第5章 杆系结构单元(简)

1、第五章第五章 杆系结构单元杆系结构单元 本章主要内容是：本章主要内容是： 结构离散为单元的有关问题结构离散为单元的有关问题 单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系 单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度矩阵、单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度矩阵、等价节点力矩阵等。等价节点力矩阵等。 结构坐标系中的单元特性及坐标变换矩阵。结构坐标系中的单元特性及坐标变换矩阵。 杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（梁、拱、框架、桁架等，如图（5-1）所示。）所示。 图（图（5-1）梁

2、梁拱拱框架框架桁架桁架2、编号、编号 （1）节点编号）节点编号 节点编号应按节点编号应按正整数不间断逐点编号正整数不间断逐点编号。编号时。编号时应力求应力求单元两端点号差最小单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵元素集中在主，以便使结构刚度矩阵元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。对角线附近，后面结构刚度矩阵组集中有详细说明。5.1 结构离散结构离散 1、离散方法、离散方法 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。点为节点。 相邻两节点间的杆件段是单元相邻两节点间的杆件段是单元; 杆件结构的单元一般只杆件结构的单

3、元一般只有有2个节点。个节点。（2）单元编号）单元编号 单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况而定。单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况而定。3、记录基本信息、记录基本信息 应建立一个数据文件（应建立一个数据文件（DATA.*）来记录基本信息，以便计算）来记录基本信息，以便计算时调用。基本信息包括：时调用。基本信息包括： （1）单元总数（）单元总数（NE）、节点总数（）、节点总数（NJ）、节点自由度数）、节点自由度数(NDF)。 （2）弹性模量（）弹性模量（E）、波桑系数（）、波桑系数（AMU）。）。 （3）单元）单元I端节点号端节点号IO（NE）、）、 J端节点号端节点号JO（NE）

4、（4）有约束的节点数（）有约束的节点数（ NRJ ）、有约束的节点号）、有约束的节点号(KRJ(NRJ)、受、受约束的自由度（约束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）。）。 （5）单元截面面积（）单元截面面积（A）、截面惯性矩（）、截面惯性矩（ZI） （6）节点坐标：）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ) （7）分布力荷载集度）分布力荷载集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) （8） 受集中力作用的节点数（受集中力作用的节点数（MJL）、受集中力作用的）、受集中力作用的节点号（节点号（NJL（MJL）、集中力数值）、集中力数值（VJL（NDF，MJL）。）。 DATA.FRA(1) NE

5、、NJ、NDF 25, 18, 3(2）E、 AMU 3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、）、JO（NE） 1, 4; 4, 7; 7, 10; 10,13; 13,16; 2, 5; 5, 8; 8, 11; 11,14; 14,17; 3, 6; 6, 9; 9, 12; 12,15; 15,18; 4, 5; 5, 6; 7, 8; 8, 9; 10,11; 11, 12,; 13,14; 14,15; 16,17; 17,18(4）NRJ 、KRJ(NRJ)、 （KRL(NDF,NRJ)）3，1,2,3; 9*1(5)A(NE)、ZI(NE)(6) X(NJ)、Y(NJ)(7

6、)qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)数据填写顺序应和程序对应数据填写顺序应和程序对应。q=10kN/m 4、示例、示例6.0m5.0m3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m123456789101112131415161718(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)XY练习练习 对平面铰接桁架进行结构离散，并写出数据文件。对平面铰接桁架进行结构离散，并写出数据文件。44m3mP1P

7、2P3已知：已知：E=2.1109kN/m2 , P1=P3=10kN, P2=50kN, 15cm2 (斜杆）斜杆） A = 65cm2 (上下弦杆）上下弦杆） 40cm2 (竖杆）竖杆） 4.2 单元（局部）坐标系单元（局部）坐标系 杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如图（杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如图（5-2）桁架所示。桁架所示。 XYP图（图（5-2） 如果每一个单元都在统一的整体坐标系如果每一个单元都在统一的整体坐标系XY中写单元刚中写单元刚度矩阵度矩阵, 可能导致结构中处于不同位置的同一类型单元，可能导致结构中处于不同位置的同一类型单元，其其单元刚度矩阵不相同单元刚度矩

