第5章 IIR数字滤波器的设计

1、2第第5章章 IIR数字数字滤波器的设计滤波器的设计5.1 引言引言5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法5.4 双线性变换法双线性变换法5.5 数字高通、带通及带阻滤波器的设计数字高通、带通及带阻滤波器的设计5.6 IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法5.7本章涉及的本章涉及的MATLAB函数函数35.1 引言引言 滤波器滤波器，顾名思义，是，顾名思义，是指能够使输入信号中某些频率分指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。 根据对不同信号的处理，滤波

2、器可分为：根据对不同信号的处理，滤波器可分为：p模拟滤波器模拟滤波器由硬件电路来实现；由硬件电路来实现；RCRR1RFC+-+p数字滤波器数字滤波器把输入序列通过一定的运算变换成所要求把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。 45.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类1.经典滤波器和现代滤波器经典滤波器和现代滤波器p经典滤波器经典滤波器 信号中有用和无用成分，各自占有不同的频带，通过一信号中有用和无用成分，各自占有不同的频带，通过一个线性系统可将个线性系统可将v(n)有效去除。有效去除。)()()( jjjeHeX

3、eY 加法性噪声加法性噪声)()()(nvnsnx 5p现代滤波器现代滤波器 信号和噪声频谱占据同一频段信号和噪声频谱占据同一频段，靠经典的滤波方法难以，靠经典的滤波方法难以去除噪声。去除噪声。 目标：目标：是是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特征或信号本身。征或信号本身。 种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器。滤波器。乘法性噪声乘法性噪声)()()(nvnsnx 卷积性噪声卷积性噪声)(*)()(nvnsnx 62.IIR和和FIR滤波器滤波器 线性时不变系统的系统函数线性时不变系

4、统的系统函数若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均为零，则均为零，则其其z反变换反变换 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 长度为长度为M+1的有限长序列的有限长序列 7 此时的系统称为有限长单位脉冲响应（此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，Finite Impulse Response）系统。）系统。 反之，反之，h(n)是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响应（应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。）系统。3. .低通、高通、带通、带阻滤

5、波器低通、高通、带通、带阻滤波器 从功能上，数字滤波器可分为低通从功能上，数字滤波器可分为低通（LP，Low Pass）、高通（）、高通（HP，High Pass）、带通（）、带通（BP，Band Pass）和带阻（和带阻（BS，Band Stop）四种类型。）四种类型。8pAFpDF注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别 数字滤波器的频率响应都是以数字滤波器的频率响应都是以2为周期的，滤波器的为周期的，滤波器的低通频带处于低通频带处于2的整数倍处，而高频频带处于的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍的奇数倍附近。附近。95.1.2 性能指标描述性能指标描述 滤波器的

6、指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般为复函数，表示为为复函数，表示为其中，其中， 称为称为幅频响应幅频响应， 称为称为相频响应相频响应。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 101.1.低通滤波器的性能指标低通滤波器的性能指标 通带截止频率通带截止频率 阻带截止频率阻带截止频率 通带通带 阻带阻带p s 1| )(|1j1eH2j| )(| eH通带通带（允许的允许的）最大衰减最大衰减| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|1lg201lg20s2sjeH阻带阻带（应达到的应达到的）最小衰减最小衰减均匀过

7、渡均匀过渡11 （1 1）通带下限、上限截止频率）通带下限、上限截止频率 、 ；（2 2）阻带截止频率（）阻带截止频率（ 、 ）；）；（3 3）通带频率处的衰减）通带频率处的衰减 和阻带频率处的衰减和阻带频率处的衰减 。2.2.带通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标p1均匀过渡均匀过渡p2s1s2ps125.1.3 设计方法设计方法 设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤：设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤： 1. 确定所设计滤波器的技术指标。确定所设计滤波器的技术指标。 2.设计一个设计一个H(z)，使，使 3.用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。用一个有限精度的算法去实现这个系统

8、函数。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH满足给定的满足给定的技术要求技术要求没有考虑相位没有考虑相位（1）零极点位置累试）零极点位置累试（2）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论（3）最优化设计）最优化设计数字数字IIR滤波器设计的具体步骤：滤波器设计的具体步骤：给定数字滤波器的技术指标给定数字滤波器的技术指标 （更多）（更多）spsp, 转换成模拟滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）（更多）spsp, 转换成模拟转换成模拟低通低通滤波器的技术指标滤波器的技术指标 得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器得到模拟低通、高通、带通

9、、带阻滤波器得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器spsp, 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 )(pG)(sH)z(H归一化归一化（原型原型）滤波器滤波器14第第5章章 IIR数字数字滤波器的设计滤波器的设计5.1 引言引言5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法5.4 双线性变换法双线性变换法5.5 数字高通、带通及带阻滤波器的设计数字高通、带通及带阻滤波器的设计5.6 IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法5.7本章涉及的本章涉及的MATLAB函数函数155.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 1.

