第5章离散时间信号与系统的时域分析

1、第第5章章 离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析n5.1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念n5.2 离散系统的基本概念离散系统的基本概念n5.3 线性时不变离散系统的时域分析线性时不变离散系统的时域分析12与连续时间系统相比，离散时间系统的优点与连续时间系统相比，离散时间系统的优点: 易于实现、便于大规模集成、可靠性更好；易于实现、便于大规模集成、可靠性更好；在足够字长的条件下，可以设计更高的精度。在足够字长的条件下，可以设计更高的精度。由可编程器件和软件来实现，系统实现更灵活、系统的升级由可编程器件和软件来实现，系统实现更灵活、系统的升级维护更简单维护更简单

2、并非离散时间系统可以完全取代连续时间系统并非离散时间系统可以完全取代连续时间系统 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较连续时间系统与离散时间系统分析方法比较连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统微分方程微分方程差分方程差分方程数学模型数学模型( )H s系统函数系统函数H(z)经典法经典法卷积积分法卷积积分法时域分析时域分析经典法经典法卷积求和法卷积求和法拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换变换域分析变换域分析z变换变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换( )H频响特性频响特性()jH e3离散时间系统基础理论体系离散时间系统基础理论体系(Basic theory of disc

3、rete-time system) 离散时间系统的时域分析（第5章 时域分析）离散时间系统的变换域分析（第6章 z变换、z域分析) 基础理论基础理论数字信号处理数字信号处理通信雷达声呐控制地震生物专业方向专业方向45.1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念n5.1.1 离散时间信号的描述离散时间信号的描述n5.1.2 基本离散信号基本离散信号n5.1.3 离散信号的运算与变换离散信号的运算与变换55.1.1 离散时间信号的描述离散时间信号的描述n离散时间信号是指仅在时间的离散值有定义离散时间信号是指仅在时间的离散值有定义的信号，简称离散信号，也称离散序列。的信号，简称离散信号，也称离

4、散序列。n数值的离散时间间隔通常是均匀的，设间隔数值的离散时间间隔通常是均匀的，设间隔为为T,信号可表示为信号可表示为6()x nT(, 1,0,1,2,)n 如图所示。 ()x nTtnT只在只在上有定义，在其它时刻没有定义，上有定义，在其它时刻没有定义，而不是幅度为零。而不是幅度为零。 ()x nTT()x nT( )x n(, 1,0,1,2,)n 的时间间隔是均匀的，在离散时间信号的分析和处理中，往往的大小，因为它不影响分析的过程和结果，所以，一般将表示为不需要考虑离散时间信号( )x n，可以由连续时间信号等间隔采样获得，如图所示（虚线所表示的连续时间信号 ）。 7离散时间信号的描述

5、方法离散时间信号的描述方法对于离散时间信号的描述，常采用以下三种形式对于离散时间信号的描述，常采用以下三种形式 解析形式解析形式 序列形式序列形式 图形形式图形形式 0( )sin()x nnfk=1、0、2、0、0、0、0、-1指向原点对应的函数指向原点对应的函数fkk2101235-1-2-1-1141、0、2、0、0、0、0、-1(-2)(-2)是序列开始的宗数是序列开始的宗数图图5-1 离散信号离散信号81 1单位冲激序列单位冲激序列( (单位样值序列单位样值序列) )1,0( )0,0nnn( )n( ) t单位取样序列类似于连续时间信号中的单位冲激信号 ，在信号与系统的分析中作用相

6、当，但必须注意它们之间的区别。 ( )n0n 是一个确定的物理量，在时取值为1离散时间点上取值为零 ，在其它非零的不是一个物理量，只是一个数学抽象。 ( ) t5.1.2 基本离散信号基本离散信号9100kkf123-2-112-1-2-3图5-3 2 32 3 12 2f kkkkkkn任意序列均可表示为任意序列均可表示为k的位移加权和的位移加权和即即ppkpfkfnk与任意信号相乘特性与任意信号相乘特性fkk= f0kfk-mk= f-mkfkk-n= fnk-nfk-mk-n= fn-mk-n11n2单位阶跃序列单位阶跃序列uk单位阶跃序列单位阶跃序列u k，如图，如图5-4所示，表示为

