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1、1 解析几何题汇总2(2020 年北京模拟 -理科)19 (14 分) ( 2020?海淀区一模)已知圆m: (x)2+y2=r2=r2( r0) 若椭圆c:+=1(ab0)的右顶点为圆m 的圆心,离心率为(i)求椭圆c 的方程;(ii)若存在直线l:y=kx,使得直线l 与椭圆 c 分别交于a,b 两点,与圆 m 分别交于g,h 两点,点 g 在线段 ab 上,且|ag|=|bh| ,求圆 m 半径 r 的取值范围考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程803738 专题 : 综合题;分类讨论;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:( i)设椭圆的焦距为2c,由椭圆右顶点为圆心可得a 值,进

2、而由离心率可得c 值,根据平方关系可得 b 值;( ii) 由点 g 在线段 ab 上,且|ag|=|bh| 及对称性知点h 不在线段ab 上,所以要使 |ag|=|bh| ,只要 |ab|=|gh| ,设 a(x1,y1) ,b(x2,y2) ,联立直线方程与椭圆方程消掉y 得 x 的二次方程,利用韦达定理及弦长公式可得|ab|,在圆中利用弦心距及勾股定理可得|gh|,根据 |ab|=|gh|得 r,k 的方程,分离出 r 后按 k 是否为 0 进行讨论,借助基本函数的范围即可求得r 范围;解答:解: (i)设椭圆的焦距为2c,由椭圆右顶点为圆m 的圆心(,0) ,得 a=,又,所以 c=1

3、,b=1所以椭圆c 的方程为:( ii)设 a(x1,y1) ,b(x2,y2) ,由直线 l 与椭圆 c 交于两点 a,b,则,所以( 1+2k2)x22=0,则 x1+x2=0,所以=,点 m(,0)到直线l 的距离 d=,则 |gh|=2,显然,若点 h 也在线段ab 上,则由对称性可知,直线 y=kx 就是 y 轴,矛盾,2 所以要使 |ag|=|bh| ,只要 |ab|=|gh| ,所以=4,=2,当 k=0 时,r=,当 k 0 时,2(1+)=3,又显然2,所以,综上,点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查分类讨论思想,考查学生分析问题解决问题的能力,弦长公

4、式、韦达定理是解决该类问题的基础知识,要熟练掌握19 (14 分) (2020?海淀区二模)已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为 60 的菱形的四个顶点()求椭圆m 的方程;() 直线 l 与椭圆 m 交于 a,b 两点,且线段 ab 的垂直平分线经过点,求 aob(o为原点)面积的最大值考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程1119409专题 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()依题意,可求得 a=,b=1,从而可得椭圆m 的方程;()设a(x1,y1) ,b(x2,y2) ,依题意,直线 ab 有斜率,可分直线ab 的斜率k=0 与直线 ab 的斜率 k 0 讨

5、论,利用弦长公式,再结合基本不等式即可求得各自情况下saob的最大值解答:解: ()因为椭圆+=1(ab 0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60 的菱形的四个顶点, a=,b=1,椭圆 m 的方程为:+y2=1 4 分()设a(x1,y1) ,b(x2,y2) ,因为 ab 的垂直平分线经过点(0,) ,显然直3 线 ab 有斜率,当直线 ab 的斜率为0 时,ab 的垂直平分线为y 轴,则 x1=x2,y1=y2,所以 saob=|2x1|y1|=|x1|y1|=|x1|?=,=, saob,当且仅不当 |x1|=时,saob取得最大值为 7 分当直线 ab 的斜率不为0 时,则设 a

