=3,a3=9,a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得解得d1=2,

18、d2=-10.d1=2,d2=-10.等差数列等差数列bnbn的各项为正，的各项为正，dd0,0,d=2,b1=3,Tn=3n+ d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n.2=n2+2n.2) 1( nn 探求提高探求提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前应重点分析等差、等比数列的通项及前n n项和；分析项和；分析等差、等比数列项之间的关系等差、等比数列项之间的关系. .往往用到转化与化归往往用到转化与化归的思想方法的思想方法. .知能迁移知能迁移1 1 20212021全国全国设等差数列设等差数列anan的前的前n

19、n 项和为项和为Sn,Sn,公比是正数的等比数列公比是正数的等比数列bnbn的前的前n n项和为项和为Tn,Tn, 知知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求求an,bnan,bn的通的通 项公式项公式. . 解解 设设anan的公差为的公差为d d，bnbn的公比为的公比为q.q. 由由a3+b3=17a3+b3=17得得1+2d+3q2=17,1+2d+3q2=17, 由由T3-S3=12T3-S3=12得得q2+q-d=4. q2+q-d=4. 由、及由、及q q0 0解得解得q=2,d=2.q=2,d=2. 故

20、所求的通项公式为故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3an=2n-1,bn=32n-1.2n-1.题型二题型二 数列与函数的综合运用数列与函数的综合运用【例【例2 2】 1212分知分知f(x)=logax(af(x)=logax(a0 0且且a1)a1)，设，设 f(a1),f(a2),f(an) (nN f(a1),f(a2),f(an) (nN* *) )是首项为是首项为4 4，公差，公差为为 2 2的等差数列的等差数列. .1 1设设a a为常数，求证：为常数，求证：anan是等比数列；是等比数列；2 2假设假设bn=anf(an),bnbn=anf(an),bn的前的前n n项和

21、是项和是Sn,Sn,当当a= a= 时时, , 求求Sn.Sn. 利用函数的有关知识得出利用函数的有关知识得出anan的表达式，的表达式， 再利用表达式处理其他问题再利用表达式处理其他问题. .2思想启迪思想启迪1 1证明证明 f(an)=4+(n-1) f(an)=4+(n-1)2=2n+2,2=2n+2,logaan=2n+2,logaan=2n+2,2 2分分an=a2n+2.an=a2n+2. n2n2为定值为定值. .anan为等比数列为等比数列. .5 5分分 (2) (2)解解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. bn=anf(an)=a

22、2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当当a= a= 时，时，bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7分分Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+32Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3- -得得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+322222) 1(2221aaaaaaannnnnn2

23、2 =16+ -(n+1)2n+3 =16+ -(n+1)2n+3 =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3. Sn=n2n+3.1212分分 数列与函数的综合问题主要有以下两数列与函数的综合问题主要有以下两类：类：1 1知函数条件，处理数列问题知函数条件，处理数列问题. .此类问题普此类问题普通利用函数的性质、图象研讨数列问题；通利用函数的性质、图象研讨数列问题；2 2知知数列条件，处理函数问题数列条件，处理函数问题. .处理此类问题普通要充处理此类问题普通要充分利用数列的范围、公式、求和方法

24、对式子化简变分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形形. .探求提高探求提高21)21 (214n知能迁移知能迁移2 2 设等比数列设等比数列anan的前的前n n项和项和SnSn，首项，首项a1=1,a1=1,公比公比q=f ( -1,0).q=f ( -1,0). 1 1证明：证明：Sn=Sn=1+ 1+ - an- an； 2 2假设数列假设数列bnbn满足满足b1= ,bn=f(bn-1) (nNb1= ,bn=f(bn-1) (nN* *, , n2), n2),求数列求数列bnbn的通项公式的通项公式; ; 3 3假设假设 =1, =1,记记cn=an ,cn=an ,数列数

25、列cncn的前的前n n项和为项和为 Tn, Tn,求证求证: :当当n2n2时时,2Tn4.,2Tn4.)(121) 11(nb (1) (1)证明证明11)1(1 1)1 (11nnnaqqaS.)1 (,)1()1(,)1()1 ()1(1)1 (1111nnnnnnnaSaa又 (2) (2)解解. 111.1,1) (111nnnnnbbbbbf 是首项为是首项为 =2, =2,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列. . =2+(n-1)=n+1, =2+(n-1)=n+1,即即bn=bn=nb111bnb1.11n(3)(3)证明证明 当当 =1 =1时时, ,)21(1nna.