10、.为何要设计模拟低通滤波器？为何要设计模拟低通滤波器？ 由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。 2.常用的模拟滤波器常用的模拟滤波器 （1）巴特沃斯（）巴特沃斯（Butterworth）滤波器）滤波器 通带具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢。通带具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢。01234-40-20001234-50516 （2）切

11、比雪夫（）切比雪夫（Chebyshev）滤波器）滤波器 能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。 （3）椭圆（）椭圆（Ellipse）滤波器）滤波器 通带和阻带等波纹。通带和阻带等波纹。01234-40-20001234-50501234-80-60-40-20001234-50517 （4）贝塞尔（）贝塞尔（Bessel）滤波器）滤波器 着重相频响应，着重相频响应，通带内有较好的线性相位通带内有较好的线性相位。01234-40-30-20-10001234-50518 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数 来表来表示，即示，即由于滤波器

12、冲激响应由于滤波器冲激响应 是实函数，因而是实函数，因而 具有共轭具有共轭对称性对称性 ，所以，所以 由于由于Ha(s) 的零、极点共轭成对出现，的零、极点共轭成对出现，Ha(s)Ha(-s)的零、极点必成的零、极点必成象限对称象限对称。5.2.1 由幅度平方函数来确定传输函数由幅度平方函数来确定传输函数2| )(| jHa)()(| )(|*aa2a jHjHjH)()(a*a jHjH jssHsHjHjHjH| )()()()(| )(|aaaa2a)(a jH)(tha19 由由 确定确定Ha(s) 的方法的方法 1）由）由 得到象限对称的得到象限对称的s平面函数；平面函数； 2）将将

13、 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各个零点和极点；因式分解，得到各个零点和极点； 极点选择极点选择：为稳定，选择左半平面的极点作为：为稳定，选择左半平面的极点作为Ha(s)的的极点，右半平面作为极点，右半平面作为Ha(-s)的极点；的极点； 零点选择零点选择：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半分配给分配给Ha(s)；如果要求最小相位延时特性，则；如果要求最小相位延时特性，则Ha(s)的零点的零点取左半平面。取左半平面。 3）按照按照 与与Ha(s)的低频特性的对比，或高频特性的低频特性的对比，或高频特性的对比，确定出增益常数的对比，确定出增益常数K

14、0； 2| )(| jHa)()(| )(|aa2a22sHsHjHs )( jHa20 4）由）由zeros、poles、K0 得得 例例5-1 给定滤波器的幅度平方函数给定滤波器的幅度平方函数 求具有最小相位特性的传输函数求具有最小相位特性的传输函数 。 )()()()()(n10m100pspspszszszsKsHa )9)(4()1(4| )(|22222 jHa)(sHa21 解：解：由于由于 是非负有理函数，它在是非负有理函数，它在j轴上的零轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，将点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，将 代代入入 的表达式，可得的表达式，可得其极点为

15、其极点为 ， ；零点为；零点为 （皆为二阶，位于虚（皆为二阶，位于虚轴上）轴上） 为了系统稳定，选择左半平面极点为了系统稳定，选择左半平面极点s=2，s=3及一对虚及一对虚轴轴共轭零点共轭零点s=j作为的零、极点，并设增益常数为作为的零、极点，并设增益常数为K0，则则2| )(| jHajs/ 2| )(| jHa)3)(3)(2)(2()1()9)(4()1()()(222222 sssssssssHsHaa2 s3 sjs 22 按照按照 和和 的低频特性或高频特性的对比可以的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由

16、的条件可得增益常数的条件可得增益常数 ，因此，因此)3)(2(1)(20 sssKsHa)(sHa)( jHa00| )(| )( jHsHasa20 K)3)(2(22)(2 ssssHa235.2.2 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器1.表达式表达式( (幅度平方函数幅度平方函数) ) 3dB截止频率截止频率 在在=0=0处有最平响应。处有最平响应。NNjH2p22c2a)/(11)/(11| )(| c N：滤波器的阶次：滤波器的阶次2/1)( cajHdBjHca3)(lg20 24N越大，通带和阻带的近似性越好。越大，通带和阻带的近似性越好。（归归一一化化）；，当当对对于于所所有

17、有的的1)(0,)12 jHNa；，当当对对于于所所有有的的2/1)(,)22 jHNac是是单单调调减减函函数数；2)()3 jHa趋趋近近于于理理想想滤滤波波器器；2)(,)4 jHna的的最最大大值值。，因因此此，此此点点上上得得到到都都等等于于阶阶），直直到到各各阶阶导导数数（对对处处222)(01)(,0)5 jHNjHaa25；接接近近于于，使使趋趋近近于于则则通通带带内内1)(0, 122 jHaNcc骤骤然然下下降降；，从从而而远远大大于于则则阻阻带带内内22)(1, 1 jHaNcc26 2.求求和和N 1）p，p 2） s，s N)1lg(10)/(11lg10| )(|l

