D55广义积分课件

1、4.4 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功例例1.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxdg9故所求功为50Wx

2、xdg9g922xg5 .112( J )设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 05(N)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为ApPdd压力元素小窄条上各点的压强xpg33g2R例例2. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxdg222o

3、xyRxxxdPdAx dg2端面所受侧压力为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 222xR xdxg内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程*参数方程方程*极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分5定积分（常义积分）积分限有限被积函数有界推广5.1 无穷限的广义积

4、分无穷限的广义积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 （反常积分）广义积分广义积分 第五五章 5.1 无穷限的广义积分无穷限的广义积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 在 a , +)上的广义积分广义积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称广义积分xxfad)(收敛 ;,)()(的原函数是若xfx

5、F引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明第一类 p 积分apxxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分的性质广义积分的性质 (P.226)解解

6、:00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)1(ptepdt原式ptept例例3. 计算广义积分. )0(d0ptettp01limlimlim2pttpttptteppetept定义定义2. 设, ,()(baCxf,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称广义积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称广义积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxfxxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的广义积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结

7、束 则称此极限为函 ,)(limxfax,)(limxfbx若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而无界函数的广义积分中的无界点常称xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义,)(limxfcx注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(a

8、FbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 不能！不能！)(xFab)(xFab)(xFab例例4. 计算广义积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论广义积分4302cosdxx的收敛性 . 4302cosdxx下述解法是否正确: 积分收敛1tan430 x解解:原积分发散430

9、2cosdxx202cosdxx4322cosdxx20tanx202cosdxx例例6. 证明 第二类 p广义积分bapaxx)(d证证: 当 p = 1 时,当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .baaxxdbaax ln当 p1 时bapaxx)(dabppax1)(11p1p,所以当 p 1 时收敛 ; 当 k1 时发散.2lnlnx211)(lnkxk当 k 1 时有 1k,2)(lndxxx2)(lndkxxx1k因此, 当 k 1 时, 广义积分收敛 , 其值为当 k1 时, 广义积分发散 . 1)2)(ln1(1kkP235 3；5；7；9；11；13第五节 目录 上页 下页

10、 返回 结束 第五章综合题第五章综合题作业作业P239 1(1)；7; 12；18；19xttftxxF0d)()2()(12.提示：提示：xxttftttfx00d)(2d)(xttftxxF要证：0d)()2()()(d)()(0 xxfttfxFx0)()(xxff)(xFut1. (P203.12)第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第五章习题选讲第五章习题选讲证：证：, 0)0()(fxf可导，且设,d)()(01xnnnttxftxF)0(21)(lim20fnxxFnx证明：0d)(1)(nxuufnxFttnutxunnndd,1nxuufn0d)(111)()(1)(nnn

11、nxxfxnxfnxF)()(lim)(lim2020nxnxxxFxxF12102)(limnnnxxnxxf0)0()(lim210nnxxfxfn)0(21fn2. 求.d12ln02xex解解1: 令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( P.202. 1.(18) )解解2: 令,12tex则22211d, )1ln(ttxtx原式dt123022tt23011ln2123tt3. 30d1arcsinxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( P.202. 1(13) )解解1: 原式 =3030d)1 (21arcsinxxxxxx3