26、)21()21(3)21(22121.)21()21(3)21(21.)21() 11(32121nnnnnnnnTnTnbc又又Tn+1-TnTn+1-Tn0,0,TnTn单调递增单调递增.TnT2=2.TnT2=2.故当故当n2n2时时,2Tn4.,2Tn4. 4)21()21(412nnnnT两式相减得两式相减得.)21()21(1 2)21()21()21()21(12112nnnnnnnT题型三题型三 数列的实践运用数列的实践运用【例【例3 3】假设某市】假设某市20212021年新建住房年新建住房400400万平方米，其万平方米，其中有中有250250万平方米是中低价房，估计在今后

27、的假设万平方米是中低价房，估计在今后的假设干年内干年内, ,该市每年新建住房面积平均比上一年增长该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年添加上一年添加5050万平方米万平方米. .那么，到哪一年底，那么，到哪一年底， 1 1该市历年所建中低价房的累计面积以该市历年所建中低价房的累计面积以20212021年为累计的第一年将初次不少于年为累计的第一年将初次不少于4 7504 750万平方米？万平方米？ 2 2当年建造的中低价房的面积占该年建造住房当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面 积 的 比 例 初

28、 次 大 于面 积 的 比 例 初 次 大 于 8 5 %8 5 % ？ 参 考 数 据 ：？ 参 考 数 据 ：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59) 1 1要求学生会把实践问题转化为数学要求学生会把实践问题转化为数学问题问题:Sn=250n+ :Sn=250n+ 50=25n2+225n4 750.50=25n2+225n4 750.(2)an(2)an0.85bn,bn=4000.85bn,bn=4001.08n-1.1.08n-1.解解 1 1设中低价房的面积构成的数列为设中低价房的面积构成的数列为ana

29、n，由题意可知由题意可知anan是等差数列，是等差数列，其中其中a1=250,d=50,a1=250,d=50,那么那么an=250+(n-1)50=50n+200an=250+(n-1)50=50n+200Sn=250n+ Sn=250n+ 50=25n2+225n,50=25n2+225n,令令25n2+225n4 750,25n2+225n4 750,即即n2+9n-1900,n2+9n-1900,而而n n是正整数，是正整数，n10.n10.因此到因此到20212021年底，该市历年所建中低价房的累计面年底，该市历年所建中低价房的累计面积将初次不少于积将初次不少于4 7504 750万

30、平方米万平方米. .思想启迪思想启迪2) 1( nn2) 1( nn2 2设新建住房面积构成数列设新建住房面积构成数列bnbn，由题意可知，由题意可知bnbn是 等 比 数 列 ， 其 中是 等 比 数 列 ， 其 中 b 1 = 4 0 0 , q = 1 . 0 8 ,b 1 = 4 0 0 , q = 1 . 0 8 , 那 么那 么bn=400(1.08)n-1.bn=400(1.08)n-1. 由题意可知由题意可知anan0.85bn,0.85bn, 即即50n+20050n+200400(1.08)n-10.85.400(1.08)n-10.85. 当当n=5n=5时，时，a5a5

31、0.85b5,0.85b5, 当当n=6n=6时，时，a6a60.85b6,0.85b6, 因此满足上述不等式的最小正整数因此满足上述不等式的最小正整数n n为为6.6. 因此到因此到20212021年底，当年建造的中低价房的面积占该年年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例初次大于建造住房面积的比例初次大于85%.85%. 处理此类问题的关键是如何把实践问题转化处理此类问题的关键是如何把实践问题转化为数学问题，经过反复读题，列出有关信息，转化为数为数学问题，经过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实践运用的详细表达列的有关问题，这也是数学实践运用的详细表达

32、. .探求提高探求提高 知能迁移知能迁移3 3 某市某市20212021年共有年共有1 1万辆燃油型公交车万辆燃油型公交车, , 有关部门方案于有关部门方案于20212021年投入年投入128128辆电力型公交车辆电力型公交车, , 随后电力型公交车每年的投入比上一年添加随后电力型公交车每年的投入比上一年添加50%,50%, 试问试问: : (1) (1)该市在该市在20212021年应该投入多少辆电力型公交车年应该投入多少辆电力型公交车? ? (2) (2)到哪一年底到哪一年底, ,电力型公交车的数量开场超越该电力型公交车的数量开场超越该市公交车总量的市公交车总量的 ?(lg 657=2.8