18、g102222a NppjH1101 . 0 p )/(1lg102ps2sN ps21 . 0/lg2110lgs N（若若p=3dB，=1）27 3. .由由 求求Ha(s) 令令 ，归一化变量归一化变量求极点，令求极点，令 k = 0，1，2N-1 2| )(| jHaNNjsNssHsH2p2/2p2aa)/()1(11)/(11)()( jssHsHjH| )()(| )(|aa2ap spNNppHpH22aa)1(11)()( 0)1(122 NNp NkjjNkeep2)12(21 28选取左半平面的极点作为选取左半平面的极点作为Ha(p) 的极点的极点 k = 0，1，N-1

19、把把 代入代入Ha(p) 得到实际的得到实际的Ha(s) 步骤步骤： 求求；求求N；求求Ha(p) ；NkjjNkeep2)12(21 )()(1)(1N10a pppppppHp sp)()(| )()(p1Np1p0Npaap pspspspHsHspp| )()(aa sppHsH29例例5-2 设计一个巴特沃斯设计一个巴特沃斯LPF，kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 3031一般以一般以 为为参考频率进行参考频率进行归一化归一化4.巴特沃思滤波器的图表法设计巴特沃思滤波器的图表法设计（1）将）将 、 进行归一化处理，得到进行归一化处理，得到 、（2）由图）由图5-5，

20、得阶数，得阶数Np s p s 1ppp 1pss 00.20.40.60.81-3-2.5-2-1.5-1-0.50246810-100-80-60-40-200通通带带内内衰衰减减阻阻带带内内衰衰减减c 32（3）查表，得）查表，得H(p)的分母多项式的分母多项式33（4）去归一化）去归一化例例5-3 利用图表法设计例利用图表法设计例5-2所述的巴特沃斯滤波器。所述的巴特沃斯滤波器。csppHsH /| )()(345.巴特沃思滤波器的巴特沃思滤波器的MATLAB实现实现 在在MATLAB信号处理工具箱中，与信号处理工具箱中，与Butterworth滤波器滤波器相关的有三个函数：相关的有三

21、个函数： （1）n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出给定通带，求出给定通带截止频率截止频率wp、阻带截止频率、阻带截止频率ws、通带最大衰减、通带最大衰减Rp、阻带最、阻带最小衰减小衰减Rs条件下，所需要的最小条件下，所需要的最小Butterworth模拟滤波器阶模拟滤波器阶数数n和和3dB截止频率截止频率wn。 （2）模拟低通原型滤波器设计函数）模拟低通原型滤波器设计函数buttap，调用格式，调用格式为为z,p,k=buttap(n)，其中参数，其中参数z、p、k分别为滤波器的零分别为滤波器的零点、极点和增益。点、极点和增益。35 （3）Butterworth滤波器

22、完全设计函数，调用格式为滤波器完全设计函数，调用格式为b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中，其中ftype为滤波器类型，为滤波器类型，缺省时表示低通或带通滤波器。缺省时表示低通或带通滤波器。b、a分别为滤波器传输函数分别为滤波器传输函数分子、分母多项式系数向量。分子、分母多项式系数向量。 例例5-4 利用利用MATLAB实现下述巴特沃斯实现下述巴特沃斯滤波器。滤波器。 解解 MATLAB实现程序如下：实现程序如下：wp=1; ws=2; Rp=3; Rs=20;%计算满足性能指标的滤波器阶数计算满足性能指标的滤波器阶数n和和3dB截止频率截止频率wnn,wn=buttord(

23、wp,ws,Rp,Rs,s)kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 36%设计模拟低通原型滤波器，传输函数为零点、极点和增益设计模拟低通原型滤波器，传输函数为零点、极点和增益形式形式z,p,k=buttap(n) %采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、分母多项式形式分母多项式形式b,a=butter(n,wn,s)%求模拟滤波器的频率响应求模拟滤波器的频率响应db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws);%绘图绘图plot(w,db,k);axis(0,2*ws,-50,1);grid on;37仿真曲

24、线仿真曲线kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 38p课后作业课后作业p设计一个模拟巴特沃思低通滤波器，通带截止频设计一个模拟巴特沃思低通滤波器，通带截止频率率750Hz，通带内衰减不大于，通带内衰减不大于 3dB，阻带最低频，阻带最低频率为率为 1600Hz，阻带内衰减不小于，阻带内衰减不小于 7dB。391 1、切比雪夫滤波器（、切比雪夫滤波器（chebyshev）IIII型型: :阻带内有起伏纹波，通带内单调逼近。阻带内有起伏纹波，通带内单调逼近。型型: :通带内有起伏纹波，阻带内单调逼近通带内有起伏纹波，阻带内单调逼近 下图画出阶数下图画出阶数N为奇数与偶数为奇数与偶数时