8、阵不相同。这不利于计算机编程运算。这不利于计算机编程运算。 容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系将会改容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系将会改善上述状况，善上述状况，得出规格化的结果得出规格化的结果。这种属于每个单元的坐这种属于每个单元的坐标系称为单元坐标系，也称标系称为单元坐标系，也称局部坐标系局部坐标系。 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型, 它它们都只有们都只有2个节点个节点i、j。 约定：约定：单元坐标系的原点置于节点单元坐标系的原点置于节点i；节点；节点i到到j的杆轴的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中（形心轴）方向为单元

9、坐标系中x轴的正向。轴的正向。 y轴、轴、z轴都与轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则（图轴垂直，并符合右手螺旋法则（图5-3）（图（图5-3）ijxyz对于梁单元，对于梁单元， y轴和轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴。轴分别为横截面上的两个惯性主轴。 为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别，引入为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别，引入以下符号以下符号：e单元坐标单元位移单元坐标单元位移 F e单元坐标单元力单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标中的一下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标中的一些特性。些特性。ijxl

10、图图5-45.3 铰结杆单元铰结杆单元 图图5-4示出了一维铰结杆单元，横截面积为示出了一维铰结杆单元，横截面积为A，长度为，长度为l，弹性模量为弹性模量为E，轴向分布载荷为，轴向分布载荷为qx。单元有。单元有2个结点个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴单元坐标为一维坐标轴x。qxujui1、一维铰接杆单元、一维铰接杆单元jieuu（5-1）单元力向量为：单元力向量为：jieFFF（5-2）（1）位移模式和形函数）位移模式和形函数 位移模式位移模式单元结点位移向量为：单元结点位移向量为： 因为只有因为只有2个结点，每个结点位移只有个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此个自由度，因此单元的位移模

11、式可设为：单元的位移模式可设为：xaau21（5-3）式中式中a1、a2为待定常数，可由为待定常数，可由结点位移条件结点位移条件确定确定 x=xi时，时， u=ui ； x=xj时，时， u=uj由此可确定由此可确定a1、a2 。再将其代入式（。再将其代入式（5-3），得：），得： xluuxluuuuijiiji)(（5-4） 形函数形函数将式（将式（5-4）改写为下列形式）改写为下列形式 eNu（5-5）式中式中e由式（由式（5-1）确定，形函数）确定，形函数N为：为： )()(1xxxxlNNNijji（5-6）（2）应变矩阵）应变矩阵一维铰结杆单元仅有轴向应变一维铰结杆单元仅有轴向应变

12、 dxdu将式（将式（5-5）、（）、（5-6）代入上式，得：）代入上式，得： el111上式也可写为上式也可写为 eB（5-7）式中式中B为应变矩阵为应变矩阵 111lBBBji（5-8）由应力应变关系由应力应变关系 （3）应力矩阵）应力矩阵E将式（将式（5-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（5-9）式中式中S为应力矩阵为应力矩阵 11lES（5-10） (4) 等价节点力等价节点力 单元上作用分布力单元上作用分布力qx，则等价节点力计算公式仍为以，则等价节点力计算公式仍为以下形式下形式 dxqNFxTe当分布力集度当分布力集度qx为常数时，有为常数时，有 112)()(1lqdx

13、qxxxxlFxxijxxeqjix（5-11）式（式（5-11）概念是将分布力引起的合力按静力等效原则分）概念是将分布力引起的合力按静力等效原则分配到单元节点上。由于位移模式是线性函数，因此配到单元节点上。由于位移模式是线性函数，因此按公式按公式（5-11）计算结果与静力等效分配是一致的）计算结果与静力等效分配是一致的。 (5) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 单元坐标单元刚度矩阵仍式（单元坐标单元刚度矩阵仍式（2-33）推出）推出 dvBDBkvTe（2-33）对于等截面铰接杆单元，对于等截面铰接杆单元，dv=Adx，A 单元截面面积。单元截面面积。有有 dxBDBAkvTe将式

14、（将式（5-8）代入上式，代入上式，得得 1111lAEke（5-12） 111lBBBji（5-8）2、平面铰结杆单元、平面铰结杆单元 1 2 3 4ijxy图图5-5l（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量 4321e（2）位移模式和形函数）位移模式和形函数由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（由于平面铰接杆单元只有轴向力。位移模式同式（5-3）、）、（5-4）。）。 形函数形函数0)(0)(1xxxxlNNNijji（5-13）（3）应变矩阵）应变矩阵 位移模式位移模式eB（5-7）应变矩阵应变矩阵 B为为01011lBBBji（5-14）（4）应力矩阵）应力矩阵eeSB