6、b 的方程为y=kx+t ,所以,代入得到( 3k2+1)x2+6ktx+3t23=0,当 =4(9k2+33t2) 0,即 3k2+1t2,方程有两个不同的实数解;又 x1+x2=,= 8分所以=,又=,化简得到3k2+1=4t代入,得到 0t4, 10 分又原点到直线的距离为d=,|ab|=|x1x2|=?,所以 saob=|ab|d|=?,化简得: saob= 12 分 0t4,所以当 t=2 时,即 k=时,saob取得最大值为综上,saob取得最大值为 14 分点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查椭圆的标准方程,着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式,基本不等式的综合运用,考查求

7、解与运算能力,属于难题19 (14 分) (2020?西城区一模)如图,椭圆的左焦点为f,过点 f 的直线交椭圆于 a,b 两点当直线ab 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60 4 ()求该椭圆的离心率;()设线段 ab 的中点为g,ab 的中垂线与x 轴和 y 轴分别交于d,e 两点记 gfd 的面积为 s1,oed(o 为原点)的面积为s2,求的取值范围考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质803738 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()由题意知当直线ab 经过椭圆的顶点(0,b)时,其倾斜角为60 ,设 f( c,0) ,由直线斜率可求得b,c 关系式,再与 a2=

8、b2+c2联立可得a,c 关系,由此即可求得离心率;()由()椭圆方程可化为,设 a(x1,y1) ,b(x2,y2) 由题意直线ab 不能与 x,y 轴垂直,故设直线ab 的方程为 y=k(x+c) ,将其代入椭圆方程消掉y 变为关于x 的二次方程,由韦达定理及中点坐标公式可用k,c 表示出中点g 的坐标,由 gdab 得 kgd?k=1,则d 点横坐标也可表示出来,易知 gfd oed,故=,用两点间距离公式即可表示出来,根据式子结构特点可求得的范围;解答:解: ()依题意,当直线 ab 经过椭圆的顶点(0,b)时,其倾斜角为60 设 f( c,0) ,则将代入 a2=b2+c2,得 a=

9、2c所以椭圆的离心率为()由() ,椭圆的方程可设为,设 a(x1,y1) ,b( x2,y2) 依题意,直线 ab 不能与 x,y 轴垂直,故设直线 ab 的方程为y=k(x+c) ,将其代入 3x2+4y2=12c2,整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c212c2=0则,所以5 因为 gdab ,所以,因为 gfd oed,所以=所以的取值范围是(9,+) 点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质,考查学生分析解决问题的能力,运算量大,综合性强,对能力要求较高18 (13 分) (2020?西城区二模,石景山区二模)如图,椭圆的左顶点为a,m 是椭圆 c 上异于点a

10、 的任意一点,点 p 与点 a 关于点 m 对称()若点p 的坐标为,求 m 的值;()若椭圆c 上存在点 m,使得 op om,求 m 的取值范围考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质803738 专题 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程6 分析:()由题意知m 是线段 ap 的中点,由中点坐标公式可得m 坐标,代入椭圆方程即可得到m 值;()设m(x0,y0) ( 1x01) ,则,由中点坐标公式可用m 坐标表示p点坐标,由 opom 得,联立消去y0,分离出 m 用基本不等式即可求得m 的范围;解答:解: ()依题意,m 是线段 ap 的中点,因为 a( 1,0) ,所以点

11、m 的坐标为由于点 m 在椭圆 c 上,所以,解得()设m(x0,y0) ( 1x01) ,则,因为m 是线段 ap 的中点,所以p(2x0+1,2y0) 因为opom,所以,所以,即由 ,消去 y0,整理得所以,当且仅当时,上式等号成立所以 m 的取值范围是点评:本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质,属中档题,垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段,要灵活运用19 (13 分) (2020?东城区一模) 已知椭圆(ab0)的两个焦点分别为f1,f2,离心率为,过 f1的直线 l 与椭圆 c 交于 m,n 两点,且 mnf2的周长为8()求椭圆c 的方程;7 ()过原点o 的两条互