25、的切比雪夫时的切比雪夫型滤波器幅频特性。型滤波器幅频特性。二、切比雪夫滤波器的设计方法二、切比雪夫滤波器的设计方法40其幅度平方函数用其幅度平方函数用表示：表示：2)( jHn)(11)(222pNnjjCjH )(11)(222 NnCjH 归归一一化化令令通通带带截截频频率率; 1 p：纹波系数，表示通带内幅度波动大小。：纹波系数，表示通带内幅度波动大小。之之间间波波动动范范围围在在波波动动达达到到半半功功率率点点，没没有有波波动动；1111:02 41)x()x(2x)x(3x4x)x(12x)x(x)x(1)x(1NN1N332210 CCCCCCC阶阶切切比比雪雪夫夫多多项项式式：N

26、CN)( 阻阻带带通通带带, 1)(, 1)coscos()(11xxNchchxxNxCN42p右图示出了阶右图示出了阶N=0,4,5=0,4,5时的切时的切比雪夫多项式特性。比雪夫多项式特性。p由图可见：由图可见： (1)(1)切比雪夫多项式的过零点切比雪夫多项式的过零点在在|x|1|x|1的范围内；的范围内； (2)(2)当当|x|1|x|1时，时，| |CN(x)|1,(x)|1,在在|x|1|x|1|x|1时，时，CN(x)(x)是双曲是双曲线函数，随线函数，随x x单调上升。单调上升。 N=0,4,5=0,4,5切比雪夫多项式曲线切比雪夫多项式曲线432 2、切比雪夫滤波器（、切比

27、雪夫滤波器（chebyshev）特点：）特点：1 1）切比雪夫）切比雪夫I I型通带内等幅波动，阻带内单调下降型通带内等幅波动，阻带内单调下降;12sA 频频率率处处的的频频率率称称为为阻阻带带截截止止幅幅度度减减少少为为:0)2处处零零频频 为为偶偶数数为为奇奇数数NNCN10)0(2:处处c 1)1(2 NCdB3处幅度下降不一定是处幅度下降不一定是这里这里：与巴特沃斯滤波器比较与巴特沃斯滤波器比较c 1)(1)coscos()(11xxNchchxxNxCN44 为为偶偶数数为为奇奇数数振振幅幅平平方方函函数数NNHn22111)0( 2211)( cnH例例5-5书本设计一切比雪夫滤波

28、器书本设计一切比雪夫滤波器45dBsradsaddB20/523/r40221处处的的衰衰减减大大于于）阻阻带带）通通带带截截止止频频率率为为于于）通通带带内内纹纹波波起起伏伏不不大大，满满足足如如下下指指标标：设设计计一一切切比比雪雪夫夫滤滤波波器器46%滤波器性能指标滤波器性能指标wp=40;ws=52;Ap=2,As=20;%设计滤波器设计滤波器N,wc=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,s);num,den=cheby1(N,Ap,wc,s);fprintf(order of the filter =%.on,N);disp(Numberator polynomial);fpr

29、intf(%.4en,num);disp(Denominator polynomial);fprintf(%.4en,den);%计算计算Ap，As及增益响应及增益响应omega1=linspace(0,wp,500);omega2=linspace(wp,ws,200);omega3=linspace(ws,100,500);h1=20*log10(abs(freqs(num,den,omega1);h2=20*log10(abs(freqs(num,den,omega2);h3=20*log10(abs(freqs(num,den,omega3);fprintf(Ap=%.fn,max(-

30、h1);fprintf(As=%.fn,min(-h3);plot(omega1 omega2 omega3,h1,h2,h3);grid;xlabel(frequency in Hz);ylabel(Gain in dB)47 N = 5 wc =40num = 1.0e+006 * 0 0 0 0 0 8.3684 den = 1.0e+006 * 0.0000 0.0000 0.0024 0.0444 1.1759 8.368448三、椭圆滤波器（考尔滤波器）三、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：通带和阻带都具有等纹波的振幅特性。特点：通带和阻带都具有等纹波的振幅特性。 零极点模型零极点模型

