ch行列式的计算方法小结学习课程

1、行列式的计算4、其他方法：1、定义法：适用于0比较多的行列式2、利用性质化三角形行列式3、按行（列）展开析因子法析因子法箭形行列式箭形行列式行（列）和相等的行列式行（列）和相等的行列式递推公式法递推公式法加边法（升级法）加边法（升级法）拆项法拆项法数学归纳法数学归纳法第1页/共34页第一页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（一）析因子法（一）析因子法2211231 2232315231 9xDx 例：计算 解：由行列式 定义知为 的4次多项式xD又，当 时，1，2行相同，有 ，0D 1x 1x 为D的根当 时，3，4行相同，有0,D 2x 2x 为D的根故 有4个一次因式: :1,

2、1,2,2xxxxD第2页/共34页第二页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算(1)(1)(2)(2),Da xxxx设令 则 0,x 1 1 2 31 2 2 3122 3 1 52 3 1 9D 1 ( 1) 2 ( 2)12.a 3.a 即， 3(1)(1)(2)(2)Dxxxx 第3页/共34页第三页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（二）箭形行列式（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nninnabbbcaDaincaca 解：把所有的第 列 的 倍加到(1, )in iica 1i 第1列，得： 11201()niinniibcDa aaaa 第4

3、页/共34页第四页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算可转为箭形行列式的行列式：可转为箭形行列式的行列式：121111111),0,1,2,3.111inaaaina 122),0,1,2,3.inaxxx axainxxa （把第i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）第5页/共34页第五页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（三）行（列）和相等的行列式（三）行（列）和相等的行列式1)a bbb abDba 12(1)(1)(1)nanb bbanb abcccanb ba 解：D 11(1)1bbabanbba 1100(1)2,3,00ibbrrabanbinab

4、 1()(1)nabanb 第6页/共34页第六页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算12 3123 412)11321 222nnnDnnnnnnn 1 2 311 3 41(1)211321 1 221nnnn nDnnnnn 解11221123101111(1)2011110 1111nnnnrrrrrrnnnn nnn 第7页/共34页第七页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算1111 1(1)111121111nnn nnn 111111(1)002,31200innrrn nnninnn 11211111(1)0002000nnnn nncccn (1)(1)2

5、2(1)( 1)( 1)()2nnnn nn (1)12(1)( 1)2n nnnn 第8页/共34页第八页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（四）升级法（加边法）（四）升级法（加边法）1121221 212,0nnnnnnabaaaabaDb bbaaab 121121221211000nnnnnnnaaaabaaDaabaaaab 解：1)第9页/共34页第九页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算121121100(2,31)1 001 00ninaaabrr inbb 1 21(1).niniiab bbb 11111100(1,21)00niniiiinaaabc

6、bcinbb 第10页/共34页第十页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（五）（五）递推公式法0001000100.0000001nabababababDababab 112c()nnnDab DabD按按 展开解211221()()nnnnnDaDb DaDbDaD 211221()()nnnnnDbDa DbDaDbD 第11页/共34页第十一页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算22221();nnnnDaDbaabbaabb 22221().nnnnDbDaaabbaaba 11(1)nnnnababDabnaab 由以上两式解得 2221,DaabbDab而行列

7、式的值求出行列式的值求出 的值）的值）D（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（关系式，再用递推关系及某些低阶（2 2阶，阶，1 1阶）阶）第12页/共34页第十二页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（六）拆项法（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）121)nnaxaaaaxaDaaax 1210000000nnxaxax Da 112200nnnaxaaaxaaaaxaaaxaDaaaxaaax 解：第13页/共34页第十三页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算1211nnnnDx xxax D

8、112212,nnnnDx xxaxD 继续下去，可得 111221231nnnnnnnDaxxax xxxax xxxx 1241341321nnnnax x xxax x xxx xx x D 1211221323()nnnnna x xxx xxxx xxx xx1212110(1)nnnniix xxDx xxax , ,当 时 212323,nnnnDx xxaxD12nx xx 第14页/共34页第十四页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算110nnaaaxaDaaax 1111naaxax 当 时也可以用加边法做： 0(1,2)ixin111100niinnaaaxDx

