高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

1、学习必备欢迎下载数列一、 知识梳理概念1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2. 通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan. 3. 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项） ，且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式 . 如数列na中，12, 11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式 . 4. 数列的前n项和与通项的公式nnaaas21；)2()

2、1(11nssnsannn. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 . 递增数列 : 对于任何nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如 : .,1, 1 , 1, 1 , 1常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 有界数列 : 存在正数m使nnman,. 无界数列 : 对于任何正数m, 总有项na使得man. 等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d， 这个数列叫做等差数列，常

3、数d称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差 . 前n项和公式2)(1nnaans或dnnnasn) 1(211. 3. 等差中项如果baa,成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项 . 即：a是a与b的等差中项baa2a，a，b成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法定义法：daann 1（nn，d是常数）na是等差数列；中项法：212nnnaaa(nn)na是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,32knknknn

4、aaaa为等差数列，公差为kd. dmnaamn)(；banan(a,b是常数 )；bnansn2(a,b是常数，0a) 若),(nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等差数列na的前n项和ns，则nsn是等差数列；学习必备欢迎下载当项数为)(2nnn，则nnaassndss1,奇偶奇偶；当项数为)( 12nnn，则nnssassn1,奇偶偶奇. 等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比 . 前n项和公式：当1q

5、时，1nasn当1q时，qqaaqqasnnn11)1(11. 3. 等比中项如果bga,成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项 . 即：g是a与b的等差中项a，a，b成等差数列bag2. 4. 等比数列的判定方法定义法：qaann 1（nn，0q是常数）na是等比数列；中项法：221nnnaaa(nn) 且0nana是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq. ),(nmnqaamnmn若),(nqpnmqpnm，则qpn

6、maaaa；若等比数列na的前n项和ns，则ks、kkss2、kkss23、kkss34是等比数列 . 二、典型例题a、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知ns为等差数列na的前n项和，63,6,994nsaa，求n；2、等差数列na中，410a且3610aaa，成等比数列，求数列na前 20 项的和20s3、设na是公比为正数的等比数列，若16, 151aa，求数列na前 7 项的和 . 4、 已知四个实数， 前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数 . 2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知ns为

7、等差数列na的前n项和，1006a，则11s；2、设ns、nt分别是等差数列na、na的前n项和，327nntsnn，则55ba . 3、设ns是等差数列na的前 n 项和，若5935,95ssaa则（）学习必备欢迎下载4、等差数列na,nb的前n项和分别为ns,nt,若231nnsntn,则nnab=（）5、已知ns为等差数列na的前n项和，)(,mnnsmsmn，则nms . 6、在正项等比数列na中，153537225a aa aa a，则35aa_。7、已知数列na是等差数列， 若471017aaa,45612131477aaaaaa且13ka, 则k_。8、已知ns为等比数列na前n

8、项和，54ns，602ns，则ns3 . 9、在等差数列na中，若4, 184ss，则20191817aaaa的值为（）10、在等比数列中，已知910(0)aaa a，1920aab，则99100aa . 11、已知na为等差数列，20, 86015aa，则75a12、等差数列na中，已知848161,.3ssss求b、求数列通项公式1） 给出前几项，求通项公式1,0,1,0,21,15,10,6 , 3 , 13，-33,333 ，-3333,33333 2）给出前 n 项和求通项公式1、nnsn322；13nns.2、设数列na满足2*12333()3nnaaaannn-1+3，求数列na

9、的通项公式3）给出递推公式求通项公式a、已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn例：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；b、已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn例、已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；c、构造新数列1递推关系形如“qpaann 1” ，利用待定系数法求解例、已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式 . 2递推关系形如“，两边同除1np或待定

10、系数法求解例、nnnaaa32, 111，求数列na的通项公式 . 3递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12” ，利用待定系数法求解例、已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式 . 4递推关系形如11nnnnapaqa a （p,q0), 两边同除以1nna a例 1、已知数列na中，1122nnnnaaa a1（n2),a，求数列na的通项公式 . 例 2、数列na中，)(42,211nnaaaannn，求数列na的通项公式 . d、给出关于ns和ma的关系学习必备欢迎下载例 1、设数列na的前n项和为ns，已知)(3,11nnsaaannn，设

11、nnnsb3，求数列nb的通项公式例 2、设ns是数列na的前n项和，11a，)2(212nsasnnn. 求na的通项；设12nsbnn，求数列nb的前n项和nt. c、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例 1、已知ns为等差数列na的前n项和，)(nnnsbnn. 求证：数列nb是等差数列 . 例 2、已知数列 an 的前 n 项和为 sn，且满足 an+2snsn1=0（n2） ，a1=21. 求证： ns1是等差数列；2）证明数列等比例 1、设 an 是等差数列， bnna21，求证：数列 bn 是等比数列；例 2、数列 an 的前 n 项和为 sn，数列 bn中，若 an+sn

12、=n.设 cn=an1，求证：数列 cn 是等比数列；例 3、已知ns为数列na的前n项和，11a，24nnas. 设数列nb中，nnnaab21，求证：nb是等比数列；设数列nc中，nnnac2，求证：nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n项和 . 例 4、设ns为数列na的前n项和，已知21nnnbabs证明：当2b时，12nnan是等比数列；求na的通项公式例 5、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaann证明：数列1nnaa是等比数列；求数列na的通项公式；若数列nb满足12111*44.4(1) (),nnbbbbnann证明nb是等差数列 . d、求数列的

13、前n 项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法 .例 1、求数列n223n的前n项和ns. 例 2、求数列，)21(813412211nn的前n项和ns. 例 3、求和： 25+36+47+n（n+3）2）裂项相消法，数列的常见拆项有：11 11()()n nkknnk；nnnn111；例 1、求和： s=1+n32113211211学习必备欢迎下载例 2、求和：nn11341231121. 3）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff4）错位相减

14、法，例、若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和ns. 5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列 an 的前 n 项和 sn=12nn2，求数列 |an| 的前n项和 tn. e、数列单调性最值问题例 1、数列na中，492nan，当数列na的前n项和ns取得最小值时，n . 例 2、已知ns为等差数列na的前n项和，.16,2541aa当n为何值时，ns取得最大值；例 3、数列na中，12832nnan，求na取最小值时n的值 . 例 4、数列na中，22nnan，求数列na的最大项和最小项. 例 5、设数列na的前n项和为ns已知1aa，13nnnas，*nn（）设

15、3nnnbs，求数列nb的通项公式；（）若1nnaa，*nn，求a的取值范围例 6、已知ns为数列na的前n项和，31a，)2(21nassnnn. 求数列na的通项公式；数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由. 例 7、非等比数列na中，前 n 项和21(1)4nnsa，（1）求数列na的通项公式；（2）设1(3)nnbna(*)nn，12nntbbb，是否存在最大的整数m，使得对任意的n 均有32nmt总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。 例 1 已知数列1，4，7，10， 3n+7, 其中后一项

16、比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和. 错解： （1）an=3n+7; (2) 1+4+ +（3n5）是该数列的前n 项之和 . 错因：误把最后一项 （含 n 的代数式） 看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=101, 显然 3n+7不是它的通项 . 正解： （1）an=3n2; (2) 1+4+ +（3n5）是该数列的前n1 项的和 . 例 2 已知数列na的前n项之和为nnsn2212nnsn学习必备欢迎下载求数列na的通项公式。错解 ： 34)1()1(2222nnnnnannnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了ansnsn-1与的关系，没注意a1=s1. 正解 ：当1n时，111sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合，34n