31、一一般般是是椭椭圆圆函函数数。)()(11)(2222 NNnEEjH 原原型型平平方方幅幅频频响响应应为为：椭椭圆圆滤滤波波器器归归一一化化后后的的应应如如下下：三三阶阶椭椭圆圆滤滤波波器器幅幅频频响响49)05. 133. 0)(67. 0(05. 2)(223 sssssH j)( jH1p 1p s s 50%滤波器性能指标滤波器性能指标wp=2*pi*1000;ws=2*pi*3000;Ap=1,As=50;%设计滤波器设计滤波器N,wc=ellipord(wp,ws,Ap,As,s);num,den=ellip(N,Ap,As,wc,s);fprintf(order of the

32、filter =%.on,N);disp(Numberator polynomial);fprintf(%.4en,num);disp(Denominator polynomial);fprintf(%.4en,den);例例: :利用模拟椭圆滤波器设计一个满足下列指利用模拟椭圆滤波器设计一个满足下列指标的模拟低通滤波器。标的模拟低通滤波器。fp=1kHz=1kHz，fs=3kHz=3kHz，Ap=1dB=50dB=50dB%计算计算Ap，As及增益响应及增益响应omega1=linspace(0,wp,500);omega2=linspace(wp,ws,200);omega3=linspa

33、ce(ws,5*2*pi*1000,500);h1=20*log10(abs(freqs(num,den,omega1);h2=20*log10(abs(freqs(num,den,omega2);h3=20*log10(abs(freqs(num,den,omega3);fprintf(Ap=%.fn,max(-h1);fprintf(As=%.fn,min(-h3);plot(omega1 omega2 omega3/(2*pi),h1,h2,h3);grid;xlabel(frequency in Hz);ylabel(Gain in dB)51 Denominator polynomi

34、al 1.0000e+000 5.9359e+003 5.8689e+007 1.9320e+011 5.0195e+014 Ap=1 As=51order of the filter =4 Numberator polynomial 3.1615e-003 1.2233e-014 3.2366e+006 3.5680e-005 4.4736e+014520500100015002000250030003500400045005000-120-100-80-60-40-20020frequency in HzGain in dB53四、小结：四、小结：切比雪夫滤波器的误差在通带内是起伏分布；切

35、比雪夫滤波器的误差在通带内是起伏分布；1）巴特沃斯滤波器的误差在通带内是单调增加）巴特沃斯滤波器的误差在通带内是单调增加椭圆滤波器的误差在通带和阻带内均是起伏分布椭圆滤波器的误差在通带和阻带内均是起伏分布2）过渡带指标给定：椭圆滤波器阶次最低，切）过渡带指标给定：椭圆滤波器阶次最低，切 比雪夫次之，巴特沃斯最高。比雪夫次之，巴特沃斯最高。3）同阶次滤波器，椭圆滤波器过渡带最陡。）同阶次滤波器，椭圆滤波器过渡带最陡。4）参数灵敏度：椭圆滤波器过渡带最灵敏，切）参数灵敏度：椭圆滤波器过渡带最灵敏，切 比雪夫次之，巴特沃斯最高。比雪夫次之，巴特沃斯最高。5）工作量：椭圆滤波器最大，切比雪夫次之，巴）

36、工作量：椭圆滤波器最大，切比雪夫次之，巴 特沃斯最小。特沃斯最小。6）椭圆滤波器零极点设计，切比雪夫、巴特沃斯）椭圆滤波器零极点设计，切比雪夫、巴特沃斯 零极点设计零极点设计545.3脉冲响应不变法脉冲响应不变法55一、由模拟滤波器设计一、由模拟滤波器设计IIRDF步骤：步骤：1 1、把要求的、把要求的LPDF、HPDF、BPDF、BSDF的特征的特征 频率参数转换为模拟滤波器低通原型参数。频率参数转换为模拟滤波器低通原型参数。2 2、用模拟域逼近的方法获得巴特沃斯、切比雪夫、用模拟域逼近的方法获得巴特沃斯、切比雪夫、 椭圆滤波器的传递函数椭圆滤波器的传递函数Ha(s)。3 3、通过、通过s

37、s域到域到z z域的频率变换，由域的频率变换，由Ha(s)求出求出Hn(z) 。4 4、利用数字域的频率变换，由、利用数字域的频率变换，由Hn(z) 求出所需要的求出所需要的 数字低通、高通、带通、带阻滤波器的数字低通、高通、带通、带阻滤波器的H(z) 。 NkkkMrrrnnzazbznhzH1101)()(5.3.0 5.3.0 引言引言56二、由二、由Ha(s)转换为转换为Hn(z) 遵循原则遵循原则1 1、Hn(z)的频响必须要模仿的频响必须要模仿Ha(s)频响。频响。 即：即：s平面的虚轴平面的虚轴j映射到映射到z平面的单位圆上平面的单位圆上。2 2、 Ha(s)的因果稳定性，通过映