7、：所示，表示为：0 00 1kkuk12图5-4 单位阶跃序列ukk1012341111)(tu) 1 (0tt10)(tdttdut)()( - 微分关系微分关系dtut)()(- 积分关系积分关系 1nu nu n- 差分关系差分关系0 12mu nnnnn m - 求和关系求和关系. -2 -1 0 1 2 3 nun -2 -1 0 1 2 3 n n1113n3门序列门序列Ap2N+1k-n门高门高A，门宽，门宽2N+1，门的中心位置，门的中心位置n图5-5 门序列p2N+1kkA01-N-121- (1)NNpNPkkpu kNu kN14n无时限指数序列无时限指数序列ak(a为实

8、常数为实常数)对于对于fkakuk称为单边指数序列称为单边指数序列(因果因果指数序列指数序列).151a ，序列是发散的。 1a ，序列是收敛的 0a 0a 序列的所有样值都为正值 序列正、负摆动 图5-6单边指数序列165.1.3 离散信号运算与变化离散信号运算与变化n1、相加、相加(乘乘):对应宗数函数值相加对应宗数函数值相加(乘乘)17图5-10离散信号相加（乘）-2kf1k21112-10kf2k1212-10-2f1k +f2kk2212-10-2-111f1k f2kk21-1011118例：已知 1( ) ,1( )20,1nnx nn 1( ) ,0( )21,0nny nnn

9、求 ( )( )x ny n解：根据序列求和定义，得解：根据序列求和定义，得11( ),02( )( )( )2,11,1nnz nx ny nnnn 解：根据序列乘积的定义，得解：根据序列乘积的定义，得1( ) ,0( )( )( )40,0nnz nx ny nn 例例: 已知已知 1( ) ,1( )20,1nnx nn 1( ) ,0( )21,0nny nnn0时，时， fk-n波形是波形是fk波形右移波形右移n位的结果，位的结果，当当n0时，时， fk-n波形是波形是fk波形左移波形左移n位的结果。位的结果。 2122图5-12 信号移位 (a)fk (b)左位移信号左位移信号 (

10、c)右位移信号右位移信号kfkk0-11-1fk+1k-1 0-212fk-11023-1122-1112n4、差分、差分:仿照连续信号的微分运算，定义离仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算散信号的差分运算23000( )( )()( )( )()limlimlimtttdf tf tf ttf tf tf ttdtttt 离散信号离散信号的变化率有两种表示形式的变化率有两种表示形式： ( )(1)( )( )( )(1)(1)(1)f kf kf kf kf kf kkkkkkk离散信号离散信号fk的前向差分运算为：的前向差分运算为： fk=fk+1-fk离散信号离散信号fk的后向

11、差分运算为：的后向差分运算为： fk=fk-fk-1例: 已知 1( ) ,1( )20,1nnx nn ，求 ( )x n( )x n和。 解：根据前向差分的定义，得( )(1)( )x nx nx n111( ),11( ),22(1)22,20, 20,2nnnnx nnnn ( )(1)( )x nx nx n1111 1( )( )( ) ,1222 22,20,2nnnnnn 24根据后向差分的定义，得( )( )(1)x nx nx n11( ),0(1)20,0nnx nn1( ) ,1( )20,1nnx nn 1( ) , 122,10,1nnnn ， ( )( )(1)x

12、 nx nx n1111( )( )( ) ,12222,10,1nnnnnn 25n5、求和、求和:表示表示y(n)在某个样点在某个样点n0上的值等于上的值等于x(n)在这个样点在这个样点n0上的值上的值x(n0)以及以及n0以前所有以前所有样点上样点上x(n)的值之和的值之和26( )( )nky nx n图5-13 信号求和示意图kfky120-100k-101234133222k0227(a)离散信号离散信号fk (b) fk的求和信号的求和信号yk图图5-14 离散离散信号及其求和信号信号及其求和信号0kkf12-11-1230kky12-11233224求和2829例 1( ) ,

13、1( )20,1nnx nn ( )( )nky nx k已知，求解：012( ) ,12( )( )2,10,1nnnkkny nx knn 111 ( )1224( ) ,112122,10,1nnnnn =5.2 离散系统的基本概念离散系统的基本概念n5.2.1 线性时不变（线性时不变（LTI）离散系统的性质）离散系统的性质n5.2.2 离散系统的数学模型离散系统的数学模型305.2.1 线性时不变线性时不变(LTI)离散系统的性质离散系统的性质n输入输出信号都是离散信号的系统称为离散输入输出信号都是离散信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。时间系统，简称离散系统。kf离散系统ky图

