多元统计分析时间序列分析

1、时 间 序 列 分 析概 述时间序列可能是应用最普遍的数据表现形式和数据存储格式按照时间顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成时间序列（Time Series）时间序列在形式上表现为变量Y的一连串值，这些值是在不同时间测得，并根据时间排序12,.,.,tTy yyy时间序列的特点：顺序、相关时间序列分析（Time Series Analysis）主要针对不同时间的数据，从中提取有意义和有用的信息，发现事物发展变化的规律既可用于描述和解释因变量Y的变化，还可用于预测Y值分析及处理原则：惯性、远小近大、分解、转化时间序列分析描述性时序分析统计性时序分析时域分析方法频域分析方法时间序列确定性分析

2、时间序列随机性分析趋势分析季节分析平稳的非平稳的ARMA(p,q)ARIMA(p,d,q)ARMA(p,d,q)(P,D,Q)S时间可以理解为一个变量，完全均匀地、独立于其他所有事件地发生变化。时间顺序将事件固定，不能改变顺序排列按变量Y的时间关系可区分以下两种变量：v针对时间点的变量v针对时间段的变量很多时间段事实上不是等间隔根据依据时间序列个数，时间序列分析大致分为两种：v单个时间序列分析；v多个时间序列的相关分析；单个时间序列分析，定量预测法，时间序列外推法时间回归移动法（如移动平均过程、指数平移）自回归法（如ARIMA过程、适应过滤器）v多个时间序列分析，因果预测法，以分析多个时间序列

3、关系为基础，先确定描述时间序列变量间因果关系的模型，然后根据时间序列数据估计该模型，这种模型又称为结构模型或经济计量模型单方程模型多方程模型时间序列的组合成分通常认为时间序列有以下四种成分组合而成：（1）长期趋势：指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少的长期变化趋势（2）季节变动：指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出固定规则的变动（3）循环变动：指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，即周期性成分（4）不规则变动：指在时间序列中由于随机因素影响所引起的变动趋势项、周期项、季节项都可看做是确定性成分，其余看做随机成分确定性过程可以用关于时间的函数描述随机过程用一些统计量，如均值、方差、协方差等来描述随

4、机过程的基本统计特性应用举例例子：人造黄油生产厂的经理对销售地区A的高销量感到惊讶和高兴。但如果要保持或再提高此高销量，经理必须调整该地区的供货。为了做出决策，需要分析和预测此销售地区的销量变化情况。为此，他收集了近十年的销量数据：时间（时间（t）销量（盒）销量（盒）116572186431950422045228862410724148253492739102785销售地区A的销量时间序列分析过程时间序列的分析和预测过程一般分为五个步骤：v（1）绘制时间序列图v（2）建模v（3）估计模型v（4）进行预测v（5）检验预测有效性（1 1）绘制时间序列图）绘制时间序列图05001000150020

5、0025003000024681012时间（2 2）建模）建模时间序列的趋势走向可能有各种各样的形式，同时也存在无数种模型或多或少可能与时间序列趋势走向相匹配时间序列建模的一个基本原则是把时间序列分解为不同成分进行组合，有如下两类组合方式：v相加的时间序列分解 Y=A+K+S+u，预测变量、趋势项、波动项、季节项、随机项v相乘的时间序列分解 Y=AKSu，预测变量、趋势项、波动项、季节项、随机项趋势项A代表Y值的长期发展情况，可能为正或负，可能是线性的，也可能是非线性的K和S是呈周期性变动的项，变动在几年时间内波动或一年时间内季节性周期性地重复，可定不是线性的A、K、S被称为系统项，u称为随机

6、项在本例中，根据图形可简化为 Y=A+uA尽管时间序列的变化略呈非线性，但仍假设其呈线性趋势变化 Y=+t+uv其中，是未知参数，说明各时期Y的增长情况，是趋势参数；（3 3）估计模型）估计模型利用回归分析根据现有数据估计参数和把值t=1,2，的时间指标作为自变量，也可用年份数（如1991）替代指标值1,2，.，这对无影响，但对常数项有影响决定系数R2=0.972F统计量 F=276.8（F理论=5.32）回归标准误差：s=66.0Durbin/Watson统计量：d=1.551（d=2）1619.5120.9Yt1619.5120.9()yTkTk2949119 .1205 .161911y

