初中数学竞赛试题及答案2

1、“数学周报杯”全国中学数学竞赛（天津赛区）试题参考答案及评分标准一、挑选题（共5 小题，每道题7 分，满分35 分）（ 1）设 x53，就代数式2x x1x2 x3 的值为 .（ a ） 0（ b ）1（ c） 1（ d） 2【答】 c解： 由已知得x23x10，于是x x1 x2 x3 x23x x23x2 x23x1211.（ 2）已知 x， y， z 为实数，且满意x2 y5 z3 ， x2 yz5 ，就x2y2z2 的最小值为 .（ a ） 111（ b ）0（ c） 5（ d） 54 11【答】 dx解： 由2 y5z3，可得x3z1，x2 yz5，yz2.2222于是xyz11z2

2、z5 因此，当 z1 时 ， x211y 2z2 的最小值为54 11（ 3）如 x1 ， y0 ，且满意xyx y， x yx3 y ，就 xy 的值为 .（ a ） 1（ b ）2（ c） 9 211（ d）2【答】 c解： 由题设可知y1yx，于是xyx3 yx 4y1，所以 4 y11 1故 y，从而 x 24 于是 xy9 2111132333（ 4）设 s1，就 4 s 的整数部分等于.32021（ a ） 4（ b ）5（ c） 6（ d） 7【答】 a 解： 当 k2，3，2021 ，由于11111，k32kk12k1kkk1所以 1s111133311151232021222

3、02120214于是有 44 s（ 5 ） 点 d， e5 ，故 4s 的整数部分等于4 分 别 在 abc 的 边 a b，a c 上 ， b e，c d相 交 于 点 f， 设s四边形 eadfs1，s bdfs2， s bcfs3，s cefs4 ，就 s1s3 与 s2 s4 的大小关系为.（ a ）s1 s3s2 s4（ b） s1s3s2 s4（ c）s1 s3s2s4（ d）不能确定【答】 c解： 如图，连接de ，设s defs1 ，第（ 5）题就 s1efs4，从而有s1 s3s2s4 由于s1s1 ，所以s1s3s2 s4 s2bfs3二、填空题（共5 小题，每道题7 分，

4、共 35 分）（6）两条直角边长分别是整数a， b （其中 b的个数为.【答】 312021 ），斜边长是 b1 的直角三角形解： 由勾股定理 , 得a 2b12b 22b1由于 b 是整数， b2021 ，所以 a 2222是 1 到 4023 之间的奇数， 而且是完全平方数，这样的数共有31 个，即 3 ，5 ，63 因此 a 肯定是 3， 5， 63，故满意条件的直角三角形的个数为31（ 7）一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1， 2， 2，3，3， 4；另一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3， 4， 5， 6，8.同时掷这两枚骰子，就其朝上的面两数之和为7

5、的概率是.【答】 1 6解： 在 36 对可能显现的结果中，有6 对：（1， 6）， （ 2， 5）， （ 2，5）， （3， 4），（3， 4），（4， 3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7 的概率是61 .366（ 8）如 y1xx12的最大值为a，最小值为b，就 a2b 2 的值为.【答】 3 2解： 由 1x 0，且 x11 0，得 x 1 y 2122x23 x2112 x3 21 2222416由于 1 <3< 1 ，所以当3x =时，y2 取到最大值1，故a = 1 244当 x =1或 1 时，2y2 取到最小值12，故 b =22所以， a2b 23 2（ 9

6、）如图，双曲线2y（ x0）与矩形oabc 的边 cb， ba 分别交于点e， f，且xaf=bf ，连接 ef，就 oef 的面积为.【答】 3 2解： 如图，设点b 的坐标为（ a, b）, 就点 f 的坐标为（ a bf2上，所以 ab4. 又点 e 在双曲线上，且纵坐标，）. 由于点2在双曲线yx为 b ，所以点e 的坐标为 2 ,bb . 于是s oefs梯形 ofbcs oecs fbe（1bb） a1b21b （ a2 ）222b22b13（ ab12）.第（ 9）题22（ 10）如图，在rt abc 中，斜边ab 的长为 35，正方形cdef 内接于 abc，且其边长为 12，

