初二数学整式的乘除与因式分解复习2

1、整式的乘除与因式分解一、学习目标：1.把握与整式有关的概念；2.把握同底数幂、幂的乘法法就，同底数幂的除法法就，积的乘方法就；3.把握单项式、多项式的相关运算；4.把握乘法公式：平方差公式，完全平方公式；5.把握因式分解的常用方法；二、学问点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数；如：2a 2 bc 的 系数为2 ，次数为4，单独的一个非零数的次数是0；2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式；多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数；如： a 22 abx

2、1 ，项有a2 、2 ab 、 x 、1，二次项为a 2 、2ab ，一次项为x ，常数项为 1，各项次数分别为2， 2， 1，0，系数分别为1，-2， 1， 1，叫二次四项式；3、整式： 单项式和多项式统称整式；留意：凡分母含有字母代数式都不是整式；也不是单项式和多项式；4、多项式按字母的升（降）幂排列：3如： x2x 2 y 2xy2 y 31按 x 的升幂排列：12 y 3xy2 x2 y 2x3按 x 的降幂排列：x32x 2 y 2xy2 y 31按 y 的升幂排列：1x3xy2x2 y 22 y3按 y 的降幂排列：2y 32 x2 y 2xyx 315、同底数幂的乘法法就：aaa

3、（ m,n 都是正整数）m nmn同底数幂相乘，底数不变，指数相加；留意底数可以是多项式或单项式；如： ab2 ab 3ab5523106、幂的乘方法就： a m na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘；如：3 幂的乘方法就可以逆用：即a mna m nan m如： 46 42 343 27、积的乘方法就：ab nan bn （ n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积；如：（2x3 y 2 z 5 = 2 5 x3 5 y 2 5z532x15 y10 z58、同底数幂的除法法就：a ma na m n （ a0,m, n 都是正整数，且mn同底数幂相除，底数不

4、变，指数相减；如： ab 4abab3a 3b 39、零指数和负指数；a 01 ，即任何不等于零的数的零次方等于1；p1a倒数；p （ aa3130, p 是正整数） ，即一个不等于零的数的p 次方等于这个数的p 次方的1如： 22810、单项式的乘法法就：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式；留意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再运算肯定值；相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法就；只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果

5、仍是一个单项式；如：2x 2 y 3 z3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 mabcmambmc m, a ,b,c 都是单项式 留意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；运算时要留意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时，要留意运算次序，结果有同类项的要合并同类项；如： 2 x 2x3 y3 yxy12、多项式与多项式相乘的法就；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加；3a如：2b a3b22 x5 x613、平方差公式： ab abab 留意平方差公式绽开只有两项公式特点： 左

6、边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；如： xyz xyz14、完全平方公式：ab2a 22abb 2公式特点： 左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另哪一项左边二项式中两项乘积的留意：2 倍；a 2b 2ab22ab ab22ab22222ab2ab 24ab2ababababab ab完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍；15、三项式的完全平方公式：abc 2a 2b2c22ab2ac2bc16、单项式的除法法就：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商

7、的因式，对于只在被除式里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式；留意：第一确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，假如只在被除式里含有的字母，就连同它的指数作为商的一个因式如：7a 2 b 4 m49a 2 b17、多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加；即： ambmcmmammbmmcmmabc18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、学问点分析：1.同底数幂、幂的运算： am·an=am+n m， n 都是正整数 . amn=amn m， n 都是正整数 .例题 1. 如 2 a 2

8、64 ，就 a=；如 273n38 ，就 n=.例题 2. 如 5 2 x 1125 ，求 x2021x的值；2例题 3.运算xnm322 y2 yx练习2 n1.如 a3 ，就6na=.2.设 4x =8y-1 ,且 9y=27 x-1 ,就 x-y 等于；2.积的乘方abn=an bnn 为正整数 . 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.3p例题 1.运算：nm3. 乘法公式4pmnnm平方差公式：ababa 2b 2完全平方和公式：完全平方差公式：aba 22ab 2a 22abb 22abb2例题 1. 利用平方差公式运算：2021×2007 20212

9、例题 2.利用平方差公式运算：2007 2200720212006例题 3.利用平方差公式运算：22007202120061例题 4.（ a2b 3cd）（ a 2b3c d）变式练习1广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3 米，东西方向要加长3 米，就改造后的长方形草坪的面积是多少？2.（ 3+1 ）（ 32+1）（ 34+1）（ 32021+1 ）3401623. 已知 x1 x2,求21xx 2 的值4、已知 xy 216, xy 24，求 xy 的值5.假如 a2 b 2 2a 4b 5 0 ，求 a、 b 的值6.试说明（ 1）两个连续整数的平方差必是

10、奇数（ 2）如 a 为整数，就a 3a 能被 6 整除7.一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原先正方形的边长4. 单项式、多项式的乘除运算（ 1）（ a1b）（ 2a6b）（ 3a213b2）；112（ 2） （ ab）（ a b） 2÷（ a2 2ab b2） 2ab（ 3）已知 x2 x 1 0，求 x3 2x2 3 的值5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式；例 1 把 2ax10 ay5bybx 分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列， 然后从两组分别提出公因式2a 与b ，这时另一个因式