12、相垂直的射线与椭圆c 分别交于 a,b 两点,证明:点o 到直线 ab 的距离为定值,并求出这个定值考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程1119409专题 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:() 由 mnf2的周长为8,得 4a=8,由,得,从而可求得b;()分情况进行讨论:由题意,当直线 ab 的斜率不存在,此时可设a( x0,x0) ,b(x0, x0) ,再由 a、 b 在椭圆上可求x0,此时易求点o 到直线 ab 的距离;当直线ab 的斜率存在时,设直线 ab 的方程为y=kx+m ,代入椭圆方程消掉y 得 x 的二次方程,知 0,由 oaob,得x1x2+y1y2

13、=0,即 x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=0,整理后代入韦达定理即可得m,k 关系式,由点到直线的距离公式可求得点o 到直线 ab 的距离,综合两种情况可得结论,注意检验0解答:解: (i)由题意知,4a=8,所以 a=2因为,所以,所以 b2=3所以椭圆c 的方程为( ii)由题意,当直线 ab 的斜率不存在,此时可设a(x0,x0) ,b(x0,x0) 又 a,b 两点在椭圆c 上,所以,所以点 o 到直线 ab 的距离当直线 ab 的斜率存在时,设直线 ab 的方程为y=kx+m 由消去 y 得( 3+4k2)x2+8kmx+4m212=0由已知 0,设 a(x1,y1) ,b

14、(x2,y2) 所以,因为 oa ob,所以 x1x2+y1y2=0所以 x1x2+(kx1+m) ( kx2+m)=0,即所以整理得 7m2=12(k2+1) ,满足 08 所以点 o 到直线 ab 的距离为定值点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查学生分析解决问题的能力,弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识,要熟练掌握19 (13 分) (2020?东城区二模) 已知椭圆c:( ab0)的离心率 e=,原点到过点a(a,0) ,b(0,b)的直线的距离是(1)求椭圆c 的方程;(2)若椭圆c 上一动点 p(x0,y0)关于直线y=2x 的对称点为p1( x1,y

15、1) ,求 x12+y12的取值范围(3)如果直线y=kx+1 (k 0)交椭圆 c 于不同的两点e,f,且 e,f 都在以 b 为圆心的圆上,求 k的值考点 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程1119409专题 : 圆锥曲线中的最值与范围问题分析:( 1)利用椭圆的离心率,a2=b2+c2,及其点到直线的距离公式即可得到a,b;( 2)利用轴对称即可得到点p(x0,y0)与其对称点p1(x1,y1)的坐标之间的关系,再利用点p(x0,y0)满足椭圆c 的方程:得到关系式,进而即可求出;( 3)设 e( x2,y2) ,f(x3,y3) ,ef 的中点是m(xm,ym) ,则 bm

16、ef 得到关系式,把直线 ef 的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可解答:解: (1),a2=b2+c2, a=2b原点到直线ab:的距离,解得 a=4,b=2故所求椭圆c 的方程为( 2)点 p( x0,y0)关于直线y=2x 的对称点为点p1( x1,y1) ,解得,9 点 p(x0,y0)在椭圆c:上, 4 x0 4,的取值范围为4,16( 3)由题意消去 y,整理得( 1+4k2)x2+8kx12=0可知 0设 e(x2,y2) ,f(x3,y3) ,ef 的中点是m(xm,ym) ,则,则,ym=kxm+1= xm+kym+2k=0即又 k 0,点评:本题综合考查了椭圆的标准

17、方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法,熟悉解题模式是解题的关键19 (14 分) (2020?朝阳区一模) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆c 过点,离心率为,点 a 为其右顶点过点b(1,0)作直线l 与椭圆 c 相交于 e,f 两点,直线 ae,af 与直线 x=3 分别交于点m,n()求椭圆c 的方程;()求的取值范围考平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程803738 10 点:专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()设椭圆的方程为,依题意可得a、b、c 的方程组,解之可得方程