9、ax 1211(1)nniix xxax 第15页/共34页第十五页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（七）（七） 数学归纳法数学归纳法例、证明：12121111111(1)111nninaaDa aaaa 证：当 时， ，结论成立111111(1)Daaa1n 1211(1)kkkiiDa aaa 假设 时结论成立，即，nk 第16页/共34页第十六页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算1122111101111111011110111 10111 11111111111kkkaaaaaaa 121111111111111 1111111kkkaaDaa 对 ，将 按最

10、后一列拆开，1nk1kD 第17页/共34页第十七页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算1211211(1)kkkkiia aaaa aaa 112111(1)kkiia aaa 所以 时结论成立，故原命题得证1nk12100 000 0000001111 1kkkaaaDa 121kkka aaaD 第18页/共34页第十八页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算（八）（八） 范德蒙行列式范德蒙行列式解：考察阶范德蒙行列式1n 1222221211111212111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxf xxxxxxxxx 12222122221212111n

11、nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 例、计算行列式第19页/共34页第十九页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算121()()()()nijj i nxxxxxxxx 显然 就是行列式 中元素 的余子式 ，.1n nM 1nx ( )f xD即,1,1nn nn nDMA , ,（ 为代数余子式）,1n nA 又由 的表达式及根与系数的关系知，( )f x1nx ( )f x中 的系数为： 121()().nijj i nxxxxx 121()()nnijj i nDxxxxx ,1121()()n nnijj i nAxxxxx 即， 第20页/共34页第二十页，编辑于

12、星期五：十四点 二十七分。行列式的计算121212121200,00nnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa练习1、计算21121122121000000nnnnnnaaaaaaaDaaaaaaaa 解第21页/共34页第二十一页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算12111122211112,311ninnnnaaaaaarraaainaaa 121111222221000001111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 第22页/共34页第二十二页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算12112212101110112001020(3,42)1002ninnn

13、aaaaaaacc inaa 1221(3,42)21(1,2)2ijjcc inccjna 121221111112211122002000002000002ininnnanaaaaaaa 第23页/共34页第二十三页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算111122( 2)1122nininaaana 2212,1( 2)(2)nnini jjaa aana 第24页/共34页第二十四页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算9 50 04 9 500 4 900 09 50 04 9nD i11215 004 9 5c94920,54 9nnnnnDDDD 按按 行行展展

14、开解：即有11254(5),nnnnDDDD于是有 练习2、计算第25页/共34页第二十五页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算同理有 212345 (4)nnnnDDDD22215(4)5(6136)5nnnDD1111545445nnnnnnnnnDDDDD 即 221232154 (5)4(5)nnnnnDDDDDD 24(6145)4 ,nn 第26页/共34页第二十六页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算nabbbcabbDccabccca 111()11nnbbbabbcac Dcabcca 000ncbbbac bbbcabbabbDccabcabcccacc

15、a 解练习3、计算第27页/共34页第二十七页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算11000()000nnbbbabcac Dcb abcb cbab 11()()nnc abac D 000nbbbbabcabbcabbDccabccabcccaccca 又第28页/共34页第二十八页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算()()nnncb Dc abb ac()()1(1) ()nncbDanb ab ，当 时 ()() /nnncbDc abb accb，当 时11111()ncabbbab Dccabccca abac（）-()-()，得第29页/共34页第二十九页，

16、编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算证：时， . . 结论成立1cosD 1n 11cos10012cos2cos( 1)2cos11 2coskkkkDD 假设 时，结论成立nk 当 时， 按第 行展开得1k 1nk1kD cos10012coscos2cos11 2cosnDn 练习4 4、证明： 第30页/共34页第三十页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算2coscoscoskk2coscoscoscossinsinkkkcoscossinsinkkcos(1)k 于是 时结论亦成立，原命题得证1nk12coskkDD 由归纳假设 12coscoscos(1)kDkk 第31页/共34页第三十一页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算2221212111nnnnnnxxxDxxx 解：考察阶范德蒙行列式1n 1222221211111212111 1( )nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxg xxxxxxxxx 121()()()()nijj i nxxxxxxxx 练习5、计算第32页/共34页第三十二页，编辑于星期五：十四点 二十七分。行列式的计算2,1nM ( )g x