7、（4）进行预测利用估计函数，可直接进行预测这称为点预测，相对地，区间预测给出预测值的一个范围，未来真值以一定的信任概率或置信度位于该区间内点预测：预测误差，预测总存在误差，计算预测误差的基础是回归估计的标准误差，显而易见，预测未来时间越远，误差越大。通常，T+k时期的预测误差计算式为：2112TttsTe221()1(1)()ptTksTTTk tss 第11期的预测误差为：预测值 与实际值y11之间的偏差平均为80盒221(10 1)6618010(10 1)(10 1 5.5)3.028ps 2949.411y区间预测，用置信区间说明未知值y11一定概率落在某个区间其中，t是置信度为1-，

8、自由度为T-2的t分布双边检验的分位数222()()()pT kppT kTkT kTkTkT kT kyytsyyytsts当置信度为0.95，自由度T-2=8，查t值表，得2.306则销量y11的区间预测为：112211(11)(11)111129492.3 8029492.3 80ppyyytstsy（5 5）检验预测有效性）检验预测有效性预测有效性及模型可靠性的检验，要求比较预测值 与支持区间外的预测区间T+1,T+k中的实际值。由于预测时点的实际值未知，不能马上检验预测有效性，需等到事件发生另一种方法是用现有后期预测法检验预测有效性Tky通常用于模型估计的支持区间小于观察时间区间，即

9、估计模型时不使用最后几个时间序列值，然后用这些值与现有后期预测值相比较若把数据区间又10减少到8，则估计函数为：21610.5 123.3 (0.986)tYR现在预测第9和10时期的销量：计算误差指标，以评价经验预测的有效性tytet927202739-19102843278558ty平均绝对误差（Mean Absolute Deviation）平均绝对比例误差（Mean Absolute Percentage Error）11195838.52KT kkMADKe110.0069 0.020858100%1.4%2KT kkT kMAPEKeyTheil的U统计量：212111 ,1 ,1

10、 ,()()KkKkTkTkUTkTkUyyyy比 纯 预 测 好与 纯 预 测 相 同比 纯 预 测 差22222222910910981090.29yy(27202739)(28432785)(27392534)(27852739)Uyyyyyy（-）（-）（-）（-）非线性趋势模型现实的趋势很少是线性的，尤其是长期趋势平方根模型平方根模型，趋势并非完全线性，而是略呈凹形00.511.522.533.5024681012平方根模型：虽然关于时间变量t是非线性的，但待估参数是线性的，构造新变量XYtu时间（时间（t）销量（盒）销量（盒）X=时间（时间（t）销量（盒）销量（盒）X=116571

11、624102.449218641.414724142.646319501.732825342.828422042927393522882.2361027853.162tt得到的回归函数：点预测：预测误差：21117.1219.571117.1 519.57,(0.981)XtYR111117.1219.57112840y221()1(1)()pxT kTksTTxxss 221(10 1) 51.5516010(10 1)( 10 1 2.247)0.708ps 区间预测：可得第11期的区间预测为： 2702y11297922.306(0.95T-2=8)t置信度，自由度线性趋势：2765y1

12、13133对数模型对数模型，同平方根模型一样，也用于描绘增长缓慢的模型对数模型比平方根模型更平缓lnYtu21540.6492.56ln (0.945)tYR指数模型指数模型按值不同，模型有不同的形状v当1时，递增上升v当01，递增上升；01，递减上升；=0.5，为平方根模型Yut模型模型估计估计函数函数R2F11期期预测值预测值11期预期预测误差测误差线性0.972277294980平方根0.983459284060对数0.9451392722104指数0.971265276196幂0.984216286659y10=2785模型名称模型名称方程方程线性化线性化线性Y=+t对数Y=+lnt倒

