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文档简介

1、等腰三角形典型例题练习一选择题(共2小题)1如图,C=90°,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A5cmB3cmC2cmD不能确定2如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N给出以下三个结论:AE=BD CN=CM MNAB其中正确结论的个数是()A0B1C2D3二填空题(共1小题)3如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DEAC,EFAB,FDBC,则DEF的面积与ABC的面积之比等于_三解答题(共15

2、小题)4在ABC中,AD是BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且EDF+EAF=180°,求证DE=DF5在ABC中,ABC、ACB的平分线相交于点O,过点O作DEBC,分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC6已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,且DE=DF请判断ABC是什么三角形?并说明理由7如图,ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD连接DE(1)E等于多少度?(2)DBE是什么三角形?为什么?8如图,在ABC中,ACB=90°,CD是AB边上的高,A=30°求证:AB=

3、4BD9如图,ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F求证:DF=EF10已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE11(2012牡丹江)如图,ABC中AB=AC,P为底边BC上一点,PEAB,PFAC,CHAB,垂足分别为E、F、H(1)求证PE+PF=CH(2) 如图,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(3)填空:若A=30°,ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为

4、PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=_点P到AB边的距离PE=_(4)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC若ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果)12已知:如图,AF平分BAC,BCAF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M若BAC=2MPC,请你判断F与MCD的数量关系,并说明理由13如图,已知ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F(1)线段AD与BE有什么关系?试证明你的结论(2)求BFD的度数14如图,在ABC中,AB=BC,ABC=90

5、°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,求证:AE=CF15已知:如图,在OAB中,AOB=90°,OA=OB,在EOF中,EOF=90°,OE=OF,连接AE、BF问线段AE与BF之间有什么关系?请说明理由等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一选择题(共2小题)1如图,C=90°,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A5cmB3cmC2cmD不能确定考点:角平分线的性质1418944分析:由已知条件进行思考,结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即C

6、D的长,问题可解解答:解:C=90°,AD平分BAC交BC于DD到AB的距离即为CD长CD=53=2故选C2如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N给出以下三个结论:AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是()A0B1C2D3考点:平行线分线段成比例;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质1418944分析:由ACD和BCE是等边三角形,根据SAS易证得ACEDCB,即可得正确;由ACEDCB,可得EAC=NDC,又由ACD=MCN=60°,利用ASA,可

7、证得ACMDCN,即可得正确;又可证得CMN是等边三角形,即可证得正确解答:解:ACD和BCE是等边三角形,ACD=BCE=60°,AC=DC,EC=BC,ACD+DCE=DCE+ECB,即ACE=DCB,ACEDCB(SAS),AE=BD,故正确;EAC=NDC,ACD=BCE=60°,DCE=60°,ACD=MCN=60°,AC=DC,ACMDCN(ASA),CM=CN,故正确;又MCN=180°MCANCB=180°60°60°=60°,CMN是等边三角形,NMC=ACD=60°,MNAB

8、,故正确故选D二填空题(共1小题)3如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DEAC,EFAB,FDBC,则DEF的面积与ABC的面积之比等于1:3考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质1418944分析:首先根据题意求得:DFE=FED=EDF=60°,即可证得DEF是正三角形,又由直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半,得到边的关系,即可求得DF:AB=1:,又由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得结果解答:解:ABC是正三角形,B=C=A=60°,DEAC,EFAB,FDBC,AFE=C

9、ED=BDF=90°,BFD=CDE=AEF=30°,DFE=FED=EDF=60°,DEF是正三角形,BD:DF=1:,BD:AB=1:3,DEFABC,÷,=,DF:AB=1:,DEF的面积与ABC的面积之比等于1:3故答案为:1:3三解答题(共15小题)4在ABC中,AD是BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且EDF+EAF=180°,求证DE=DF考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的定义1418944分析:过D作DMAB,于M,DNAC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED=CFD

10、,根据全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解答:证明:过D作DMAB,于M,DNAC于N,即EMD=FND=90°,AD平分BAC,DMAB,DNAC,DM=DN(角平分线性质),DME=DNF=90°,EAF+EDF=180°,MED+AFD=360°180°=180°,AFD+NFD=180°,MED=NFD,在EMD和FND中,EMDFND,DE=DF5在ABC中,ABC、ACB的平分线相交于点O,过点O作DEBC,分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC考点:等腰三角形的判定与性质;平行线的性质1418