11、正好都是x5 y ，这样可以连续提取公因式解： 2 ax10ay5bybx2a x5 yb x5 y x5 y2 ab 说明： 用分组分解法， 肯定要想想分组后能否连续完成因式分解，由此合理挑选分组的方法此题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例 2 把 abc2d 2 a2b2 cd 分解因式分析： 依据原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解： abc2d 2 a2b2 cdabc2abd 2a2 cdb2cd abc2a2 cdb2cdabd2 acbcad bd bcad bcad acbd 说明： 由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了

12、加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了安排律由此可以看出运算律在因式分解中 所起的作用2. 公式法： 依据平方差和完全平方公式例题 1 分解因式9x225y23.配方法：例 1 分解因式x26 x16解： x26x16x22x3323216 x3252 x35 x35x8 x2说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，此题仍有其它方法，请大家试验4.十字相乘法：2（ 1） x pqxpq 型的因式分解这类式子在很多问题中常常显现，其特点是：(1) 二次项系数是1；2 常数项是两个数之积；

13、3 一次项系数是常数项的两个因数之和x2 pqxpqx2pxqxpqx xpqxp xp xq2因此，x pq xpq xp xq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式例 1 把以下各式因式分解：1x27 x6(2)x213x36解： 1616,167x27x6x1 x 6 xx 1 6 23649,4913x21 3x3 6x4 x 9 说明： 此例可以看出， 常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同例 2 把以下各式因式分解：12x5x2422x2 x15解： 12438,385x25x2 4x3 x 8 xx 3 8 21553,532

14、x22x1 5x5 x 3 xx5 3 说明： 此例可以看出， 常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中肯定值较大的因数与一次项系数的符号相同2222例 3 把以下各式因式分解：2(1) xxy6 y(2) xx8 xx12分析： 1 把 x2xy6 y2 看成 x 的二次三项式，这常常数项是6y2 ，一次项系数是y ，把6y2 分解成 3 y 与2 y 的积，而 3 y2 yy ，正好是一次项系数2由换元思想，只要把x2x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式a 28a12 解： 1x2xy6 y2x2yx62 x3y x2y2x2x28x2x12 x2x6 x2x2

15、x3 x2 x2 x1（ 2）一般二次三项式ax2bxc 型的因式分解大家知道， a xc a xc a a x2a ca c xc c 1122121 22 11 2反过来，就得到：a a x2a ca c xc ca xc a xc 121 22 11 21122我们发觉，二次项系数a 分解成a1a2 ，常数项 c 分解成c1c2 ，把 a1 a, 2 ,c1 c, 2写成 a1a2c1 ，c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1 c2a2 c1 ，假如它正好等于ax2bxc 的一次项系数 b ，那么ax2bxc 就可以分解成 a xc a xc ，其中 a ,c 位于上一行， a ,

16、c11221122位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必需留意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情形，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4 把以下各式因式分解：112 x25x225x26xy8y2解： 112x25x23x24 x1324112 y2225x6xy8yx2 y5 x4 y54 y说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要 当二次项系数不是 1 时较困难， 详细分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，如原常数为负数，用减法 ”凑”，看是否符合一次项系数，否就用加法 ”凑”，先 ”凑”

17、肯定值，然后调整，添加正、负号练习1、 已知 2xy1， xy32 ，求2x4 y 3x3 y 4的值；222、 如 x、y 互为相反数，且 x2 y14 ，求 x、y 的值提高练习1（ 2x2 4x10xy）÷（）15x 1y222如 x y 8， x2y2 4，就 x2 y2 3代数式4x2 3mx 9 是完全平方式就m 4（ a1）（ a 1）（ a2 1）等于（）（ a ） a4 1（b ） a4 1（ c）a4 2a2 1（ d） 1 a45已知 a b 10，ab 24，就 a2 b2 的值是（ a ） 148（ b ）76（ c）58（ d ） 52（）6（ 2）（x

18、3y） 2（4x 3y） 2；（ 2）（x22x 1）（ x2 2x1）；47（ 11 ）（ 1221 ）（ 1321）（ 1421）（ 1921）的值10218已知 x 2，求 x2 1 xx 2， x41的值x49已知（ a 1）（ b 2） a（ b 3） 3，求代数式a 2b 22 ab 的值10如（ x2px q）（ x22x 3）绽开后不含x2， x3 项，求 p、q 的值整式的乘除与因式分解单元试题一、挑选题： （每道题 3 分，共 18 分）1、以下运算中，正确选项a.x 2·x3=x6b. ab 3 =a3b3c.3a+2a=5a2d.（x3）2= x 52、以下从左边到右边的变形，是因式分解的是（）（ a）（ b）（ c）（ d）3、以下各式是完全平方式的是（）a、b、c、d、 4、以下多项式中能用平方差公式分解因式的是（）（ a）（ b）（ c）（ d）5、如 x+m 与x+3 的乘积中不含x 的一次项，就m的值为（）a.3b. 3c