15、E（5-9）应力矩阵应力矩阵 S为为0101lES（5-15）(5) 等价节点力等价节点力 010120)(0)(1qlqdxxxxxlFijxxeqji（5-16） (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰结杆单元对于等截面铰结杆单元0000010100000101lAEke（5-17）ijxylz3、空间铰接杆单元、空间铰接杆单元（1）单元坐标单元位移向量）单元坐标单元位移向量图图5-6 1 2 4 5 3 6 Te654321（5-18）（2）形函数）形函数00)(00)(1xxxxlNij（5-19）（3）应变矩阵）应变矩阵（5-20）0010011lB（4）应力

16、矩阵）应力矩阵 001001lES（5-21） (5) 等价节点力等价节点力 TeqlF0010012（5-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元对于等截面铰接杆单元（5-23）000000000000001001000000000000001001lAEke5.4 梁单元梁单元 1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元图图5-7ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）单元坐标下的单元位移和单元力）单元坐标下的单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjiiTevv4321（5-24）其中：其中： vy方向位移，

17、即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。对于梁对于梁： =dv/dx （5-25） 单元力单元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（5-26）其中，其中， Q剪力剪力 M弯矩弯矩对于梁：对于梁：（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数设单元坐标位移模式为设单元坐标位移模式为342321)(xaxaxaaxv（5-28） 位移模式位移模式 形函数形函数由单元两端点的节点位移条件，解出式（由单元两端点的节点位移条件，解出式（5-28）中的）中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：。再代入该式，可将位移模式写为以下形式： 3322dxvdEIQdxvdEIM（5

18、-27）eNxv)(（5-29）式中式中4321NNNNN （5-30）232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（5-31）（3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 b与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之间由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：关系为： 22dxvdyb（5-32）将式（将式（5-29）代入（）代入（5-32），得单元弯曲应变和单元位移），得单元弯曲应变和单元位移之间关系之间关系（5-34） )26()612()46(

19、)612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（5-33） （4）应力矩阵）应力矩阵 eebbSBEE（5-35） (5) 等价节点力等价节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里考虑的是把单元上的横向分布载荷转化为等价节这里考虑的是把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题。当梁单元上作用有横向分布荷载点力问题。当梁单元上作用有横向分布荷载qy(x)时（图时（图5-8），），xyijl图图5-8qy(x)图图5-9lxyijqy(

20、x)ijxdxv(x)qy (x)dx横向分布荷载横向分布荷载qy(x)的势能的势能Vq为：为：dxxqNdxxqxvVlyTeTlyS)()()( eqeTyF（5-36） dxxqNFyTleqy)(0形函数矩阵由式（形函数矩阵由式（5-30）和（）和（5-31）给出。对于具体问题，）给出。对于具体问题，只要将只要将qy(x)代入上式进行积分即可。代入上式进行积分即可。表表1给出了几种特殊情给出了几种特殊情况的等价节点力况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5

21、ql2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力 表表 1 (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为将式（将式（5-34）代入上式进行积分，并注意到）代入上式进行积分，并注意到Iz梁截面对梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵得单元坐标单元刚度矩阵ke:AzdAyI2（5-37） dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 单元刚度矩阵式单元刚度矩阵式(5-38)适合于连续梁分析。适合于连续梁分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

22、EIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223（5-38）2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4图图5-10（1）单元坐标单元位移和单元力）单元坐标单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjjiiiTevuvu654321（5-39）其中：其中： ux方向（轴向）位移。方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（5-4

23、0）其中：其中： N轴向力轴向力 Q剪力剪力 M弯矩弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按影响，因此，位移模式和形函数可以分别按5.3节一维铰结节一维铰结杆单元和杆单元和5.4节两端承受剪力、弯矩的平面梁单元的结果节两端承受剪力、弯矩的平面梁单元的结果（式（式5-3和式和式5-28）简单集合而成。）简单集合而成。（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数 位移模式位移模式（5-41）342321xaxaxaavxaau21 以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路推演以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路