11、944分析:根据OB和OC分别平分ABC和ACB,和DEBC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=DO,OE=EC然后即可得出答案解答:解:在ABC中,OB和OC分别平分ABC和ACB,DBO=OBC,ECO=OCB,DEBC,DOB=OBC=DBO,EOC=OCB=ECO,DB=DO,OE=EC,DE=DO+OE,DE=BD+EC6已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,且DE=DF请判断ABC是什么三角形?并说明理由考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质1418944分析:用(HL)证明EBDFCD,从而得出EBD=FCD,即可证

12、明ABC是等腰三角形解答:ABC是等腰三角形证明:连接AD,DEAB,DFAC,BED=CFD=90°,且DE=DF,D是ABC的BC边上的中点,BD=DC,RtEBDRtFCD(HL),EBD=FCD,ABC是等腰三角形7如图,ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD连接DE(1)E等于多少度?(2)DBE是什么三角形?为什么?考点:等边三角形的性质;等腰三角形的判定1418944分析:(1)由题意可推出ACB=60°,E=CDE,然后根据三角形外角的性质可知:ACB=E+CDE,即可推出E的度数;(2)根据等边三角形的性质可知,BD不但为AC边

13、上的高,也是ABC的角平分线,即得:DBC=30°,然后再结合(1)中求得的结论,即可推出DBE是等腰三角形解答:解:(1)ABC是等边三角形,ACB=60°,CD=CE,E=CDE,ACB=E+CDE,(2)ABC是等边三角形,BDAC,ABC=60°,E=30°,DBC=E,DBE是等腰三角形8如图,在ABC中,ACB=90°,CD是AB边上的高,A=30°求证:AB=4BD考点:含30度角的直角三角形1418944分析:由ABC中,ACB=90°,A=30°可以推出AB=2BC,同理可得BC=2BD,则结论即

14、可证明解答:解:ACB=90°,A=30°,AB=2BC,B=60°又CDAB,DCB=30°,BC=2BDAB=2BC=4BD9如图,ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F求证:DF=EF考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质1418944分析:过D点作DGAE交BC于G点,由平行线的性质得1=2,4=3,再根据等腰三角形的性质可得B=2,则B=1,于是有DB=DG,根据全等三角形的判定易得DFGEFC,即可得到结论解答:证明:过D点作DGAE交BC于G点,如图,1=2,4=3,AB=AC,

15、B=2,B=1,DB=DG,而BD=CE,DG=CE,在DFG和EFC中,DFGEFC,DF=EF10已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE考点:全等三角形的判定与性质1418944分析:延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得BFE全BEC,所以FE=EC,即CF=2CE,再通过证明ADBFAC可得FC=BD,所以BD=2CE解答:证明:如图,分别延长CE,BA交于一点FBEEC,FEB=CEB=90°,BE平分ABC,FBE=CBE,又BE=BE,BFEBCE (ASA)FE=CECF=2CEAB=

16、AC,BAC=90°,ABD+ADB=90°,ADB=EDC,ABD+EDC=90°又DEC=90°,EDC+ECD=90°,FCA=DBC=ABDADBAFCFC=DB,BD=2EC11(2012牡丹江)如图,ABC中AB=AC,P为底边BC上一点,PEAB,PFAC,CHAB,垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下:如图,连接APPEAB,PFAC,CHAB,SABP=ABPE,SACP=ACPF,SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC,ABPE+ACPF=ABCHAB=AC,PE+PF=CH(1)如图,P为BC延长

17、线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若A=30°,ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=7点P到AB边的距离PE=4或10考点:等腰三角形的性质;三角形的面积1418944分析:(1)连接AP先根据三角形的面积公式分别表示出SABP,SACP,SABC,再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH;(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH,再由ABC的面积为49,求出CH=7,由于CHPF,则可分两种情况进行讨论:P为底边BC上一点,运用结论

18、PE+PF=CH;P为BC延长线上的点时,运用结论PE=PF+CH解答:解:(1)如图,PE=PF+CH证明如下:PEAB,PFAC,CHAB,SABP=ABPE,SACP=ACPF,SABC=ABCH,SABP=SACP+SABC,ABPE=ACPF+ABCH,又AB=AC,PE=PF+CH;(2)在ACH中,A=30°,AC=2CHSABC=ABCH,AB=AC,×2CHCH=49,CH=7分两种情况:P为底边BC上一点,如图PE+PF=CH,PE=CHPF=73=4;P为BC延长线上的点时,如图PE=PF+CH,PE=3+7=10故答案为7;4或1012数学课上,李老