14、5-15 离散系统框图311、离散系统的线性特性、离散系统的线性特性n同时具三性同时具三性n分解性分解性:yk= yxk+ yfkn零输入响应零输入响应yxk线性性线性性n零状态响应零状态响应yfk线性性线性性322、离散系统的移位不变特性、离散系统的移位不变特性n已知，已知， fkykn则：则： fk-nyk-n33fkky时不变系统0k0kk-ny0kk-nf0nnn1231n2n3n1234564n1n2n3n5n6n图5-16 移位不变离散系统345.2.2 LTI离散系统的数学模型离散系统的数学模型n1、差分方程的阶、差分方程的阶差分方程的阶等于输出序列的最高、最低宗数之差。差分方程

15、的阶等于输出序列的最高、最低宗数之差。n2、n阶阶LTI离散系统的数学模型离散系统的数学模型n阶阶LTI离散系统的数学模型是离散系统的数学模型是n阶线性常系数差分方程。阶线性常系数差分方程。设输入设输入fk，输出输出 yk，一般形式为：一般形式为： yk+n+an-1yk+n-1+ a1yk+1+ a0yk= bmfk+m+bm-1fk+m-1+ b1fk+1+ b0fk其中，其中， aj， bi均为常数均为常数差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解和激励，利用迭代法可求得其数值解35n例：例： 若描述某系统

16、的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励，激励f(k)=2k u(k)，求求y(k)n解：解： y(k)=-3y(k-1)-2y(k-2)+f(k) y(2)=-3y(1)-2y(0)+f(2)=-2 y(3)=-3y(2)-2y(1)+f(3)=10.注：一般不易得到解析形式的注：一般不易得到解析形式的(闭合闭合)解解36n3、算子、算子n超前算子超前算子EEfk=fk+1 Enfk=fk+n,(n为正整数为正整数)n滞后算子滞后算子E-1E-1fk=fk-1 E-nfk=fk-n,(n为

17、正整数为正整数)n广义超前算子广义超前算子D(E)，是，是E的正幂次多项式的正幂次多项式如如D(E)=E+2 D(E)fk=(E+2)fk=fk+1+2fkn广义滞后算子，其中广义滞后算子，其中D(E)是广义超前算子是广义超前算子)(,)(1kfEDkykfkyED即：37n4、LTI离散系统的转移算子离散系统的转移算子n引入算子，得系统算子方程式引入算子，得系统算子方程式D(E)yk=N(E)fk或或yk=H(E)fkn其中系统的转移算子其中系统的转移算子01110111)()()(aEaEaEbEbEbEbEDENEHnnnmmmm38xk xk+ykyk (b) 加法器加法器离散时间系统

18、的基本单元符号表示：离散时间系统的基本单元符号表示：E1xkxk-1(a) 延时器延时器xkxk-1D(c) 数乘器数乘器axk axkaxk axkaxk axk395.3 线性时不变离散系统的时域分析线性时不变离散系统的时域分析n5.3.1 卷积和卷积和n5.3.2 零输入响应零输入响应n5.3.3 零状态响应零状态响应405.3.1 离散卷和离散卷和n1离散卷和的定义离散卷和的定义n2图解卷和图解卷和n3卷和的性质卷和的性质41求求卷积和卷积和是本章的重点是本章的重点1离散卷和的定义离散卷和的定义n具相同宗数的两离散信号具相同宗数的两离散信号f1k和和f2k的求和的求和 称为该两序列的离

19、散卷和，记称为该两序列的离散卷和，记为：为：n卷和运算中，求和上下限的选取与信号的取卷和运算中，求和上下限的选取与信号的取值范围有关，在计算时，需根据具体情况确定。值范围有关，在计算时，需根据具体情况确定。当当f1k 和和f2k均为因果序列时，二者卷和为：均为因果序列时，二者卷和为：12120 ( )kpf kf kfp f kp ppkfpf211212 pf kf kf p f kp422图解卷和图解卷和n离散信号的图解卷和与连续信号的图解卷积离散信号的图解卷和与连续信号的图解卷积积分类似，是指应用形象直观的图形并结合计积分类似，是指应用形象直观的图形并结合计算来求解离散信号卷和的一种有效

