第六节抛物线 2

1、第六节抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条

2、件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视只有p0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义试一试1抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4 D8解析：选C抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2，所以焦点到准线的距离为4.2动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24x1转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离2与焦

3、点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切练一练1若抛物线x2ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为_解析：由题意可知，点A在抛物线x2ay上，所以1a，解得a4，得x24y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA1.答案：2.已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，|AF|2，则|BF|_，OAB的面积是_解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x012，x0

4、1，则直线ABx轴，|BF|AF|2.|AB|4.故OAB的面积S|AB|OF|×4×12.答案：22考点一抛物线的标准方程及几何性质1.(2013·天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A, B两点，O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为， 则p()A1B.C2 D3解析：选C因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为y±x±x，与抛物线的准线x相交于A，B，所以AOB的面积为××p，又p0，所以p2.2(2013·新课标卷)设抛物

5、线C：y22px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析：选C由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则，.由已知得，·0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得， 5，又p0，解得p2或p8，故选C.3从抛物线x24y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_解析：由题意知，抛物线的准线方程为y1，|PM|PF|5，P点的纵坐标为4，SMPF

6、5;5×410.答案：10类题通法1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题考点二抛物线的定义应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有：(1)动弦中点到坐标轴距离最短问题；(2)距离之和最小问题；(3)焦点弦中

7、距离之和最小问题.角度一动弦中点到坐标轴距离最短问题1(2013·郑州质检)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C1 D2解析：选D由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，选D.角度二距离之和最小问题2(2014·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程

8、为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.答案：31角度三焦点弦中距离之和最小问题3已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|BD|的最小值为_解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线

9、定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：2类题通法与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决考点三直线与抛物线的位置关系典例(2014·福州质检)已知曲线y22px(p0)在第一象限内与圆x2y24x10交于不同的两点A，B.(1)求p的取值范围；(2)如果在x轴上只有一个点

10、M，使MAMB，求p的值及M的坐标解(1)据题意知，p0，x0.设A(x1，)，B(x2，)把y22px代入x2y24x10得， x22(p2)x10，x1，x2是该方程的两不相等的正根，即p的取值范围是(0,1)(2)法一设M的坐标为(m,0)，则(x1m，)，(x2m，)，·x1x2m(x1x2)m22p.把x1x21，x1x242p代入，得·m2(42p)m2p1，MAMB，m2(42p)m2p10，据题意该方程只有一个根，(42p)24(2p1)0，即p26p30，p3(p1，舍去p3)，此时m1，即M的坐标为(1,0)法二设AB的中点坐标为(x0，y0)据题意，以

11、线段AB为直径的圆恰好与x轴相切，即y0(此时M的横坐标为x0)y0，|AB|2(x1x2)2()2xx2x1x22p(x1x22)(x1x2)24x1x22p(x1x22)(42p)242p(22p)12(1p)，由y0得4y|AB|2，即4p(3p)12(1p)，即p26p30，p3(p1，舍去p3)，此时M的横坐标为x02p1，即M的坐标为(1,0)类题通法求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解针对训练已知过抛物线y22px(p>0)的焦点

12、，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)直线AB的方程是y2(x)，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以：x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)；设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2.课堂练通考点1已

13、知m，n，mn成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2ny的焦点坐标是()A.B.C. D.解析：选A由题意知，2nmmn且n2m·mn，解得m2，n4，故抛物线为x22y，其焦点坐标为.2(2013·福建模拟)设抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于()A4 B6C6 D12解析：选C设点P的坐标为(xp，yp)，则|PF|xp.过点P作x轴的垂线交x轴于点M，则PFMAPF60°，所以|PF|2|MF|，即xp2，解得xp，所以|PF|6.3(2013·郑州质检)过抛物

14、线y28x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A4 B8C12 D16解析：选D抛物线y28x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.4(2014·辽宁五校联考)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_.解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点

15、的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.答案：85(2014·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p>0)点P(1,2)在抛物线上，222p×1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)

16、，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)课下提升考能第卷：夯基保分卷1(2013·沈阳模拟) 抛物线x2y的焦点F到其准线l的距离是()A2 B1C. D.解析：选D因为2p，p，所以由抛物线的定义可知所求的距离为.2已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为()A2 B1C. D.解析：选A注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3,0)，半径为4的

17、圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2，故选A.3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知抛物线的焦点坐标为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入抛物线方程得y22px2p(y)2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1，故选B. 4(2014·北京东城区期末)已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交

18、点为K，点A在抛物线上，且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D32解析：选D由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知，|AA|AF|，在AAK中，|AK|AA|，故KAA45°，所以直线AK的倾斜角为45°，直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x得y216(y4)，即y216y640，解得y8.所以AFK为直角三角形，故AFK的面积为×8×832.5(2014·武汉调研)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB

19、的中点的坐标为(2,2)，则直线l的方程为_解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y24x.显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l的方程为y2k(x2)，其中k0，联立方程得消去y得k2x24k(1k)4x4(1k)20，显然2，解得k1.故直线l的方程为yx.答案：yx6(2013·江西高考) 抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：由x22py(p>0)得焦点F，准线l为y，所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点A，B，所以|AB| ，则|AF|AB| ，所以sin

20、，即，解得p6.答案：67已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点K(0，1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设·，求DBK的平分线与y轴的交点坐标解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为ykx1，由得x24kx40，从而x1x24k，x1x24.直线BD的方程为yy1(xx1)，即y(xx1)，令x0，得y1，所以点F在直线BD上(2)因为·(x1，y11)·(x2，y21)x1x2(y11)·(y21)84k2，故84k2，解得k±，所以l的

21、方程为4x3y30,4x3y30.又由(1)得x2x1±±，故直线BD的斜率为±，因而直线BD的方程为x3y30，x3y30.设DBK的平分线与y轴的交点为M(0，t)，则M(0，t)到l及BD的距离分别为，由，得t或t9(舍去)，所以DBK的平分线与y轴的交点为M.8已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4 .(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率为时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8

22、p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，则抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)故b的取值范围为(2，)第卷：提能增分卷1(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·4，证明直

23、线l必过一定点，并求出该定点解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，·x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明：设l：xtyb代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，·x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2.直线l过定点(2,0)若·4，则直线l必过一定点(2,0)2(2014·珠海模拟)在