13、数Y=+/tY=+(1/t)平方Y=+1t+2t2立方Y=+1t+2t2+3t3幂Y=tlnY=ln+lnt指数Y=tlnY=ln+tlnS曲线Y=e(+/t)lnY=+(1/t)LogisticY=1/(1/M)+t)ln(Y-M)=ln+tln增长Y=e(+t)lnY=+t常用曲线拟合模型人造黄油市场的时间序列分析自己公司人造黄油销量总体上持续上升，但波动巨大生产厂经理决定分析和预测整个德国的人造黄油市场情况为此，他获得了过去四年人造黄油的月销量人造黄油的市场销量的时间序列模型1 线性趋势)046. 0(7 .41298362RY时间模型2 趋势+季节性哑变量）月（月月月月月月月月月月时间

14、873. 0122981116706102816912708892-72319-61343-554746343319821194-0 .6429438R2Y模型3 趋势+季节性哑变量+气温）气温（月月月月月月月月月月月时间891.08 .2271231421175201049389437282663-71668-61482-52142425793385421136-5 .5729581R2Y人口数量一般对消费品需求有决定性影响，为此引入人口变化变量模型4 季节性变量+气温+人口）（人口气温月月月月月月月月月月月891. 065473 .23012251211659910444493947823

15、00-71367-6189951941424283374621193510754R2Y德国黄油销量特点：季节波动性大、略称下降气温的影响只能解释约25%的波动；圣诞节和复活节的影响明显更大模型2简单能很好预测短期销量；模型3精度更高，使用时需预测月平均温度模型4考虑人口变化，若人口变化明显用该模型更合理考虑周期性波动利用哑变量也可以考虑离散型时间序列中的周期性波动，如季节效应或经济波动11231231231,0 ,1,1,0 ,0 ,Ytuqqqqqq当 春 天 时其 中 ，其 它当 夏 天 时当 秋 天 时；其 它其 它112341234+Ytuqqqq季节效应许多基于月度或季度的经济时间序

16、列都表现出季节特征可以用虚拟变量对数据的季节性进行分析例：冰箱销量分析。季度销量数据如下表所示FRIGD2D3D4FRIGD2D3D413170009430001615100117510016620101269010129500197300112710001102000155510013441001639010164101012380011225001127700014290001258100169910014170101749010118500111170011196000124200014101001684100141701017640109190011328001Yt=1+2D2t+3D

17、3t+4D4tYt=1222.13+245.38D2t+347.63D3t-62.13D4t第一节度为基准组，各季度虚拟变量的系数就是级差截距，表示在虚拟变量取值为1的那个季度里，Y的平均值与基准季度相比有多大差异，或者说，季节虚拟变量的系数将给出Y的平均值相对基准季度的增加而减少季节模型季节变动是指客观事物由于自然条件、生产条件和生活习惯等因素的影响，随着季节的转变而呈现的周期性变动季节变动是客观事物常有的一种变化规律。季节变动的特点是有规律性，每年重复出现，表现为逐年同月有相同的变化方向和大致相同的变化幅度季节性水平模型形式：预测值，时序平均水平，季节系数，i=1,.,12;1,.,4;季

18、节系数计算公式为：fYitY 总平均数或季已知年份月平均数或同季同月)()(fi适用于无明显趋势变动，主要受季节和不规则变动影响的时间序列一般需要3-5年分月（或季）的数据例：分析预测某市汗衫零售量。已知过去10年的销售情况。年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量年年月月销销量量11410121914161823301821512201722202333372033835434341586669599241025364627490919112013951411041591111581291

19、39192311324619118017423724022326434833434371742081892272152351862542702718848510093127819212212219394131465341427859706210 2013212423235134332711 128141316162519231712 121019141217232716131.时序变化分析汗衫主要是夏季服装，销量会受到季节的影响2.建模季节水平模型的建立主要计算平均水平以及季节指数从数据上看，后面的销量较高，可把最后一年的平均销量作为平均水平季节指数按公式计算，也可采用移动平均处理得到预测模型