33、2,lg 2=0.30, ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48) lg 3=0.48) 解解 (1) (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列等比数列an,an,其中其中a1=128,q=1.5,a1=128,q=1.5,那么在那么在20212021年年应该投入的电力型公交车为应该投入的电力型公交车为a7=a1q6=128a7=a1q6=1281.561.56=1 458=1 458辆辆. .312 2记记Sn=a1+a2+anSn=a1+a2+an，根据题意，得根据题意，得 ，于是于是Sn= Sn= 5 0005

34、000辆，即辆，即1.5n1.5n两边取常用对数，那么两边取常用对数，那么nlg 1.5nlg 1.5lglg即即n n 7.3, 7.3,又又nNnN* *，因此，因此n8.n8.所以到所以到20212021年底，电力型公交车的数量开场超越该年底，电力型公交车的数量开场超越该市公交车总量的市公交车总量的 . .31nnSS000105 . 11)5 . 11 (128n.32657,326572lg3lg2lg5657lg31方法与技巧方法与技巧1.1.深化了解等差比数列的性质，熟习它们的深化了解等差比数列的性质，熟习它们的推导过程是解题的关键推导过程是解题的关键. .两类数列性质既有类两类

35、数列性质既有类似之处，又有区别，要在运用中加强记忆似之处，又有区别，要在运用中加强记忆. .同同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少过失少过失. .2.2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程组求解，在解方程组时，仔细领会两方程组求解，在解方程组时，仔细领会两种情形中解方程组的方法的不同之处种情形中解方程组的方法的不同之处. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.数列的浸透力很强，它和函数、方程、三角形、数列的浸透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联络，优化组合，无形中加大不等式等

36、知识相互联络，优化组合，无形中加大了综合的力度了综合的力度. .处理此类标题，必需对蕴藏在数列处理此类标题，必需对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深化领悟它概念和方法中的数学思想有所了解，深化领悟它在解题中的艰苦作用，常用的数学思想方法有：在解题中的艰苦作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程、函数与方程、“数形结合、数形结合、“分类讨论、分类讨论、“等价转换等等价转换等. .4.4.在现实生活中，人口的增长、产量的添加、本钱在现实生活中，人口的增长、产量的添加、本钱的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来处理，因此要会在实

37、践问题中都可以利用数列来处理，因此要会在实践问题中笼统出数学模型，并用它处理实践问题笼统出数学模型，并用它处理实践问题. .失误与防备失误与防备1.1.等比数列的前等比数列的前n n项和公式要分两种情况：公比项和公式要分两种情况：公比等于等于1 1和公比不等于和公比不等于1.1.最容易忽视公比等于最容易忽视公比等于1 1的的情况，要留意这方面的练习情况，要留意这方面的练习. .2.2.数列的运用还包括实践问题，要学会建模，对数列的运用还包括实践问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解应哪一类数列，进而求解. .3.3.在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩在有些情况下，证明数列的不等式要用

38、到放缩法法. .一、选择题一、选择题1.1.各项都是正数的等比数列各项都是正数的等比数列anan中，中，a2a2， a3 a3，a1a1成成等等 差数列，那么差数列，那么 的值为的值为 A. B. A. B. C. D. C. D. 或或 解析解析 设设anan的公比为的公比为q (qq (q0)0)，由，由a3=a2+a1,a3=a2+a1, 得得q2-q-1=0q2-q-1=0，解得，解得q= .q= . 因此因此B214354aaaa215215215215251251.2514354qaaaa定时检测定时检测2.2.数列数列anan中中,an=3n-7 (nN,an=3n-7 (nN*

39、 *), ), 数列数列bnbn满足满足 b1= ,bn-1=27bn(n2 b1= ,bn-1=27bn(n2且且nNnN* *),),假设假设an+logkbnan+logkbn为为 常数常数, ,那么满足条件的那么满足条件的k k值值 A. A.独一存在独一存在, ,且为且为 B. B.独一存在独一存在, ,且为且为3 3 C. C.存在且不独一存在且不独一 D. D.不一定存在不一定存在3131解析解析 依题意依题意, ,an+logkbn=3n-7+logk( )3n-2an+logkbn=3n-7+logk( )3n-2=3n-7+(3n-2)logk=3n-7+(3n-2)log