18、;()由()可知点 a 的坐标为 (2,0) (1)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设点e 在 x 轴上方,可得; ( 2)当直线 l 的斜率存在时,写直线的方程,联立方程组,消 y 并整理得( 4k2+1) x28k2x+4k24=0 进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为,由 k 的范围可得其范围,综合可得解答:解: ()由题意,设椭圆的方程为,依题意得解之可得a2=4,b2=1所以椭圆c 的方程为 (4 分)()由()可知点a 的坐标为( 2,0) (1)当直线l 的斜率不存在时,不妨设点 e 在 x 轴上方,易得,所以 (6 分)(2)当直线l 的斜率存在时,由题意可设直线l 的方程

19、为y=k (x1) ,显然 k=0 时,不符合题意由消 y 并整理得( 4k2+1)x28k2x+4k24=0设 e(x1,y1) ,f(x2,y2) ,则直线 ae,af 的方程分别为:,令 x=3,则所以, (10 分)所以11 = (12 分)因为 k20,所以 16k2+44,所以,即综上所述,的取值范围是 (14 分)点评:本题考查平面向量数量积的运算,涉及椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系的应用,属中档题19 (14 分) ( 2020?朝阳区二模)已知椭圆c:的右焦点为f(1,0) ,短轴的端点分别为 b1,b2,且=a()求椭圆c 的方程;()过点f 且斜率为k(k 0)

20、的直线 l 交椭圆于m,n 两点,弦 mn 的垂直平分线与x 轴相交于点d设弦 mn 的中点为 p,试求的取值范围考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程803738 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()利用数量积即可得到1b2=a,又 a2b2=1,即可解得a、b;()把直线l 的方程与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系即可得到线段mn 的中点 p 的坐标,利用弦长公式即可得到|mn|,利用点斜式即可得到线段mn 的垂直平分线dp 的方程,利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|dp|,进而得出的关于斜率k 的表达式,即可得到其取值范围解答:解: ()由题意不妨设b1(0,

21、b) ,b2(0,b) ,则,12 =a, 1b2=a,又 a2b2=1,解得 a=2,椭圆 c 的方程为;()由题意得直线l 的方程为y=k( x1) 联立得( 3+4k2)x28k2x+4k212=0设 m(x1,y1) ,n( x2,y2) ,则,弦 mn 的中点 p|mn|=直线 pd 的方程为|dp|=又 k2+11,的取值范围是点评:熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段mn 的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键. 18(14 分) (2020?通州区一模) 已知椭圆的中

22、心在原点o,短半轴的端点到其右焦点f ( 2,0) 的距离为,过焦点 f 作直线 l,交椭圆于a,b 两点()求这个椭圆的标准方程;13 ()若椭圆上有一点c,使四边形aobc 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程1119456专题 : 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()设椭圆方程为,由焦点坐标可得c,由短轴端点到焦点距离可得a,根据 a2=b2+c2可得 b;()可判断直线lx 轴时,不符合题意;设直线l 的方程为y=k(x 2) ,点 a(x1,y1) ,b( x2,y2) ,把 l 方程代入椭圆方程消掉y 得 x 的二次方程,由四边

23、形 aobc 为平行四边形,得,根据韦达定理可得点c 的坐标,代入椭圆方程即可求得k 值;解答:解: ()由已知,可设椭圆方程为,则 a=,c=2所以 b=,所以椭圆方程为()若直线lx 轴,则平行四边形aobc 中,点 c 与点 o 关于直线l 对称,此时点 c 坐标为( 2c,0) 因为 2ca,所以点 c 在椭圆外,所以直线l 与 x 轴不垂直于是,设直线 l 的方程为y=k(x2) ,点 a(x1,y1) ,b(x2,y2) ,则,整理得,(3+5k2)x220k2x+20k230=0,所以因为四边形aobc 为平行四边形,所以,所以点 c 的坐标为,所以,解得 k2=1,所以 k=