38、射后的因果稳定性，通过映射后Hn(z)的因果的因果 稳定性保持不变。稳定性保持不变。 即：即：s平面的左半平面映射到到平面的左半平面映射到到z平面的单位圆内平面的单位圆内。三种方法三种方法: :1 1）冲激响应不变法）冲激响应不变法2 2）阶跃响应不变法）阶跃响应不变法3 3）双线性变换法）双线性变换法575.3.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法（标准（标准z z变换法）变换法）1 1、变换原理：使数字滤波器的单位冲激响应、变换原理：使数字滤波器的单位冲激响应h(n)模模仿模拟滤波器的冲激响应仿模拟滤波器的冲激响应h(t), ,h(n)为为h(t)的采样值。的采样值。)()()()()(1zH

39、nhnThthsHnZaaaLa 抽抽样样Ha(s)中只有单极点时的一般情形：中只有单极点时的一般情形： NiiiNikkMrrrassAscsdsH101)( NitsiatueAthi1)()( NinTsianTueAnhi1)()( NiTsinzeAzHi111)(58 例例5-9 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器变换为数字滤波器 ，采样周期，采样周期 。 解：模拟滤波器的传输函数解：模拟滤波器的传输函数极点：极点： ， 。 因此，所求数字滤波器的系统函数为因此，所求数字滤波器的系统函数为2332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T

40、21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH59 目的：目的：研究研究h(n)的的z变换与变换与ha(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换之间的关系之间的关系 设模拟滤波器的单位冲激响应设模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)经理想采样经理想采样后的采样信号为后的采样信号为则则2对脉冲响应不变法的进一步讨论对脉冲响应不变法的进一步讨论)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh 比较序列比较序列h(n)的的Z变换

41、变换 ,可得可得 nnnhHz )()z()(| )z(azsTsHHe 60 由于由于 ，将，将 代代入，得入，得因此因此 ksaajkjHTjH)(1)( js ksaajksHTsH)(1)( kejksHTHsT)(1| )z(saz)z(| )(1zln1saHjksHTTsk s与与z的的关系关系或或时域采样定理时域采样定理H(z)与与Ha(s)的周期延拓建立了关联！的周期延拓建立了关联！613s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系 令令 ， ，得，得因此因此讨论：讨论：（1）=0，r=1，表明，表明s平面平面虚轴虚轴映射为映射为z平面的平面的单单位圆位圆。 jre z js

42、 TjTjeere Ter T sTe z62讨论：讨论：（2）0，r0，r1。表明。表明s左半平面左半平面映射映射为为z平面的平面的单位圆内部单位圆内部，而，而s右半平面右半平面则映射为则映射为z平平面面单位圆外部单位圆外部。Ter T 63讨论：讨论：（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 Ter T s平面上每一条宽为平面上每一条宽为2/T的横条，都将重叠的的横条，都将重叠的映射到整个映射到整个z平面上。平面上。脉冲响应不变法不是从脉冲响应不变法不是从s平面平面到到z平面的简单代数映射关系。平面的简单代数映射关系。 644频率混叠效应频率混叠效应 根据时域采样理论，采样序列根据时域采样理

43、论，采样序列h(n)的的z变换与模变换与模拟信号拟信号ha(t)的拉普拉斯变换之间满足如下关系的拉普拉斯变换之间满足如下关系 将将 和和 代入得数字滤波器的频率响应代入得数字滤波器的频率响应 数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓。拓。 maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)(| )( jsT kajkTjTjHTeH)2(1)( 与时域采样定理吻合！与时域采样定理吻合！65图图5-11 脉冲响应不变法中的频率混叠现象脉冲响应不变法中的频率混叠现象66 只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于折叠频率以内

44、，即折叠频率以内，即有有 此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。的频率响应而不产生混叠失真。TjHa | ,0)(TTjHTeHaj | ,)(1)( 67 但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠失真。失真。 答：答：当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰减越大时，混叠失真就越小。减越大时，混叠失真就越小。 问题：问题：要求混叠要求混叠失真小，对模拟滤波失真小，对

45、模拟滤波器的频响有何要求？器的频响有何要求？ 混叠混叠TTfs )(685、实际应用中修正）（选选取取主主值值区区间间） jHTeHaj(1)( 望望的的，有有很很高高增增益益，这这是是不不希希很很小小时时，当当采采样样时时间间间间隔隔)( jeHT下下修修正正采采样样频频率率而而变变换换，做做以以为为使使滤滤波波器器的的增增益益不不随随 )()(1)()()(11TjHeHzeTAzHnTThnhajNiTsinai则：则：696优缺点优缺点优点：优点： 1）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，所以滤波器的冲激响应，所以时域逼近良好时域