40、k=(3+3logk )n-7-2logk ,=(3+3logk )n-7-2logk ,an+logkbnan+logkbn是常数，是常数，3+3logk =0,3+3logk =0,即即logk3=1,k=3.logk3=1,k=3.答案答案 B B3131313131,)31()31(31)271(233311nnnnbb3.3.有一塔形几何体由假设干个正方体构成，构有一塔形几何体由假设干个正方体构成，构 成方式如下图，上层正方体下底面的成方式如下图，上层正方体下底面的 四个顶点是下层正方体上底面各边的中点四个顶点是下层正方体上底面各边的中点. . 知最底层正方体的棱长为知最底层正方体的

41、棱长为2 2，且该塔形的，且该塔形的 外表积含最底层正方体的底面面积超外表积含最底层正方体的底面面积超 过过3939，那么该塔形中正方体的个数至少是，那么该塔形中正方体的个数至少是 A.4 B.5 A.4 B.5 C.6 D.7 C.6 D.7解析解析 正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：列，其棱长分别为：2 2， ，1 1， ， ，n n层正方体的外表积为层正方体的外表积为由知：由知：40-3240-32 n n3939，整理得整理得2n2n32,n32,n5.5.答案答案 C C22121.)21(3240211)21(1 168n

42、n214.4.气候学院用气候学院用3.23.2万元买了一台天文观测仪，知这台观万元买了一台天文观测仪，知这台观测仪从启用的第一天起延续运用，第测仪从启用的第一天起延续运用，第n n天的维修保养天的维修保养费为费为 元元(nN(nN* *), ), 运用它直至报废最合算所运用它直至报废最合算所谓报废最合算是指运用这台仪器的平均耗资最少谓报废最合算是指运用这台仪器的平均耗资最少为止为止, ,一共运用了一共运用了 A.800 A.800天天 B.600 B.600天天 C.1 000 C.1 000天天 D.1 200 D.1 200天天1049n解析解析 由第由第n n天的维修保养费为天的维修保养

43、费为 元元(nN(nN* *) )，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应而求得最小值成立时的相应n n的值的值. .设一共运用了设一共运用了n n天，那么运用天，那么运用n n天的平均耗资为天的平均耗资为当且仅当当且仅当 时获得最小值，此时时获得最小值，此时n=800.n=800.答案答案 A A1049n,29 . 920102 . 32)10495 (102 . 344nnnnn20102 . 34nn5.20215.2021年春，我国南方部分地域蒙受了稀有的特大年春，我国南方部分地域蒙受了稀有的特大冻灾冻灾. .

44、大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只需校开展募捐活动，第一天只需1010人捐款，人均捐人捐款，人均捐款款1010元，之后经过积极宣传，从第二天起，每天元，之后经过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的的捐款人数是前一天的2 2倍，且当天人均捐款数比倍，且当天人均捐款数比前一天多前一天多5 5元，那么截止到第元，那么截止到第5 5天包括第天包括第5 5天捐天捐款总数将到达款总数将到达 A.4 800 A.4 800元元B.8 000B.8 000元元 C.9 600 C.9 600元元D.11 200D.11 200元元 解

45、析解析 由题意知，由题意知，5 5天共捐款天共捐款 10 1010+10+10102 210+510+5+ +1010222215+515+5+ +1010232320+520+5+ +1010242425+525+5=8 000=8 000元元. .B6.6.知数列知数列an,bnan,bn满足满足a1=1,a1=1,且且an,an+1an,an+1是函数是函数f(x)=x2-bnx+2nf(x)=x2-bnx+2n的两个零点，那么的两个零点，那么b10b10等于等于 A.24 B.32 C.48 D.64 A.24 B.32 C.48 D.64 解析解析 依题意有依题意有anan+1=2n

46、anan+1=2n，所以，所以an+1an+2=2n+1,an+1an+2=2n+1, 两式相除得两式相除得 =2, =2,所以所以a1,a3,a5,a1,a3,a5,成等比数列，成等比数列，a2,a4,a6,a2,a4,a6,成等比数列，而成等比数列，而a1=1,a2=2,a1=1,a2=2,所以所以a10=224=32,a11=125=32.a10=224=32,a11=125=32. 又由于又由于an+an+1=bnan+an+1=bn，所以，所以b10=a10+a11=64.b10=a10+a11=64.Dnnaa2二、填空题二、填空题7.7.知数列知数列anan满足满足a1=1,a2

