高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第十三章合情推理与演绎推理

1、1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳 )特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比 )特点：由特殊到特殊的推理(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演

2、绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有 3 的倍数都是9 的倍数，某数m 是 3 的倍数，则m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,

3、3，那么这个数列的通项公式是ann(nn*)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()1观察下列各式：a b1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于 ()a28 b 76c123 d199答案c解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10 b10123.2下面几种推理过程是演绎推理的是()a在数列 an 中， a11， an12(an11an1)(n2)，由此归纳数列 an的通项公式b由平面三角形的性质，推测空间四面体性质c两直线平行， 同旁内角互补， 如果

4、 a 和 b 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则 a b 180d某校高二共10 个班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此推测各班都超过50 人答案c解析a、d 是归纳推理， b 是类比推理， c 符合三段论模式，故选c.3 (2017 济南调研 )类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_答案解析显然 正确；对于 ，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，

5、也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交4(教材改编 )在等差数列 an 中，若 a100，则有 a1a2 an a1 a2 a19n (n19，nn*)成立，类比上述性质， 在等比数列 bn中， 若 b91， 则存在的等式为_答案b1b2bn b1b2b17n(n17，nn*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29b1n b17 n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n17，nn*)5(2017 西安质检 )观察下列式子：1,121,1 2321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nn*,1 2 n 21_.答案n2解析

6、 112,12122,1 232132，12343 2142，归纳可得12 n 21n2.题型一归纳推理命题点 1与数字有关的等式的推理例 1(2016 山东 )观察下列等式：sin 32 sin 2324312；sin 52 sin 252 sin 352 sin 452432 3；sin 72 sin 272 sin 372sin 6724334；sin 92 sin 292 sin 392sin 8924345；照此规律，sin 2n12 sin 22n12 sin 32n12sin 2n2n12 _.答案43n(n1)解析观察等式右边的规律：第1 个数都是43，第 2 个数对应行数n，

7、第 3 个数为 n1.命题点 2与不等式有关的推理例 2(2016 山西四校联考)已知 x(0， )， 观察下列各式： x1x2，x4x2x2x24x23，x27x3x3x3x327x34，类比得xaxnn 1(nn*)，则 a_.答案nn解析第一个式子是n1 的情况，此时a111；第二个式子是n2 的情况，此时a224；第三个式子是n3 的情况，此时a 3327，归纳可知a nn.命题点 3与数列有关的推理例 3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第 n个三角形数为n n 1212n212n，记第 n 个 k 边形数为n(n，k)(k3)，以下列出了部

8、分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数n(n,3)12n212n，正方形数n(n,4)n2，五边形数n(n,5)32n212n，六边形数n(n,6)2n2 n.可以推测n(n，k)的表达式，由此计算n(10,24) _.答案1 000解析由 n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推测：当k 为偶数时， n(n，k)k22n24k2n，n(10,24)24221004242101 1001001 000.命题点 4与图形变化有关的推理例 4(2017 大连调研 )某种树的分枝生长规律如图所示，第1 年到第5 年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10 年树的分枝数为()a21 b

9、34 c52 d55答案d解析由 2 11,312,523 知，从第三项起， 每一项都等于前两项的和，则第 6 年为8，第 7 年为 13，第 8 年为 21，第 9 年为 34，第 10 年为 55，故选 d.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性(1)(201

10、5 陕西 )观察下列等式：11212，11213141314，11213141516141516，据此规律，第 n个等式可为 _(2)(2016抚顺模拟 )观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_答案(1)112131412n112n1n11n 212n(2)183解析(1)等式左边的特征：第 1 个等式有2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，故第 n个等式左边有2n 项且正负交错， 应为 112131412n112n； 等式右边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第n 个有 n 项，且由前几个的规律不难发现第 n个等式右边应