20、方法。算来求解离散信号卷和的一种有效方法。n优点优点:便于确定求和的上下限，尤其适用于简便于确定求和的上下限，尤其适用于简单序列的卷和运算；单序列的卷和运算；n缺点缺点:不易得到闭合函数形式。不易得到闭合函数形式。4301k1kf12220k2kf132321144n其图解卷积步骤如下：其图解卷积步骤如下：n(1)置换置换kp,即即f1k f1p , f2kf2pn(2)反褶反褶p-p,即即f2pf2 -pn(3)移位移位-pk- -p,即即f2 -pf2 k-pn(4)相乘相乘 即即f1p f2k-p n(5)求和求和 即即kppkfpfpy02145“置换” “反褶”01p12220p2p

21、f13232111pf0p2pf 23-2-1146(k6)02kky107211134551例例1：设设hn 与与 xn 分别如下图所示，求分别如下图所示，求 y nx nh n h nn321120 x nn31120解法一：列表法解法一：列表法 1 1 1 1 x m 3 2 1hm01 33y 11 2 1 35y 21 1 1 2 1 36y 31 1 1 2 1 36y 41 1 1 23y 51 11y 60y 3 2 11hm 3 2 12hm 3 2 13hm 3 2 14hm 3 2 15hm 3 2 16hm48 h nn321120 x nn31120解法二：列竖式法解

22、法二：列竖式法1 1 1 1(0) 3 2 1 (0)1 1 1 12 2 2 23 3 3 33 5 6 6 3 1即：(0) 3, 5, 6, 6, 3, 1y n 49将两序列用列表法表示，以各自n的最高宗数对应的函数值按右端对齐，然后把各个序列值对应相乘，但不要进位，最后把同一列上的乘积值按对应位求和，也不进位取得卷和结果，卷和的起始位置，由两序列起始位置之和确定，适用于求解有限长短序列的卷和结果501212 2 124 34 3 15 2 * f nnnnnf nnnny nf nf n例：已知序列序列，求2 1 4 1(1) 3 1 5 (0)10 5 20 52 1 4 16 3

23、 12 36 5 23 12 21 5即：(1) 6, 5, 23, 12, 21, 5y n 3、 卷和的性质卷和的性质n（1）代数运算性质）代数运算性质n交换律交换律n分配律分配律n结合律结合律1221kfkfkfkf3121321kfkfkfkfkfkfkf321321kfkfkfkfkfkf51n（2）离散序列与）离散序列与 的卷和的卷和 n离散序列与离散序列与uk的卷和的卷和kfkkfkppfkukfk52 * (1) u ku kku k53例：已知例：已知x(n)=anu(n)(0a1),h(n)=u(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。( )( )( ) kkky nx

24、nh nx k h nka u k u nk由于当由于当kn时，时，un-k=0，当，当0kn时，时，ukun-k=1，所以求和区间应是，所以求和区间应是0kn，故有，故有 101( )( )1nnkkay nau na解：53n（3）卷和的移位特性）卷和的移位特性n若若f1k*f2k=yk，则：则：f1k-n1*f2k-n2=yk -n1-n2,( n1、n2为整数为整数)5455n（4）有限个样本点序列间的卷和仍为有限个）有限个样本点序列间的卷和仍为有限个样本点序列。样本点序列。若若f1k、f2k的样本点数分别为的样本点数分别为N1、N2，则则yk= f1k* *f2k的样本点数的样本点数

25、N= N1+N2-155565.3.2 零输入响应零输入响应n1、零输入响应的定义：系统在初始状态单独、零输入响应的定义：系统在初始状态单独作用下（输入为零）的响应分量，定义为系统作用下（输入为零）的响应分量，定义为系统的零输入响应分量。是齐次差分方程的零输入响应分量。是齐次差分方程D(E)yxk=0的解。的解。5657经典解经典解n2、零输入响应的求法：若、零输入响应的求法：若LTI离散系统转移算离散系统转移算子为子为(1)解特征方程解特征方程D(E)=0，得特征根，得特征根vj (j=1、2、n) n当特征根当特征根vj均为单根时均为单根时)()()(EDENEHikckynjkjjx,1

