中学数学建模教学的探索的研究和实践

1、?中学数学建模教学的探索?的研究和实践 发布时间:2003-7-16 9:51:00 发布人:system 当湖高级中学?中学数学建模教学的探索?课题组 邱东方一 课题的提出1 课题提出的背景 ?国家数学课程标准?和新的?全日制普通高中数学教学大纲?已经公布，新一轮的数学教学改革正在逐步展开，以学生开展为本的新理念正在渗透到数学教学改革的每个角落，以创新意识和实践能力培养为重点和突破口的课程、教材改革正把素质教育逐步引入数学教育的实质性环节。数学能力的培养从以前的计算能力、空间想象能力和逻辑思维能力改变为培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，开展学生的创新意识和应用意识，提高学生数

2、学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步开展学生的数学实践能力，故在这时提出该课题的研究具有深远的现实意义。2 平湖市的现状 平湖市是教育“百强县市，平湖市的乡镇企业兴旺，是著名的服装之乡，商品经济兴旺，市场繁荣，我们的学生接受的信息也多，易变性大，家庭环境比拟优越，这就要求我们的学生有更高的数学素质，更需要学生有用数学的意识，更要善于不断创新、探索。3 目前中学生数学应用问题的教学现状随着改革开放的不断深入，市场经济已有较大的开展，国家需要培养一大批能适应社会，效劳社会的人才，他们要能提出问题、分析问题、解决问题，这些问题是指社会问题，生产经营问题，日常生活问题，这给中学数学教学提供了

3、一个很大的空间，也提出了新的研究课题。然而，由于现行的考试制度存在着一些弊端，应用问题的教学还未引起足够的重视，学生仍被陷在纯数学的逻辑推理和计算之中，在传统的教育观念影响下，重传授知识，越来越形式、抽象，重视定义、定理、推导、证明、计算，而少讲数学与我们周围现实世界的密切联系，我们的学生便有“学有何用此一问，试想有这一疑问的同学对数学的学习又怎能谈得上主动性与积极性呢？于是学生由于缺乏解决实际问题的锻炼，面对实际问题往往不知从何着手，不知如何把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，并运用自己掌握的数学知识去分析求解，从而解决实际问题，在这过程中就要培养学生的数学建模能力。二 课题的理

4、论界定什么是数学建模？当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的方法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到一个数学结构数学模型，通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。数学建模的全过程应该包括：1分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。2假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。3建立模型：在假设的根底上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。4求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比拟，

5、以此来验证模型的准确性。5模型分析：如果模型与实际比拟吻合，那么要对计算的结果给出其实际含义，并进行解释。事实上，从方法论角度看，数学建模是一种数学思想方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具。从具体教学角度看，数学建模是一种数学活动。三 课题研究的目标 在本课题的研究过程中，根据我们学校学生的实际情况，提出了如下目标：1 激发兴趣、培养习惯、开展思维、培养能力，重视应用、培养创新意识；2 将数学运用于社会，效劳于社会，而运用数学解决实际问题是通过数学建模；3 人人学有价值的数学，人人得到所必需的数学。 以上这些通过建模教学这座桥梁能够到达。四课题研究的对象： 首次使用新教材的省三级重点中学

6、的高一学生，他们的学习方法从传统的向新型的研究性学习转变，逐步培养自己的探究能力。五课题实施的方法与途径1立足课堂教学，积极参与实验，提高课题研究实效2000年5月立项课题，得到了学校教科室领导的大力支持，形成了教师带头，学生积极参与实验的良好气氛，分解课题，让课题研究深入课堂，逐步提高课堂教学效率。一方面，教师以有关教学理论为指导，以教学实践为根底，形成教学与科研相结合的新型教学风格。老师认真研究有关的理论性文章和教学经验总结，丰富自己，提高自身的理论水平和科研能力。另一方面，树立以学生开展为本的新理念，根据面向全体学生、因材施教的原那么，在课堂教学中大胆实践、探索，课堂上，学生人人动手、动

7、脑，通过观察、实验、分析等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的探索创新的意识。1通过数学建模教学使学生增强了“用数学的意识随着对学生全面实施素质教育，培养学生综合能力认识的统一，如何培养学生解决实际问题的能力，培养创造性思维能力很关键。通过构建数学模型训练思维能力，不仅旨在加强数学与实际的联系，而且也是提高学生应用数学的意识，是实施数学素质教育的一个重要方面，所以测试学生应用题解题能力的力度在不断加强。因为数学高考的考试目标是“发挥数学作为根底学科的作用，既重视考查中学数学知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。例1：旅客在车站候车室排队等候检票，并且排队的旅客按一定的