47、=-2,an+2=- ,a1=1,a2=-2,an+2=- ,那么该数那么该数列前列前2626项的和为项的和为 . . 解析解析 由于由于a1=1,a2=-2,an+2=- a1=1,a2=-2,an+2=- ， 所以所以a3=-1,a4= ,a5=1,a6=-2,a3=-1,a4= ,a5=1,a6=-2, 于是于是anan是周期为是周期为4 4的数列，的数列， 故故S26=6S26=61-2-1+ 1-2-1+ +1-2=-10.+1-2=-10.na1-10-102121na11 12 32 34 5 64 5 67 8 9 107 8 9 108.8.20212021江苏将全体正整数排

48、成一个三角形数江苏将全体正整数排成一个三角形数 阵：阵：按照以上陈列的规律，第按照以上陈列的规律，第n n行行n3n3从左向右的第从左向右的第3 3个数为个数为 . .解析解析 前前n-1n-1行共有正整数行共有正整数1+2+(n-1)1+2+(n-1)个个, ,即即个个, ,因此第因此第n n行第行第3 3个数是全体正整数中第个数是全体正整数中第 +3 +3个个, ,即为即为 . .262nn262nn22nn 22nn 9.9.20212021福建五位同窗围成一圈依序循环报福建五位同窗围成一圈依序循环报 数，规定：数，规定： 第一位同窗初次报出的数为第一位同窗初次报出的数为1 1，第二位同

49、窗初次，第二位同窗初次 报出的数也为报出的数也为1 1，之后每位同窗所报出的数都是前，之后每位同窗所报出的数都是前 两位同窗所报出的数之和两位同窗所报出的数之和; ; 假设报出的数为假设报出的数为3 3的倍数，那么报该数的同窗需的倍数，那么报该数的同窗需拍手拍手 一次一次. . 知甲同窗第一个报数，当五位同窗依序循环报知甲同窗第一个报数，当五位同窗依序循环报 到第到第100100个数时，甲同窗拍手的总次数为个数时，甲同窗拍手的总次数为. .解 析解 析 设 第设 第 n n 个 同 窗 报 出 的 数 为个 同 窗 报 出 的 数 为 a n ,a n , 那 么那 么an+an+1=an+2

50、,an+an+1=an+2,an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1,an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1,an+4=an+3+an+2=2an+3an+1,an+4=an+3+an+2=2an+3an+1,an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1).an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1).又又anan为大于为大于0 0的整数的整数, ,anan被被3 3整除时，整除时，an+4an+4也被也被3 3整除；整除；anan不被不被3 3整除时，整除时，an+4an+4也不被也不被3 3整除整除.

51、.又又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,anan中被中被3 3整除的数为整除的数为a4+4k(kN),a4+4k(kN),又甲报出的数为又甲报出的数为a1+5m(mN),a1+5m(mN),甲报出的数甲报出的数a1+5ma1+5m被被3 3整除时，存在整除时，存在kN,kN,使使1+5m=4+4k,1+5m=4+4k,k=k=m-3m-3被被4 4整除，设整除，设m-3=4p(pZ)m-3=4p(pZ)，那么，那么m=4p+3.m=4p+3.11+5m100,0m19.8,11+5m100,0m19.8,04p+319.8,-

52、p4.2,04p+319.8,- p4.2,pp只能取只能取0 0，1 1，2 2，3 3，4 4共共5 5个整数，个整数，mm只能取只能取3 3，7 7，1111，1515，1919共共5 5个整数，个整数，甲报出的数只需甲报出的数只需5 5次能被次能被3 3整除整除. .甲拍了甲拍了5 5次手次手. .答案答案 5 5,43435mmm43三、解答题三、解答题10.10.为维护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口为维护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超越总量不能超越8080吨，该矿区方案从吨，该矿区方案从20212021年开场出年开场出口，当年出口口，当年出口a a吨，以后每年

53、出口量均比上一年减吨，以后每年出口量均比上一年减少少10%.10%. 1 1以以20212021年为第一年，设第年为第一年，设第n n年出口量为年出口量为anan吨，吨，试求试求anan的表达式；的表达式； 2 2因稀土资源不能再生，国家方案因稀土资源不能再生，国家方案1010年后终止年后终止该矿区的出口，问该矿区的出口，问20212021年最多出口多少吨？保年最多出口多少吨？保管一位小数参考数据：管一位小数参考数据：0.9100.35.0.9100.35.解解 1 1由题意知每年的出口量构成等比数列，且由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项首项a1=a,a1=a,公比公比q=1-10%=0.9,q=1-10%=0.9,an=a0.9n-