26、5758n当特征根有重根时，设：当特征根有重根时，设：其中其中1为为重根，重根，+1 n均为单根均为单根,则：则：)()()()(11nEEEEDikCkCkCCkynjkjjkx,)(1112158(2)代入初始状态定待定常数代入初始状态定待定常数Cj。59例例：若描述某离散系统的差分方程为：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励已知激励f(k)=2k , k0，初始状态初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求求系统的零输入响应系统的零输入响应解解：yx(k)满足方程满足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k

27、2)= 0其初始状态其初始状态yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2方程的特征根为方程的特征根为1= 1 ，2= 2 ，其解为其解为 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 将初始值代入将初始值代入 并解得并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k-259605.3.3 零状态响应零状态响应n零状态响应的定义：零状态响应的定义：系统在输入的单独作用下系统在输入的单独作用下(初始状态为零初始状态为零)的响应分量，称为系统的零状态的响应分量，称为系统的零状态响应，记为响应，记为yfk。是差分方程。是差分方程yfk

28、=H(E)fk在初在初始状态为零时的解始状态为零时的解n单位脉冲响应单位脉冲响应:系统在输入为单位冲激信号系统在输入为单位冲激信号k时的零状态响应分量称为离散系统的单位脉冲响时的零状态响应分量称为离散系统的单位脉冲响应，记为应，记为hk。是差分方程。是差分方程hk=H(E)k在初始在初始状态为零时的解状态为零时的解6061n离散系统单位阶跃响应：系统输入为离散系统单位阶跃响应：系统输入为单位阶跃序列时的零状态响应称为系单位阶跃序列时的零状态响应称为系统的单位阶跃响应，记为统的单位阶跃响应，记为gk= uk*hkn零状态响应的求法：系统输入为零状态响应的求法：系统输入为fk时，时，零状态响应零状

29、态响应yfk=fk*hk62n例例 已知已知LTI离散时间系统的输入输出关系为离散时间系统的输入输出关系为求系统的单位冲击响应序列求系统的单位冲击响应序列n解：当输入信号为解：当输入信号为fn= n时，可得该系统时，可得该系统的单位冲击序列为：的单位冲击序列为：n即即 hn=u-n-162 1k ny nf k 1k nh nk110n 其他63)0(h) 1 (h)(nh 迭代法求单位冲激响应迭代法求单位冲激响应 方法：利用隐含的已知条件用迭代法依次求方法：利用隐含的已知条件用迭代法依次求)() 1(21)(nxnyny)(nh1( )(1)( )2( 1)0h nh nnh1)0() 1(

30、21)0(hh21) 1 ()0(21) 1 (hh2)21()2() 1 (21)2(hhnnnhnh)21()() 1(21)(例： 求：求： 解： 64n已知某已知某LTI离散时间系统的单位冲击序列响离散时间系统的单位冲击序列响应应hn=2nun，求该系统的单位阶跃响应，求该系统的单位阶跃响应s(n)n解：解：当当n 0时，时，当当n0时，时，ukun-k=0，则，则64 * 2 kkks nu nh nh k u nku k u nk1 0 0knu k u nk其他1101 2 2 (21) ( )1 2nnknks nu nu nu n65例例 如图复合系统由三个如图复合系统由三个

31、子系统组成，其中子系统组成，其中h1(k) = u(k)， h2(k) = u(k 5)，求复合系统的，求复合系统的单位序列响应单位序列响应h (k) 。 解解 根据根据h(k)的定义，有的定义，有h1(k)h2(k)h1(k)f(k)f(k)y(k)y(k)h(k)= h1(k) h2(k) * h1(k) = h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = u(k)* u(k) u(k 5) *u(k) = (k+1)u(k) (k+15)u(k5) = (k+1)u(k) (k 4)u(k 5)6566例例 如图复合系统由两个子系统如图复合系统由两个子系统级联组成，其中级联组成，其中h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = aku(k)，激励激励f(k)= (k)(k-1)，求复合系，求复合系统的零状态响应响应统的零状态响应响应yf (k) 。 h1(k)h2(k)f(k)f(k)y(k)y(k)解解yf (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(k)*aku(k)*(k)(k-1) = 2cos(k)*aku(k) - aku(k -1