46、逼近良好。 2）频率变化是线性关系频率变化是线性关系=T，频率特性形，频率特性形状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。缺点：缺点： 会产生会产生频率混叠现象频率混叠现象。只适合带限滤波器（如。只适合带限滤波器（如低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。波器的设计。70 例例5-10 利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特沃思低通利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，通带截止频率滤波器，通带截止频率fp=0.1kHz，通带最大衰减，通带最大衰减Rp=3dB，阻带截止频率阻带截止频

47、率fs=0.3kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减Rs=12dB。研究不。研究不同采样频率对所设计数字滤波器频率响应的影响。设采样同采样频率对所设计数字滤波器频率响应的影响。设采样频率频率fs分别取分别取1kHz，2kHz，4kHz。 解解 MATLAB部分程序如下：部分程序如下：wp=2*pi*100;ws=2*pi*300;Rp=3;Rs=12;n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(n,wn,s)71%求模拟滤波器的频率响应求模拟滤波器的频率响应db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,500*2*pi);plot(w/(2*pi),db,Lin

48、eWidth,2,Color,k);axis(0,500,-20,1);hold on%脉冲响应不变法脉冲响应不变法fs=1000;bz,az=impinvar(b,a,fs);%求数字滤波器的频率响应求数字滤波器的频率响应db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);plot(0.5*fs*w/pi,db, r);axis(0,500,-20,1);hold off72运行结果运行结果 735.4 双线性变换法双线性变换法741.变换原理变换原理二次映射二次映射 平平面面映映射射到到第第二二次次：将将平平面面中中的的平平面面压压缩缩到到第第一一次次：将将整整个个zTTTTs

49、 111s752 2、步骤：、步骤：平平面面平平面面到到从从1)1ss)2(211TtgT 则则：TT 11100平平面面，则则有有：和和扩扩展展到到整整个个1ss11; jsjs221TtgT 222211111122cos2sin2TjTjTjTjeeeeTTTjTj 引入正切变换引入正切变换222211112TsTsTsTseeeeT TsTseeT11112 s76 2 2）再将再将s1平面映射到平面映射到z平面，应用平面，应用 ， 这种这种s平面单值映射为平面单值映射为z平面的映射关系称作平面的映射关系称作双双线性变换法线性变换法。Tsez1 11112 zzTsTsTseeTs11

50、112 sTsTz /2/2简单的代数关系简单的代数关系 或或77 用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相应模拟滤波器的系统函数应模拟滤波器的系统函数Ha(s)后，后，只要将相应的变只要将相应的变换关系代入换关系代入Ha(s)，即可得到数字滤波器的系统函数即可得到数字滤波器的系统函数11z1z12a| )()z( TssHH782.稳定性、稳定性、模拟频率和数字频率间的关系模拟频率和数字频率间的关系1）稳定性2222)2()2(22 TTjTjTzr平平面面单单位位圆圆外外；平平面面右右半半平平面面平平面面单单位位圆圆内内；平平面面左左半半平平面面平平

51、面面单单位位圆圆；平平面面虚虚轴轴zsrzsrzsr ; 10; 10; 10 稳定性不变稳定性不变792）模拟频率和数字频率间的关系模拟频率和数字频率间的关系11112 zzTs jezjs ;令令)2cos()2sin(2)()(2112222222 jTeeeeeeTeeTjjjjjjjjj )2(2 tgTj )2(2 tgT )2(2Tarctg 频率是非线性对应关系频率是非线性对应关系 模模拟拟频频率率80 s平面上平面上与与z平面的平面的成成单值映射单值映射非线性正切非线性正切关系（关系（可以避免混叠可以避免混叠），在零频附近，），在零频附近，和和变换变换关系近似于线性，关系近似

52、于线性，随着随着的增加，表现出严重非线的增加，表现出严重非线性性 （频率失真频率失真）。）。2tan22tan21 TTT 813）.优缺点优缺点优点：优点： 消除了频率混叠现象，可适用于低通、高通、消除了频率混叠现象，可适用于低通、高通、带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。缺点：缺点： 与与之间呈非线性关系，引入了非线性频率之间呈非线性关系，引入了非线性频率失真。失真。823 3. .双线性变换法中的频率失真双线性变换法中的频率失真由于频率变换的非线性必然导致频响曲线各频率成分由于频率变换的非线性必然导致频响曲线各频率成分相对关系的变化，使频响曲线畸变

53、，劣化频响逼近度。相对关系的变化，使频响曲线畸变，劣化频响逼近度。如右图：理想微分器如右图：理想微分器经双线性变换后幅频经双线性变换后幅频特性产生畸变。特性产生畸变。此时，模拟微分器不此时，模拟微分器不能变换成数字滤波器。能变换成数字滤波器。83频率非线性变换影响：频率非线性变换影响：1）频率的非线性变换使得一个线性相位滤波器变换）频率的非线性变换使得一个线性相位滤波器变换成一个非线性相位滤波器。成一个非线性相位滤波器。2）频率的非线性变换要求模拟滤波器的频响必须是）频率的非线性变换要求模拟滤波器的频响必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似为某一分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似