24、1点评:本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系,考查向量的运算,考查学生分析解决问题的能力,考查分类讨论思想,属中档题14 19 (14 分) (2020?顺义区一模)已知椭圆c:+y2=1( a1)的上顶点为a,左焦点为 f,直线 af 与圆m:x2+y2+6x2y+7=0 相切过点( 0,)的直线与椭圆c 交于 p,q 两点(i)求椭圆c 的方程;(ii)当 apq 的面积达到最大时,求直线的方程考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程;椭圆的标准方程1119456专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:(i)写出直线af 的方程,由直线 af 与圆 m 相切得关于c 的方程,解

25、出 c 再由 a2=c2+b2即可求得a 值;(ii )易判断直线pq 的斜率存在,设出其点斜式方程,根据弦长公式表示出pq,根据点到直线的距离公式表示出点a(0,1)到直线pq 的距离,由三角形面积公式可表示出apq 的面积,根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k 的值;解答:解: (i)将圆 m 的一般方程x2+y2+6x2y+7=0 化为标准方程(x+3)2+(y1)2=3,则圆 m 的圆心 m(3,1) ,半径由得直线 af 的方程为xcy+c=0由直线 af 与圆 m 相切,得,解得或(舍去)当时,a2=c2+1=3,故椭圆 c 的方程为(ii )由题意可知,直线 p

26、q 的斜率存在,设直线的斜率为k,则直线 pq 的方程为因为点在椭圆内,所以对任意k r,直线都与椭圆c 交于不同的两点由得设点 p,q 的坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2) ,则,所以=15 又因为点 a(0,1)到直线的距离,所以 apq 的面积为设,则 0t 1 且,因为 0t 1,所以当 t=1 时,apq 的面积 s 达到最大,此时,即 k=0故当 apq 的面积达到最大时,直线的方程为点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆方程的求解,考查学生综合运用知识解决问题的能力,有关的基本公式、常用方程是解决问题的基础19(14 分) (2020?顺义区二模) 已知椭圆的两

27、个焦点分别为f1,f2,且|f1f2|=2,点 p 在椭圆上,且 pf1f2的周长为 6(i)求椭圆c 的方程;(ii)若点 p 的坐标为( 2,1) ,不过原点o 的直线 l 与椭圆 c 相交于 a,b 两点,设线段 ab 的中点为 m,点 p 到直线 l 的距离为d,且 m,o,p三点共线求的最大值考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程1119456专题 : 圆锥曲线的定义、性质与方程分析:( i)利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2,2a+2c=6解得 a,c,再利用 b2=a2c2解出即可;( ii) 设直线 l 的方程为y=kx+m(m 0) 与椭圆的方程联立,得到判别式0

28、 及根与系数的关系,由中点坐标公式得到中点m 的坐标,利用 m,o,p三点共线,得到 kom=kop,解得 k,再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|ab|2及 d2,利用二次函数的单调性即可得出最值解答:解: (i)由题意得2c=2,2a+2c=6解得 a=2,c=1,又 b2=a2 c2=3,所以椭圆c 的方程为( ii)设 a(x1,y1) ,b(x2,y2) 当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点 m 在 x 轴上,且与 o 点不重合,显然 m,o,p 三点不共线,不符合题设条件故可设直线l 的方程为y=kx+m (m 0) 由消去 y 整理得( 3+4k2) x2

29、+8kmx+4m212=016 则 =64k2m24(3+4k2) (4m212) 0,所以点 m 的坐标为 m,o,p 三点共线, kom=kop, m 0,此时方程为3x23mx+m23=0,则 =3(12m2) 0,得x1+x2=m, |ab|2=,又=,=,故当时,的最大值为点评:熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l 的方程与椭圆的方程联立得到判别式0 及根与系数的关系、中点坐标公式、 三点共线得到kom=kop、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键本题需要较强的计算能力19 (14 分) ( 2020?石景山一模)设椭