24、推演。 形函数形函数式中形函数式中形函数N为：为： eNvuf（5-42） 653241000000NNNNNNN（5-43）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中：其中：（3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 与节点位移与节点位移e的关系的关系承受轴向力、剪力、弯矩的梁单元上任一点的应变，应为承受轴向力、剪力、弯矩的梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（）引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之）引起的应变之和。和。考虑

25、到式（考虑到式（5-8）和（）和（5-34），单元应变矩阵为：），单元应变矩阵为：eB654321BBBBBBB （5-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（5-45）(5) 等价节点力等价节点力 xyijl图图5-11qy(x) （4）应力矩阵）应力矩阵 eeSBEE（5-46）应力矩阵形式同式（应力矩阵形式同式（5-35）：）：qx将式（将式（5-36）、（）、（5-11）膨胀成）膨胀成61矩阵后相加，并注意矩阵后相加，并注意到式（到式（5-43），有），有（5-36） dxxqNFyTleqy)(0dxqNNd

26、xxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00jieuu（5-11）最后得等价节点力矩阵最后得等价节点力矩阵dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321（5-47）表表2给出了几种特殊情况的等价节点力。给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布NiQiMiNjQjMj几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力 表表 22lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2l

27、qx2lqx (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323（5-48）式式(5-48)用于分析平面框架。用于分析平面框架。3、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元图图5-12ijlxyz 1 2 4 5 3 6F1F2F4F5F3F6ijlxyz 1 2

28、3 4 5 6F1F2F3F4F5F6 xi yiwi xj yjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj 此类单元适用于格栅以及受面外荷载的平面框架此类单元适用于格栅以及受面外荷载的平面框架, 之所之所以仍称为平面梁单元，是由于结构本身是平面结构，而节以仍称为平面梁单元，是由于结构本身是平面结构，而节点也是点也是3个自由度。个自由度。 x、Mx截面绕扭心轴的扭转角和相应扭矩。截面绕扭心轴的扭转角和相应扭矩。 y、My截面绕截面绕y轴的弯曲转角和相应弯矩。轴的弯曲转角和相应弯矩。 w、Q截面形心的横向位移和相应横向剪力。截面形心的横向位移和相应横向剪力。 如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转

29、之间是相如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。例如，横向剪力不通过扭心，它会引起对扭互不独立的。例如，横向剪力不通过扭心，它会引起对扭心轴的扭矩。心轴的扭矩。 这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形。则弯曲和扭转之间是相互独立的。的情形。则弯曲和扭转之间是相互独立的。 此外，这里的扭转限于纯扭转或称均匀扭转。其特点此外，这里的扭转限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即lGJMxixjxj（5-49）扭矩平衡条件扭矩平衡条件0 x

30、jxiMM（5-50）由此得由此得)()(xjxixjxjxixilGJMlGJM（5-51）式中式中GJ为截面扭转刚度。为截面扭转刚度。只需要将式（只需要将式（5-48）中的）中的Iz换成换成Iy，并注意编号次序。同，并注意编号次序。同时考虑到式（时考虑到式（5-51），即得），即得323222323222126012606406200000126012606206400000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJkyyyyyyyyyyyyyyyye（5-52） 4、空间梁单元、空间梁单元 空间梁单元，每个节点

31、有空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为个自由度，单元自由度为12。图图5-13给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。单元力的正向及其编号与单元位移相同。ijlxyzui xivi yiwi zivj yjwj zjuj xj图图5-13aijlxyz142536811912710图图5-13b 综合前述结果，得空间梁单元单元坐标单元刚度矩阵综合前述结果，得空间梁单元单元坐标单元刚度矩阵(式式5-53）（式）（式5-57）。）。 4321kkkkke（5-53）lEIlEIlEIlEIlGJlEI

32、lEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223231（5-54）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223232（5-55）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223233（5-56）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz400060040600000

33、0006012006000120000002223234（5-57）5.5 单元特性在两类坐标系中的转换单元特性在两类坐标系中的转换 在在5.3、5.4节中，单元位移和单元力都是按单元坐标节中，单元位移和单元力都是按单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单元坐标单元刚度矩阵。元坐标单元刚度矩阵。 进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。因此，的分量表示出来，以便建立节点平衡方程。因此，在进行在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力以