19、师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE=DB(填“”,“”或“=”) (2)特例启发,解答题目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE=DB(填“”,“”或“=”)理由如下:如图2,过点E作EFBC,交AC于点F(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC若ABC的边长为1,

20、AE=2,求CD的长(请你直接写出结果)考点:等边三角形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质1418944分析:(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30°,求出DEB=30°,求出BD=BE即可;(2)过E作EFBC交AC于F,求出等边三角形AEF,证DEB和ECF全等,求出BD=EF即可;(3)当D在CB的延长线上,E在AB的延长线式时,由(2)求出CD=3,当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时,求出CD=1解答:解:(1)故答案为:=(2)过E作EFBC交AC于F,等边三角形ABC,ABC=ACB=A=60

21、°,AB=AC=BC,AEF=ABC=60°,AFE=ACB=60°,即AEF=AFE=A=60°,AEF是等边三角形,AE=EF=AF,ABC=ACB=AFE=60°,DBE=EFC=120°,D+BED=FCE+ECD=60°,DE=EC,D=ECD,BED=ECF,在DEB和ECF中,DEBECF,BD=EF=AE,即AE=BD,故答案为:=(3)解:CD=1或3,理由是:分为两种情况:如图1过A作AMBC于M,过E作ENBC于N,则AMEM,ABC是等边三角形,AB=BC=AC=1,AMBC,BM=CM=BC=,DE

22、=CE,ENBC,CD=2CN,AMEN,AMBENB,=,=,BN=,CN=1+=,CD=2CN=3;如图2,作AMBC于M,过E作ENBC于N,则AMEM,ABC是等边三角形,AB=BC=AC=1,AMBC,BM=CM=BC=,DE=CE,ENBC,CD=2CN,AMEN,=,=,MN=1,CN=1=,CD=2CN=113已知:如图,AF平分BAC,BCAF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M若BAC=2MPC,请你判断F与MCD的数量关系,并说明理由考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质1418944分析:根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线

23、性质求出AB=AC=CD,推出CDA=CAD=CPM,求出MPF=CDM,PMF=BMA=CMD,在DCM和PMF中根据三角形的内角和定理求出即可解答:解:F=MCD,理由是:AF平分BAC,BCAF,CAE=BAE,AEC=AEB=90°,在ACE和ABE中,ACEABE(ASA)AB=AC,CAE=CDEAM是BC的垂直平分线,CM=BM,CE=BE,CMA=BMA,AE=ED,CEAD,AC=CD,CAD=CDA,BAC=2MPC,又BAC=2CAD,MPC=CAD,MPC=CDA,MPF=CDM,MPF=CDM(等角的补角相等),DCM+CMD+CDM=180°,F

24、+MPF+PMF=180°,又PMF=BMA=CMD,MCD=F14如图,已知ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F(1)线段AD与BE有什么关系?试证明你的结论(2)求BFD的度数考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质1418944分析:(1)根据等边三角形的性质可知BAC=C=60°,AB=CA,结合AE=CD,可证明ABECAD,从而证得结论;(2)根据BFD=ABE+BAD,ABE=CAD,可知BFD=CAD+BAD=BAC=60°解答:(1)证明:ABC为等边三角形,BAC=C=60°,AB

25、=CA在ABE和CAD中,ABECADAD=BE(2)解:BFD=ABE+BAD,又ABECAD,ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60°15如图,在ABC中,AB=BC,ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,求证:AE=CF考点:全等三角形的判定与性质1418944分析:根据已知利用SAS即可判定ABECBF,根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF解答:证明:ABC=90°,ABE=CBF=90°,又AB=BC,BE=BF,ABECBF(SAS)AE=CF16已知:如图,在OAB中,AO

26、B=90°,OA=OB,在EOF中,EOF=90°,OE=OF,连接AE、BF问线段AE与BF之间有什么关系?请说明理由考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形1418944分析:可以把要证明相等的线段AE,CF放到AEO,BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得AO=BO,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去BOE的结果,当然相等了,由此可以证明AEOBFO;延长BF交AE于D,交OA于C,可证明BDA=AOB=90°,则AEBF解答:解:AE与BF相等且垂直,理由:在AEO与BFO中,RtOAB与RtOEF等腰直角三角形,AO=OB,OE=OF,AOE=90°BOE=BOF,AEOBFO,AE=BF延长BF交AE于D,交OA于C,则ACD=BCO,由(1)知

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