30、圆c:的左、右焦点分别为f1、f2,上顶点为 a,在 x 轴负半轴上有一点b,满足,且 abaf2()求椭圆c 的离心率;()若过a、b、f2三点的圆恰好与直线相切,求椭圆 c 的方程;()在()的条件下,过右焦点f2作斜率为k 的直线 l 与椭圆 c 交于 m、n 两点,若点 p(m,0)使得以 pm,pn 为邻边的平行四边形是菱形,求的取值范围17 考点 : 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆的位置关系;椭圆的简单性质1119435专题 : 综合题分析:()由题意知f1( c,0) ,f2(c,0) ,a(0,b) ,由知 f1为 bf2的中点,由 ab af2,知 rtabf2中,bf22=a

31、b2+af22,由此能求出椭圆的离心率() 由,知,rt abf2的外接圆圆心为 (,0) ,半径 r=a,所以,由此能求出椭圆方程() 由 f2(1,0) ,l:y=k(x1) ,设 m(x1,y1) ,n(x2,y2) ,由,得( 3+4k2) x28k2x+4k212=0,由此能求出m 的取值范围解答:解: ()由题意知f1( c,0) ,f2(c,0) ,a(0,b)知 f1为 bf2的中点,ab af2 rtabf2中,bf22=ab2+af22,又 a2=b2+c2 a=2c 故椭圆的离心率 (3 分)()由()知得,于是,rt abf2的外接圆圆心为(,0) ,半径 r=a,所以

32、,解得 a=2, c=1,18 所求椭圆方程为 (6 分)()由()知f2(1,0) ,l:y=k(x1) ,设 m(x1,y1) ,n(x2,y2) ,由,代入得( 3+4k2)x28k2x+4k212=0 则,y1+y2=k(x1+x22) (8 分)由于菱形对角线垂直,则故 x1+x22m+k(y1+y2)=0 即 x1+x22m+k2(x1+x22)=0, (10 分)由已知条件知k 0,故 m 的取值范围是 (12 分)点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想19 (1

33、3 分) (2020?门头沟区一模) 在平面直角坐标系xoy 中,动点 p 到直线 l:x=2 的距离是到点f(1,0)的距离的倍()求动点p 的轨迹方程;()设直线 fp 与()中曲线交于点q,与 l 交于点 a,分别过点p 和 q 作 l 的垂线,垂足为 m,n,问:是否存在点p 使得 apm 的面积是 aqn 面积的 9 倍?若存在,求出点 p 的坐标;若不存在,说明理由考点 : 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系803738 专题 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:( i)设点 p 的坐标为( x,y) ,根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式,结合题意建立关于 x、 y 的等

34、式,化简整理可得x2+2y2=2,所以动点 p 的轨迹方程为椭圆+y2=1;( ii)设点 p(x1,y1) ,q(x2,y2) 将直线fp 方程 x=ty+1 与椭圆消去x,得到关于y 的一19 元二次方程,结合根与系数的关系得到y1+y2和 y1y2关于 t 的表达式若apm 的面积是 aqn 面积的 9 倍,由平几知识可得aqn apm ,则 pm=3qn ,结合椭圆的性质得pf=3qf因此得到y1=3y2结合前面的等式,解出 t=1,从而得到存在点p(0, 1)使得 apm 的面积是 aqn面积的 9 倍解答:解: ()设点p 的坐标为( x,y) 由题意知?=|2x| (3 分)化简

35、得 x2+2y2=2,动点 p的轨迹方程为x2+2y2=2,即+y2=1(5 分)()设直线fp的方程为x=ty+1 ,点 p(x1,y1) ,q(x2,y2)因为 aqn apm ,所以 pm=3qn ,由已知得pf=3qf,所以有 y1= 3y2 (1)(7 分)由,消去 x 得( t2+2) y2+2ty 1=0, 0 且 y1+y2= ( 2) ,y1y2= (3)(10 分)联解( 1) (2) (3) ,得 t=1,y1=1,y2=或 t=1,y1=1,y2=存在点p(0, 1)使得 apm 的面积是 aqn 面积的 9 倍(13 分)点评:本题给出动点p 的轨迹是椭圆,探索椭圆的