8、速度在增加，设检票速度一定。当车站开放一个窗口时，需用半小时方可将待检旅客全部检票上站；同时开放两个检票口，只需10分钟便可将旅客全部检票进站。现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内旅客全部检票进站。问此时车站最少要同时开放几个检票口？分析：这是一个现实生活中的车站旅客检票问题，涉及到的量比拟多，首先应细致阅读，弄清事理，再用数学符号语言表示。设检票开始时等候检票旅客x人，排队队伍每分钟增加y人，每个检票口每分钟检z人，同时开放n个检票口，就可在5分钟内全部检票进站。依题意得： 由 1 2 得 代入 3 得 3.5， =4故同时开放4个检票口，就可在5分钟内旅客全部检票进站。此例题科学地处理

9、了现实生活中的问题，使数学知识有了用武之地，数学应用的广泛性和工具性决定了构建数学模型培养思维能力和创造意识的独特作用，不管在大学数学的根底课阶段，还是专业课阶段，构建数学模型都是解决问题的重要手段和必要工具，“学数学，是为了用数学。通过构建数学模型训练思维能力不仅是中学数学素质教育的一个重要方面，更增强了数学的应用性，“学以致用。2 通过建模教学激发学生的学习动机中学数学建模能使学生体会到数学与自然及人类社会的密切联系，体会到数学的应用值，培养学生的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心，以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好的人际关系，相互合作的能力，以数学

10、建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进步开展所必需的重要数学事实，以及根本的思想方法和必要的应用技能。如：日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决。如：家庭日用电量的计算，红绿灯管制的设计，住房问题等等都可用根底数学知识，建立数学模型加以解决。选择贴近社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识，在这过程中，既培养了学生应用意识和应用能力的目的，又活泼了课堂教学的气氛，容易引发学生的学习兴趣。另外，以社会热点问题出发，介绍建模方法，如：国家大事，社会热点，市场经济中涉及诸如本钱、利润、储蓄、保险、投标

11、及股份制等，适当地选取融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅能使学生正确的商品经济观念，而且为日后主动以数学的意识、手段处理问题，提供了能力上的准备，从而到达激发学生的学习动机的目的。如增长率中利息单利、复利、分期付款等与时间相关的问题，生物工程中的细胞繁殖及分裂等问题，由我国的第五次人口普查想到人口的增长问题，由春季北方的沙尘暴联想到生态平衡、植被问题、环境保护，我国的资源逐渐减少想到核能的和平利用，联想到物理学上的衰变、裂变等问题，均可建立相应的数学模型求解；又如现在许多工程中的招标就是最优化问题，最正确投资，最小本钱，常常归结为函数的最值问题，学生通过建立相应的目标函数，确定

12、变量的限制条件，运用函数知识和方法解决，增强学生的主动参与意识，同时学生也会发现自我的价值。3通过建模教学培养学生的数学综合应用能力 因为实际问题给出的材料信息，从不同的角度，从不同的方向，用不同的方法或途径，进行思考和分析，构建数学模型，寻求超常规，求变求异的思维方式和解决问题的方法，以培养学生的创造性思维能力，从而提高学生的数学综合应用能力。例2：建造一个容积为8 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为多少元？根据题目情境，经分析，解剖，可将问题抽象为函数问题，即建立函数模型。分析：设池长为x m，由条件，池底面积为4 ，那么池宽

13、为 m，那么水池总造价y元为：y=120 4+2 2 80+2 2 x 80=480+ +320x 此时，教师可引导学生向各个方向思维，寻求解决问题的多样性，变异性，培养他们的综合应用能力。学生们可能作出如下的解答：解法一：应用求函数最值的方法平均不等式均值定理来解决。根据a+b 2 a>0，b>0，即有480+ +320x 480+2 =480+1280=1760元 当且仅当 =320x时，即x=2时， =1760元解法二：将函数转化为方程，利用判别式来解决。y =480+ +320x，xy =480x+1280+320 320 +480y x+1280=0D = 0， 解得 y