11、为1n11n2 12n.(2)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，“ x”处应填的数字是325272102183.题型二类比推理例 5(1)(2017 西安月考 )对于命题： 如果 o 是线段 ab 上一点， 则|ob|oa|oa|ob0；将它类比到平面的情形是：若o 是 abc 内一点，有sobc oasoca obsoba oc0；将它类比到空间的情形应该是：若o 是四面体abcd 内一点，则有_(2)求111的值时，采用了如下方法：令111 x，则有x1 x， 解得 x152(负值已舍去 ) 可用类比的方法， 求得 11211121的值为 _答案(1)vobcd oavoac

12、d obvoabd ocvoabc od0(2)132解析(1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为vobcd oa vo acd obvo abd ocvo abc od0.(2)令 1121 x，则有 1121xx，解得 x132(负值已舍去 )思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等在平面上，设ha，hb，hc是三角形abc 三条边上的高， p 为三角

13、形内任一点，p 到相应三边的距离分别为pa， pb，pc，我们可以得到结论：pahapbhbpchc1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_答案pahapbhbpchcpdhd1解析设 ha，hb，hc，hd分别是三棱锥abcd 四个面上的高，p 为三棱锥abcd 内任一点， p 到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，于是可以得出结论：pahapbhbpchcpdhd1.题型三演绎推理例 6设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 sn，满足 4sna2n14n 1，nn*，且 a2，a5，a14构成等比数列(1)证明： a24a1 5；(2)求数列 an 的通项公式；(3)证明

14、：对一切正整数n，有1a1a21a2a31anan10，a24a15.(2)解当 n2 时， 4sn1a2n4(n 1)1，4an4sn4sn 1a2n1a2n4，即 a2n1a2n4an 4(an2)2，又 an0，an 1an2，当 n2 时， an 是公差为 2 的等差数列又 a2， a5，a14成等比数列，a25a2 a14，即 (a26)2a2(a224)，解得 a23.由(1)知 a11，又 a2 a1312，数列 an 是首项 a11，公差 d2 的等差数列an2n 1.(3)证明1a1a21a2a31anan1113135157 12n1 2n112(113)(1315)(12

15、n 112n 1)12(112n1)12.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为()a大前提错误b小前提错误c推理形式错误d非以上错误(2)(2016洛阳模拟 )下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()a大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数b大前提：无限不循环小数是无理数；小前提

16、：是无限不循环小数；结论：是无理数c大前提： 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数d大前提： 是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)c(2)b解析(1)因为大前提 “鹅吃白菜 ”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜 ”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误(2)a 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故a 错误； c、d 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以c、d 都不正确，只有b 正确，故选b.10高考中的合情推理问题考点分析

17、合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列 an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn ，可以推测：b2 014是数列 an的第 _项；b2k1 _.(用 k 表示 )(2)设 s， t 是 r

18、 的两个非空子集， 如果存在一个从s到 t的函数 yf(x)满足： (i)tf(x)|xs；(ii) 对任意 x1，x2s，当 x1x2时，恒有 f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_an*，bn；a x|1x3，b x|x 8 或 0 x10 ；a x|0 x1 ，br；az，bq.解析(1)an12 nn n12，b1452 a4，b2562 a5，b39 252a9，b425 112a10，b514 3 52 a14，b635 162 a15，b2 0142 014252 0142512a5 035.由知 b2k12k112512k112525k

19、 5k12.(2)对于，取f(x)x1， xn*，所以 an*，bn 是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x) 8，x 1，x1， 1x0，x21，0 x3，所以 a x|1 x3， b x|x 8 或 0 x10是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x)tan( x2)(0 x1)，所以 a x|0 x0 且 a1)是增函数，而函数 y12logx是对数函数，所以y12logx是增函数”所得结论错误的原因是()a大前提错误b小前提错误c推理形式错误d大前提和小前提都错误答案a解析因为当 a1 时， ylogax 在定义域内单调递增，当0a|ab|，则 p 点的轨迹为椭圆b由 a11，an3