20、：fYit58.13510.31505320.40490731.02463641.57032053.25413664.55208874.15681081.99865190.951953100.486552110.291839120.2928683.预测季节性水平模型预测期为下一个周期Y133=135.5831.51%=42.71（万件）季节性交乘趋向模型季节性交乘趋向模型是趋势和季节的乘法模型形式：a+bt是时间序列趋势变动部分，可以是线性的，也可以是非线性的；fi是时间序列各月（或季）的季节指数fYitbta)(最简单的季节指数计算公式如下：F是各期的实际季节指数，由当期的实际值除以趋势值得

21、到，反映当期由于季节影响实际值高于或低于趋势值的比例；T是季节周期的长度，月度数据为12，季度数据为4；f是理论季节指数，反映由于季节影响，在每年同一月或季实际值高于或低于预测值的比例4 , 3 , 2 , 1;12,.2 , 1,.)1(iimFFFfTmiTiii适用条件：既有季节变动又有趋势变动，且季节波动幅度随趋势增加而加大的时间序列。通常要有5年分月的数据例：工业总产值的分析预测。部分数据如下表所示11421.41757.81984.22179.12903.32996.721367.41485.71812.42408.72513.82740.331719.71893.92274.72

22、869.43409.03580.941759.61969.82328.92916.73499.53746.351795.72033.72373.13022.13462.63817.961848.12103.02515.83274.53871.44046.671637.31836.32288.02862.93373.03483.981670.11914.72321.02864.23463.43510.691760.12022.22441.12908.03663.73703.1101789.52045.12502.62911.83753.43810.7111888.62069.22608.8310

23、1.33793.24091.0121981.42136.02823.83664.34469.04650.81.时序变化分析线性增长趋势、季节波动、波动幅度随趋势而增大2.建模可以使用一部分数据建模，预留一部分数据对模型的效果进行分析评价（1）建立趋势模型 Vt=a+bt参数采用最小二乘法，各月数据对时间变量t进行回归，得到线性估计模型 Vt=1374.86+35.49t（2）计算季节系数在序列实际值中取出趋势值，剩余部分可认为是季节影响造成的变动Y值除以V值得到F值，表示各月由于季节影响带来的变动。对Ft进行季节平均，得到理论季节指数fi时间时间YVFYY1990.11421.41410.41

24、.0078351259.31990.21367.41445.80.9457461164.71990.31719.71481.31.1609121512.7得到预测模型：3.预测利用模型得到各月的预测产值，计算这一时期的MAPE为4.96，预测精度在满意范围fYitt )49.3586.1374(平均绝对百分误差(mean absolute percentage error,MAPE)，评价拟合精度的一个指标当MAPE10，模型的预测精度较高1001nMAPEniiiiyyy季节性叠加趋向模型季节性叠加趋向模型是时间序列的趋势与季节变动的加法模型，形式如下：(a+bt)是趋势变动，可以是线性也可

25、以是非线性的；di是各月（季）的季节增量，反映由于季节影响，实际值大于或小于趋势值的数量TibtadYit,.,1,)(T是季节周期的长度，月度数据为12，季度数据为4。di的简单计算公式，D为各期实际的季节增量，由当期实际值减去趋势值得到，反映当期由于季节影响实际值大于或小于趋势值的数量；m为季节周期的个数，即年份数4 , 3 , 2 , 1;12,.,1,.)1(iimDDDdTmiTiii适用条件：既有趋势变化又有季节变动，且季节波动幅度基本不随趋势的增加而变化的时间序列。需要5年分月的数据例：社会商品零售总额的分析预测。部分数据如下表所示时间时间YVFYY1995.Q14658.85066.5-407.75112.81995.Q24783.85231.4-447.64790.81995.Q35052.95396.4-343.55033.81995.Q46124.25561.4562.86318.315816.75726.490.35772.825774.35891.4-117.15450.835969.66056.4-86.85693.847213.56221.49