14、 1760元，那么水池的最低造价为1760元。解法三 y = 480+ +320x 求出函数的一阶导数； =-1280 +320 ，令 =0，解得 x=2， 当x=2，y取得最小值， =480+ +320 2=480+640+640=1760元针对以上求最小值的各种思路，教师可肯定它们的合理性，阐述相互间的联系，同时指出它们思维方式的差异，学生会发现最值问题既可用二次函数知识，也可用根本不等式来解决最值问题，当然也可建立目标函数后，用求导找最小值，通过建模有效地训练了学生的发散性思维能力，从而增强了学生的综合应用能力。2000年高考试卷中应用问题的考查，就表达了这些：如第6题联系国家的?税法?

15、，渗透“纳税意识的教育，对税制的分段函数进行了处理，用表格表示，在数据的设计上注意给学生的信息提示，引导考生用“估算解决问题；第21题选取了农作物种植本钱与销售收入的问题，渗透“市场经济意识，用图象简明表示数学模型，更贴近考生的知识水平和生活现实；第16题实质上是“视图问题，在工程技术中有广泛应用，它们的考查为考生开展创新意识开拓了空间，同时加强了学生的数学综合运用能力。2充分利用教材，培养建模意识，转变学生学习方式学生的分析和解决实际问题的能力是指学会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和日常生活中的数学问题，会使用数学语言表达问题、进行交流形成用数学的意识，培养学生研究性地学习

16、数学。严士键教授在?数学教育应面向21世纪而努力?一文中指出：“分析问题和解决问题通常意味着以下一些环节：将实际问题化成可以处理的但又对原来的问题有用的数学问题，寻找或创造适当的解决问题的数学方法包括计算方法，有时还需要对问题的解做一些解释和讨论。由此可见，分析和解决实际问题能力的实质就是数学建模的能力。因此，在数学中，重视培养学生数学建模的能力，这是加强数学应用意识，切实提高分析和解决实际问题的能力的有效途径。为此在教学中，无论是内容上还是方法上必须坚持从生活实际出发，引导学生参与考察素材，把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，用数学知识解决问题，产着重把建模思想的萌发，建模的实施作为教学

17、的重点，归纳出解决问题的一般程序。例如，在讲解数列概念和公式时，可以引述其产生的实际背景，加强数学知识的发生过程，培养学生数学创造能力。1充分利用教材中的研究性课题?分期付款?在生活中的应用，让学生用已有的数学知识计算分期付款，然后对照生活中实际的分期付款，两者是否有出入，并分析产生的原因。2根据每家的实际情况该自己家庭设计一份较合理的分期付款的方案等等。平时在讲解数学例题时，选择些实际生活中的例子，选取的例子既接近教材内容，又贴近学生认知水平，如人口增长、房租问题、贷款问题等；由飞机、航空母舰的航行路线建立数学模型球面距离。给学生充分的自主探索时间，要想在课堂上完成自主探究，到达与同学和老师

18、进行实质性交流和探讨的层次，并进一步完成课堂探讨、尝试实践等环节，在一堂课的时间根本不能完成。最好的方法是课题内容确定以后，在课前提供应学生，让学生通过互联网、图书馆、访谈和请教等渠道获取信息和处理信息，使学生有更多的自主探索的时间。提供清楚、明确的目标和任务。课题教学从某种意义上说是一种比拟开放的教学方式，而自学探索这一环节，又是其中最具有开放性的因子。由于传统的数学教学把对学生的学习结果的评价这样原本复杂的事情简单化了：“要么对，要么错，没有选择，虽然研究性学习可以有不同的处理方法，从不同的角度、不同的价值趋向来权衡，但是教师必须说明研究课题的目标和任务，并力求使目标和任务具有以下特征；层

19、次性 、 鼓励与挑战性、 可操作性、方法意义上的启发性。如分期付款这一课题的教学中，在确定课题后，明确提出了以下任务和目标：1 请你阅读完课文后，对照课文的要求，举出一个你现实生活中的类似于分期付款的例子；2 请你根据自己提供的例子，大致说明它的特点；3 理论上说明它是否等比数列的分期付款的应用；现在很多家庭的教育储蓄是否是这一知识的应用；4 根据教材上等比数列的知识，你的计算结果与实际是否相同，为什么？5 请你对所学的研究内容作一个回忆和总结。指导学生认真阅读课本，做好自主探索的最根本的环节。本模式的自主探索，目的不是为了得到研究的终端：研究的结果，而是体验探索的过程，掌握研究的方法，我们的