7、就 abc 的周长为.【答】 84解： 如图，设bc a，ac b，就 a2b 2352 1225又 rt afe rtacb，第（ 10）题feaf12所以，即b12，cbacab故12 abab 由得（ ab）2a2b22ab12252（4ab），解得 a b 49（另一个解25 舍去），所以abc493584 三、解答题（共4 题，每题20 分，共 80 分）（ 11 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2cxa0 的 两 个 整 数 根 恰 好 比 方 程x2axb0 的两个根都大1，求 abc 的值 .解： 设方程 x2axb0 的两个根为，其中，为整数，且，就方程

8、 x2cxa0 的两根为1，1 ，由题意得a，11a ，5 分两式相加，得2210 ，即223 ，所以，21，或23；23，21.10 分1，5，解得或1；3.又由于 a（），b， c（1）（1），所以 a0， b1， c2 ；或者 a8， b15， c6 ，故 abc3 ，或 29.20 分（ 12）如图，点 h 为 abc 的垂心， 以 ab 为直径的o1 和bch的外接圆 o2 相交于点 d ，延长 ad 交 ch 于点 p ，求证：点 p 为 ch 的中点 .证明： 如图，延长ap 交 o2 于点 q ，连接 ah ， bd， qb，qc ， qh .由于 ab 为 o1 的直径，所以

9、 adb bdq905 分故 bq 为o2 的直径 .于是 cqbc，bhhq.10 分又由于点 h 为 abc 的垂心，所以ahbc，bhac .所以 ah cq ， ac hq ，四边形 acqh 为平行四边形 .15 分所以点 p 为 ch 的中点 .20 分（ 13） 如图，点 a 为 y 轴正半轴上一点，a， b 两点关于 x 轴对称，过点a 任作直线22交抛物线yx于 p ， q 两点 .3（）求证：abp = abq ；（）如点a 的坐标为（ 0， 1），且 pbq =60o，试求全部满意条件的直线 pq 的函数解析式.解：（） 如图，分别过点p， q 作 y 轴的垂线，垂足分别

10、为c， d .设点 a 的坐标为（ 0， t ），就点 b 的坐标为（ 0， - t ） .设直线 pq 的函数解析式为ykxt ,并设 p， q 的坐标分别为（xp，yp）,（ xq，yq）.ykxt，由y2 x2，3得 2 x23kxt0 ，于是xp xq3t ，即t22xp xq . 于是，32 x 2t222xx x2x xx bcypt3p3p3p q3ppqxpxtbdyqt22q2222x xxqp qxq xq.5 分xp xq3333又由于 pcxpbcpc，所以.qdxqbdqd由于 bcp bdq90，所以 bcp bdq .故 abp = abq .10 分（）解法一设

11、 pca ， dqb ，不妨设 a b >0，由（）可知 abp =abq30， bc =3a ， bd =3b ，所以ac =3a2 ， ad = 23b.由于 pc dq ，所以acp adq .于是 pcac ，即 a3a2所以ab3ab dqadb23b由（）中xp xq33333t ，即ab，所以 ab， ab，2222于是，可求得a2b3 .将 b3 代入 y223x ，得到点 q 的坐标（， 1 ） .15 分2322再将点 q 的坐标代入ykx1 ，求得 k3 .3所以直线 pq 的函数解析式为y依据对称性知，所求直线 pq 的函数解析式为y3 x1.33 x1，或 y

12、33 x1 .20 分3解法二设直线 pq 的函数解析式为ykxt , 其中 t1.由（）可知，abp =abq30，所以 bq2dq .故2 xx2 y12 .qqq将 y2x2 代入上式，平方并整理得qq34x415x290 ，即4 x23x230 .qqqq所以xq3 或3 .2又由（），得xp xq3t3， xpxq3 k .223如 x，代入上式得x3，从而223k xx .q2p3pq3323同理，如 xq3，可得 xp， 从而k xpxq .233所以，直线pq 的函数解析式为33yx1 ，或 yx 331 .20 分（ 14 ） 已 知 ai0，i1， ，2，2 0 ，1 且 a1a2a2 0 ，1证