54、为某一常数。常数。3）分段常数的滤波器，经双线性变换后，得到幅频）分段常数的滤波器，经双线性变换后，得到幅频为分段常数的滤波器，但是，在各个分段边缘的临界为分段常数的滤波器，但是，在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种畸变通过预畸来加以校正。频率点产生畸变，这种畸变通过预畸来加以校正。84 1 2 0001 2 1 1 2 2 22Tarctg )( jH)( jeH855 5、反畸变（预畸）、反畸变（预畸） 将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。1）要求设计的数字低通滤波器的两个截止频率分别为：）要求设计的数字低通滤波器的两个截止频率分别为：例如：例如：sp ,2）按

55、照线性变换所对应的模拟低通滤波器的截止频率为：）按照线性变换所对应的模拟低通滤波器的截止频率为：TTsspp ,3）模拟低通滤波器截止频率双线性变换后得数字频率为：）模拟低通滤波器截止频率双线性变换后得数字频率为：22,22TarctgTarctgsspp sspp ,864）反畸变（预畸）反畸变（预畸）22,22sspptgTtgT spsp ,的的频频率率为为进进行行双双线线性性变变换换后后得得到到对对 5）设计模拟滤波器时选用的参数为预畸后的参数。）设计模拟滤波器时选用的参数为预畸后的参数。87总结：双线性变换法设计数字滤波器步骤总结：双线性变换法设计数字滤波器步骤22222222)1T

56、tgTtgTTtgTtgTssspppsp 进进行行预预畸畸和和阻阻带带临临界界频频率率对对通通带带临临界界频频率率)()2sH系系统统函函数数的的，求求出出相相应应模模拟拟滤滤波波器器以以预预畸畸后后的的参参数数为为目目标标11112)()()()(3 zzTssHzHzHsH即即：求求出出，由由）利利用用双双线线性性变变换换关关系系8889 例例5-7：巴特沃思数字低通，通带截止频率为巴特沃思数字低通，通带截止频率为200Hz，通，通带最大衰减为带最大衰减为3dB，采样频率为，采样频率为1000Hz。 90 例例5-8 已知已知fp=0.3kHz，Rp=1dB，fs=0.2kHz，Rs=2

57、0dB，利用双线性变换法设计一个，利用双线性变换法设计一个Chebyshev I型数字高通滤波器。型数字高通滤波器。 解解 MATLAB实现程序如下：实现程序如下：Rp=1;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;wp=2*pi*fp;ws=2*pi*fs;%预畸变预畸变wp1=(2/T)*tan(wp*T/2);ws1=(2/T)*tan(ws*T/2);91%设计模拟滤波器设计模拟滤波器n,wn=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,s);b,a=cheby1(n,Rp,wn,high,s); %双线性变换双线性变换bz,az=bilinear(b,a,1/T);

58、db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az); plot(w/pi,db);axis(0,1,-30,2)9200.20.40.60.81-30-20-1009300.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-505 例例5-9： ， ， ， ，T=1ms；用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一；用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个个Butterworth数字低通滤波器。数字低通滤波器。 仿真波形：仿真波形： 思考：思考：图中哪条曲线为双线性变换法所设计滤波器的频图中哪条曲线为双线性变换法所设计滤波器的频率响应

59、，为什么？率响应，为什么？ 2 . 0p 6 . 0s dBR1p dBR25s 945.利用利用AF设计设计IIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤 1 .确定数字低通滤波器（确定数字低通滤波器（LPDF）的性能指标）的性能指标;2 .将将LPDF指标转换为指标转换为LPAF的性能指标（主要指的性能指标（主要指边界频率边界频率）; 脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： 双线性变换法：双线性变换法：3.设计设计LPAF;4.将将)()(zHsHaT 22 tgT 95p作业：作业：p用双线性变换法设计一个二阶用双线性变换法设计一个二阶Butterworth 数字数字低通滤波器，要求其低通滤波

60、器，要求其3dB 带宽（截止频率）带宽（截止频率） f c = 400 Hz ，采样频率，采样频率f s = 1.6 kHz 。965.5 数字高通、带通及带阻滤波器的设计数字高通、带通及带阻滤波器的设计1.数字高通、带通及带阻滤波器的设计方法数字高通、带通及带阻滤波器的设计方法2.方法方法1的一般实现步骤的一般实现步骤 重点重点 可利用可利用MATLAB中中的的buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord等函等函数来估计满足性能指标数来估计满足性能指标的的模拟低通原型阶数模拟低通原型阶数和和截止频率截止频率。 可利用可利用MATLAB中中的的buttap、cheb1a