34、及单元刚系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去度矩阵都转换到结构坐标系中去。此外，还需要把结构坐。此外，还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内力。因此了解坐标变换是必要的。力。因此了解坐标变换是必要的。 设设XYZ为结构坐标（整体）系，为结构坐标（整体）系，xyz为单元（局部）为单元（局部）坐标系，坐标系，约定下列符号：约定下列符号： 结构坐标单元位移结构坐标单元位移 F 结构坐标单元力结构坐标单元力 k结构坐标单元刚度矩阵结构坐标单元刚度矩阵1、坐标变换矩阵定义、坐标变换矩阵定

35、义 把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号阵定义为坐标变换矩阵，用符号R表示表示。有。有继续使用前单元坐标中的符号：继续使用前单元坐标中的符号：e单元坐标单元位移单元坐标单元位移 F e单元坐标单元力单元坐标单元力 ke单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 式（式（5-58）给出了结构坐标单元位移转换为单元坐标）给出了结构坐标单元位移转换为单元坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵R的定义式。的定义式。 本节只了解本节只了解R的存在和概念，有关坐标变换矩阵的存在和概念，有

36、关坐标变换矩阵R 的具的具体形式、内容留在体形式、内容留在5.6节中专门讨论。节中专门讨论。2、结构坐标单元力、结构坐标单元力 单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而变。则有变。则有 TeTeFF)( Re（5-58）将式（将式（5-58）代入，）代入， TTeFRF)(对上式两端进行转置，注意到对上式两端进行转置，注意到TTTABBA消去消去，得，得 TTeFRF)(即得即得 eTFRF （5-59）式（式（5-59）表明：）表明：结构坐标单元力等于单元坐标单元力前结构坐标单元力等于单元坐标单元力前乘坐标变换矩阵的转置。乘坐标变换矩阵的转

37、置。 必须指出：式（必须指出：式（5-58）是从整体（结构）坐标系到局）是从整体（结构）坐标系到局部（单元）坐标系的变换式；式（部（单元）坐标系的变换式；式（5-59）是从局部（单元）是从局部（单元）坐标系到整体（结构）坐标系的变换式。坐标系到整体（结构）坐标系的变换式。在单元坐标系中，有在单元坐标系中，有 eeekF3、结构坐标单元刚度矩阵、结构坐标单元刚度矩阵上式两端左乘上式两端左乘RT eeTeTkRFR注意到式（注意到式（5-58）、（）、（5-59），有），有 Re（5-58） eTFRF （5-59） RkRFeT kF k结构坐标单元刚度矩阵。并有结构坐标单元刚度矩阵。并有 Rk

38、RkeT（5-60） 式（式（5-60）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结构坐标单元刚度矩阵的转换式。构坐标单元刚度矩阵的转换式。?5.6 坐标变换矩阵坐标变换矩阵坐标变换矩阵因单元类型不同而异。坐标变换矩阵因单元类型不同而异。1、平面铰接杆单元、平面铰接杆单元 设设OXY为结构坐标，为结构坐标，oxy为单元坐标。为单元坐标。 为任意单元为任意单元 i 端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为 X、 Y；在单；在单元坐标系中的分量为元坐标系中的分量为 x、 y。 X、 Y 在单元坐标在单元坐标x轴上投影轴上投影的代数和

39、给出的代数和给出 x 。同理，。同理， X、 Y 在单元坐标在单元坐标y轴上投影的代轴上投影的代数和给出数和给出 y 。由图由图5-14得：得：XYxy X Y x yi图图5-14cossinsincosYXyYXx（5-61） 写成矩阵形式，写成矩阵形式，YXyxcossinsincos取取ejjeiivuvu,得得jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos Re（5-58）上式可写成上式可写成 Re坐标变换矩阵坐标变换矩阵R的具体内容为：的具体内容为：用节点坐标描述方向余弦：用节点坐标描述方向余弦：（5-62） cossin00sincos0000cossin00sincosRlYYlXXijijsin,cos（5-62a）式中，（式中，（Xi，Yi）和（）和（Xj，Yj）分别为节点）分别为节点i和节点和节点j在结在结构坐标系中的坐标值。构坐标系中的坐标值。2、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元 如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标取得一致。此时，无须进行坐标变换。结构坐标取