36、焦点弦所在直线与准线相交构成三角形的面积问题着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系和三角形相似等知识,属于中档题19 (13 分) (2020?丰台区一模) 已知以原点为对称中心、f(2,0)为右焦点的椭圆c 过 p (2,) ,直线 l:y=kx+m (k 0)交椭圆c 于不同的两点a,b()求椭圆c 的方程;()是否存在实数k,使线段 ab 的垂直平分线经过点q(0,3)?若存在求出k 的取值范围;若不存在,请说明理由考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程1119456专题 : 圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()设出椭圆方程,由给出的椭圆焦点和椭圆过点p(2,) ,联

37、立列出关于a,b 的方程组,求解后则椭圆方程可求;()存在实数k,使线段 ab 的垂直平分线经过点q(0,3) ,由给出的椭圆方程和直线ab 方程联立,化为关于x 的方程后有根与系数关系写出ab 中点坐标,由 ab 的中点和q(0,3)的连线和直线ab 垂直得到直线ab 的斜率和截距的关系,代入判别时候不满足判别式大于0,说明假设不成立,得到结论20 解答:解: ()设椭圆c 的方程为(ab0) , c=2,且椭圆过点p(2,) ,所以,解得 a2=8,b2=4,所以椭圆c 的方程为;()假设存在斜率为k 的直线,其垂直平分线经过点q(0,3) ,设 a(x1,y1) 、b(x2,y2) ,a

38、b 的中点为n(x0,y0) ,由,得( 1+2k2)x2+4mkx+2m28=0,则 =16m2k24(1+2k2) (2m28)=64k28m2+320,所以 8k2 m2+40,又,线段 ab 的垂直平分线过点q(0,3) ,knq?k=1,即, m=3+6k2,代入 0 整理,得 36k4+28k2+50,此式显然不成立不存在满足题意的k 的值点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了设而不求的解题方法,属中档题19 (14 分) (2020?丰台区二模)已知椭圆c:的短轴的端点分别为a,b,直线 am ,bm 分别与椭圆 c 交于 e,f 两点,其中点 m (

39、m,) 满足 m 0,且()求椭圆c 的离心率 e;()用m 表示点 e,f 的坐标;()若 bme 面积是 amf 面积的 5 倍,求 m 的值考点 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质1119456专题 : 圆锥曲线的定义、性质与方程分析:()利用椭圆的离心率计算公式;21 ()利用点斜式分别写出直线am 、bm 的方程,与椭圆的方程联立即可得到点e、f 的坐标;()利用三角形的面积公式及其关系得到,再利用坐标表示出即可得到m 的值解答:解: ()依题意知a=2,;() a(0,1) ,b(0,1) ,m ( m,) ,且 m 0,直线 am 的斜率为k1=,直线 bm 斜率为 k2=

40、,直线 am 的方程为y=,直线 bm 的方程为y=,由得( m2+1)x24mx=0,由得( 9+m2)x212mx=0 ,;() ,amf= bme ,5samf=sbme, 5|ma|mf|=|mb|me| , m 0,整理方程得,即( m23) (m21)=0,又,m23 0,m2=1, m= 1 为所求点评:熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键19 (14 分) ( 2020?房山区一模)已知抛物线c:y2=2px 的焦点坐标为f(1,0) ,过 f 的直线 l 交抛物线c于 a,b 两点,直线 ao ,

