初中数学竞赛精品标准教程及练习02：倍数、约数

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（2）倍数约数一、内容提要1 两个整数 a 和 b（b0），假如 b 能整除 a（记作 b a），那么 a 叫做 b 的倍数， b 叫做 a 的约数；例如 315， 15 是 3 的倍数， 3 是 15 的约数；2 由于 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除； 0 是任何非 0 整数的倍数，非0 整数都是 0 的约数；如 0 是 7 的倍数， 7 是 0 的约数；3 整数 a（ a 0）的倍数有很多多个，并且以互为相反数成对显现，0，± a，± 2a

2、，都是 a的倍数，例如 5 的倍数有± 5，± 10，；4 整数 a（ a0）的约数是有限个的， 并且也是以互为相反数成对显现的，其中必包括± 1 和± a；例如 6 的约数是± 1，± 2，± 3，± 6；5 通常我们在正整数集合里讨论公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数；6 公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如15 与 28 互质）；7 在有余数的除法中，被除数除数×商数余数如用字母表示可记作：a bqr，当 a，b，q，r 都是整数且 b 0 时， ar能被 b 整除例如 2

3、33×72就 23 2 能被 3 整除；二、例题例 1 写出以下各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以234234222应用： 2，2 ， 2 ，2 ，3，3 ， 3 ， 3 ，2×3，2 ×3，2 × 3；解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计1，21， 31， 2，421，2，4231， 3， 3222×33， 61， 2， 3，6221，2，3321， 3，322×34， 6， 121， 2， 3，9234，843332 ，33422×324， 6， 9，1，2，4，248，16

4、5341， 3， 32 ，33 ，34512，18，36其规律是：设 a ambn a ，b 是质数 ,m，n 是正整数 那么合数 a 的正约数的个是（ m+1）n+1例如求 360 的正约数的个数解：分解质因数： 36023× 32 ×5，360 的正约数的个数是（ 31）×（ 21）×（ 11） 24（个）例 2 用分解质因数的方法求24，90 最大公约数和最小公倍数解： 2423×3，902×32×5最大公约数是2×3，记作（ 24，90） 6最小公倍数是 23× 32 ×5360，记作2

5、4,90=360例 3 己知 32， 44 除以正整数 n 有相同的余数 2，求 n解： 322，44 2 都能被 n整除， n 是 30，42 的公约数（ 30，42） 6，而 6 的正约数有 1，2，3，6经检验 1 和 2 不合题意， n6，3例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数分析：依题意假如所求的数加上1，就能同时被 10， 9， 8 整除, 所以所求的数是10，9，8 的最小公倍数减去 1；解： 10,9,8=360,所以所求的数是359三、练习 21，12 的正约数有 ,16 的全部约数是 2，分解质因数 300 ,300 的

6、正约数的个数是 3，用分解质因数的方法求20 和 250 的最大公约数与最小公倍数；4，一个三位数能被7，9，11 整除，这个三位数是 5，能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是 最大三位数是 6，己知 14 和 23 各除以正整数 a 有相同的余数2，就 a 7，写出能被 2 整除，且有约数5，又是 3 的倍数的全部两位数；答 8，一个长方形的房间长1.35 丈，宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？如用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9，一条长阶梯，假如每步跨2 阶，那么最终剩1 阶，假如每步跨3 阶，那么最终剩2 阶，假如每步跨 4 阶，那么最终剩3 阶，假如每步跨5 阶，那么最终剩4 阶，假如每步跨6 阶，那么最终剩 5 阶，只有每步跨7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？练习参考答案： 1.1，2，3，4，6，12；±1，± 2，± 3，± 6，± 9，± 1822232.2 × 3× 5 ；183.2×5；2 × 54.6935.3，5，11 165，115