20、探索需要教材为我们提供相应的指导。因此认真阅读课本，是自学探索最根本的环节，至于如何阅读课本，我们可以采用了解性阅读、针对性阅读、总结与反思性阅读等方法。总之，通过经常性的将数学知识与实际相联系，以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会到数学的实际价值，增强学好数学建模的信心，从而培养学生的数学应用意识。与传统的班级授课制形式有所不同，课题研究的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位，这是因为研究性学习属于解决问题的学习，并且学习者面临的又是些复杂的综合性问题，因此势必需要同学的集体智慧和分工合作。这里，协作既是学习的手段，也是学习的目的，通过互相讨论协作，可以取

21、长补短，取得高质量的成果。所以该环节在自学探究的根底上，在课堂上展开学生之间、师生之间的互相交流与探讨。1 学生个体发言学生根据自己的探究的结果，向同学汇报，这样可以培养学生的概括总结能力和表达能力，也可以培养学生的自主探究情况，获取个人反应的信息，又可以使学生把自己的探究工作做得更好。2 学生间的相互交流在共同参与的过程中，学生通过相互交流与合作，可产生相互启发、相互促进的作用。成绩好、表达能力强、准备充分的同学愿意把自己研究成果展示给大家，这对学习能力不强的同学是一种鼓励、帮助与指导，也可以使能力弱的同学有时间弥补，为最后师生的共同探讨打好根底。3 师生间的共同探讨前苏联教育专家赞科夫提出

22、：教学要利用学生已有开展水平与教学要求之间的矛盾来促进学生的开展，正确地认识学生现有水平和潜在的开展可能，以合理组织教学，使教学建立在让学生通过一定努力所可以到达的智力开展水平和知识水平的根底上，并据此确定知识的广度、深度和教学的进度，以促进每个学生得以积极主动地开展。教师也不是“百科全书，在研究的过程中 ，教师的“权威将不再建立在学生的被动与无知的根底上，而是建立在教师借助学生积极参与以促进其充分开展的智力上。因为一些课题为了引导学生关注科学技术与社会问题，所以它们是与新科技有关。学生经过相互的讨论与交流后，大局部的根底问题都已解决，但还需要教师与学生一起对重要的方法和规律的建立及如何拓展等

23、问题开展讨论六数学建模课题研究要注意的几个问题一建立数学模型要经历对实际问题的分析、解剖，将实际问题抽象建立数学模型经数学方法求解，然后“翻译回到实际问题，成为实际问题的解的过程，但完成这一过程，并不是轻而易举的。例3：某高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录大暴雨，为确保万无一失，指挥补决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的一隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时，但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。指挥部最多可组织到25辆车，问24小时内能否完成防洪堤

24、坝工程？说明理由。可以想象，如果某学生是计算者，那他感受到形势的危急和责任的重大，数学与生命财产连在一起，学生顿感学好数学的重要性，他们马上提笔计算，但建立什么模型，题目中没有任何暗示，有较高的要求，此时介绍数学建模的方法，无疑收到事半功倍的效果。解：1读题：把“问题情境翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系： 各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量20 24车. 小时2建模：设从第一辆车投入工作算起，各车的工作时间为 ， ， 小时， 依题意得，这些数组成一个公差为d= - 小时的等数列，且 24 3求解；当 =24时，应有 + + 20 24 ，即 =25 480， 将 = =244=2

25、0，代入得；25 20 480 可见25辆车陆续投入作业完成20辆车同时作业24小时的工程质量。 由此例可知，要完成数学建模这一过程，学生必须过三关：1 事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件；2 文理关：需要将“问题情境的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；3 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相适应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要教扎实的根底知识和教强的数理能力。 二、建模教学问题的编拟必须具备以下几个特征：1导向性：选编的问题富有时代信息，并具有真实性、科学性、趣味性、新颖性、可行性；2隐蔽性：问题的条件具有一定的隐蔽性；3原始性：引导学生亲自去调查研究，注意材料的原始性；4模拟性：所编的问题应适合他们的知识结构和年龄特征，并对社会问题简化处理；5综合性:：