41、bo 分别与直线m:x=2 相交于 m,n 两点()求抛物线c 的方程;()证明 abo 与 mno 的面积之比为定值考点 : 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程803738 专题 : 圆锥曲线的定义、性质与方程22 分析:( i)根据焦点的坐标,求得 p即可;( ii)根据直线l 与 x 轴是否垂直,分两种情况求解abo 与 mno 的面积之比,验证即可解答:解: ()由焦点坐标为(1,0)可知,p=2 抛物线c 的方程为y2=4x ()当直线l 垂直于 x 轴时,abo 与 mno 相似,当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 ab 方程为 y=k (x 1) ,设 m( 2,ym)

42、,n( 2,yn) ,a( x1,y1) ,b(x2,y2) ,解整理得k2x2( 4+2k2)x+k2=0, x1?x2=1综上点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系及抛物线的标准方程19(14 分)( 2020?房山区二模) 已知椭圆c:的离心率为,且过点 直线交椭圆 c 于 b,d(不与点a 重合)两点()求椭圆c 的方程;() abd 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由考点 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程803738 专题 : 圆锥曲线中的最值与范围问题分析:()利用椭圆的标准方程、离心率及a2=b2+c2即可得出;( 2)把直线bd 的方程与

43、椭圆的方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|bd|,利用点到直线的距离公式即可得到点a 到直线 bd 的距离,利用三角形的面积公式得到abd 的面积,再利用基本不等式的性质即可得出其最大值解答:解: ()由题意可得,解得,椭圆 c 的方程为;23 ()设b(x1,y1) ,d(x2,y2) 由消去 y 得到,直线与椭圆有两个不同的交点, =82m20,解得 2m2,=点 a 到直线 bd 的距离 d=当且仅当m= ( 2,2)时取等号当时,abd 的面积取得最大值点评:熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离

44、公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键19 (14 分) ( 2020?大兴区一模)已知动点p 到点 a( 2,0)与点 b( 2,0)的斜率之积为,点 p的轨迹为曲线c()求曲线c 的方程;()若点q 为曲线 c 上的一点,直线 aq ,bq 与直线 x=4 分别交于 m、n 两点,直线 bm 与椭圆的交点为 d求证: a、d、n 三点共线考点 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程1119456专题 : 圆锥曲线中的最值与范围问题分析:( i)设 p点坐标( x,y) ,利用斜率计算公式即可得到,化简即可得到曲线c的方程;( ii)由已知直线aq 的斜率存在且不等于0,

45、设方程为y=k(x+2) ,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,即可得到d,n 的坐标,证明 kad=kan即可得到a、d、n 三点共线解答:解: (i)设 p点坐标( x,y) ,则(x 2) ,( x 2) ,由已知,化简得:所求曲线c 的方程为(x2) ( ii)由已知直线aq 的斜率存在且不等于0,设方程为y=k(x+2) ,24 由,消去 y 得: (1+4k2)x2+16k2x+16k2 4=0 (1) 因为 2,xq是方程( 1)的两个根,所以,得,又,所以当 x=4,得 ym=6k,即 m( 4,6k) 又直线 bq 的斜率为,方程为,当 x=4 时,得,即直线 bm 的斜率为

46、3k,方程为 y=3k(x2) 由,消去 y 得: ( 1+36k2)x2144k2x+144k24=0 (2) 因为 2,xd是方程( 2)的两个根,所以,得,又,即由上述计算:a( 2,0) ,因为,所以 kad=kan所以 a、d、n 三点共线点评:本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程、直线与椭圆的位置关系、利用斜率线段证明三点共线等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想19 (13 分) ( 2020?昌平区二模)如图已知椭圆的长轴为ab,过点 b 的直线 l 与 x轴垂直,椭圆的离心率,f1为椭圆的左焦点且=1(i)求椭圆的标准方程;(ii)设 p 是椭圆上异于a、b 的任意一点,phx 轴,h 为垂足,延长 hp 到点 q 使得 hp=pq连接aq 并延长交直线l 于点 m,n 为 mb 的中点,判定直线 qn 与以 ab 为直径的圆o 的位置关

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