20、n 1，求出 s1，s2，s3，猜想出数列的前n 项和 sn的表达式c由圆 x2 y2 r2的面积 r2，猜想出椭圆x2a2y2b21 的面积 s abd科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案b解析从 s1，s2，s3猜想出数列的前n 项和 sn，是从特殊到一般的推理，所以 b 是归纳推理，故应选 b.3(2016 西安八校联考)观察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，则式子 3?5是第 ()a22 项b23 项c24 项d25 项答案c解析两数和为2 的有 1 个，和为3 的有 2 个，和为4 的有 3 个，和为5 的有 4 个，和为6的有

21、5个，和为7 的有 6 个，前面共有21 个， 3?5 是和为 8 的第 3 项，所以为第24 项4(2016 泉州模拟 )正偶数列有一个有趣的现象：246； 810 121416； 18202224262830，按照这样的规律，则2 016 所在等式的序号为()a29 b30 c31 d32答案c解析由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7， ，2n1，其前n 项和snn3 2n1 2n(n 2)且 s311 023， 即第 31 个等式中最后一个偶数是1 02322 046，且第 31 个等式中含有63 个偶数，故2 016 在第 31 个等式中5若数列 an是等差数列，则数列

22、bn( bna1a2 ann)也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列 cn是等比数列，且 dn也是等比数列，则dn的表达式应为 ()adnc1c2 cnnb dnc1 c2 cnncdnncn1cn2 cnnnddnnc1 c2 cn答案d解析若 an是等差数列，则a1a2 an na1n n12d，bna1n12dd2na1d2，即 bn为等差数列；若cn是等比数列，则 c1 c2 cn cn1 q12(n1)c112n nq，dnnc1 c2 cn c112nq，即 dn 为等比数列，故选d.6把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设aij(i，jn*)是位于这个三角形数表中从上

23、往下第i 行， 从左往右数第j 个数，如 a428， 若 aij2 009， 则 i 与 j 的和为 _答案107解析由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列， 2 00921 0051， 所以 2 009 为第 1 005个奇数，又前31 个奇数行内数的个数为961，前 32 个奇数行内数的个数为1 024，故 2 009在第 32 个奇数行内， 则 i63，因为第 63 行第 1 个数为 2962 11 923,2 0091 923 2(j1)，所以 j44，所以 ij107.7若 p0(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21(ab0)外，过 p0作椭圆的两条切线的切点分别为p1，p2，则切点

24、弦p1p2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21，那么对于双曲线则有如下命题：若p0(x0， y0)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)外，过 p0作双曲线的两条切线，切点分别为p1，p2，则切点弦p1p2所在直线的方程是_答案x0 xa2y0yb2 1解析设 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则 p1，p2的切线方程分别是x1xa2y1yb21，x2xa2y2yb21.因为 p0(x0，y0)在这两条切线上，故有x1x0a2y1y0b21，x2x0a2y2y0b21，这说明 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线x0 xa2y0yb21 上，故切点弦p1p2所在的直线方程是

25、x0 xa2y0yb21.8.如图，我们知道，圆环也可以看作线段ab 绕圆心 o 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积s( r2r2)(r r) 2 rr2.所以，圆环的面积等于以线段abrr 为宽，以ab 中点绕圆心o 旋转一周所形成的圆的周长2 rr2为长的矩形面积请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域m( x，y)|(xd)2 y2 r2( 其中 0rd)绕 y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_答案22r2d解析平面区域m 的面积为 r2，由类比知识可知：平面区域m 绕 y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为 r2)为底，以o 为

26、圆心、 d 为半径的圆的周长 2 d 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积v r22 d22r2d.9设 f(x)13x3，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)1303131311313 1333 1313 1333，同理可得f(1)f(2)33，f(2)f(3)33.由此猜想f(x)f(1x)33.证明： f(x)f(1 x)13x3131x313x33x333x13x33x333x33x33 3x33.10(2016 泉州模拟 )先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知 a1，a2r，a1a21，求证 a21a2212.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，即 f(x)2x22(a1a2)xa21a222x22xa21a22.因为对一切xr，恒有 f(x)0，所以 48(a21a