初中数学培优辅导资料

1、中学数学竞赛辅导资料二元一次方程组解的争论甲内容提要1 二元一次方程组a1 x a2 xb1 y b2 yc1的解的情形有以下三种：c2a1b1当a2b2当 a1b1a2b2c1时，方程组有很多多解；（两个方程等效）c2c1时，方程组无解； （两个方程是冲突的）c2当 a1b1a2b2x c1b2 a1b2（即 a1b2 a2b1 0）时，方程组有唯独的解：c2 b1 a2b1y c2 a1 a1 b2c1a2a2b1（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有很多多解，如要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行；3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求

2、出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以争论；（见例 2、3）乙例题例 1.挑选一组a,c 值使方程组5xy7ax2 yc有很多多解，无解，有唯独的解解：当5 a=12=7 c 时，方程组有很多多解解比例得a=10,c=14；当5 a1 2 7c 时，方程组无解；解得 a=10,c 14；当5 a 1 2 时，方程组有唯独的解，即当 a 10 时， c 不论取什么值，原方程组都有唯独的解；例 2.a 取什么值时，方程组xya5x3y31的解是正数？解：把 a 作为已知数，解这个方程组x313a得2y5a312313a2x00y05a3102解不等式组得31a3a3151

3、解集是 6 1a5110 13答：当 a 的取值为65a 103时，原方程组的解是正数；例 3.m 取何整数值时，方程组2xmyx4 y4的解 x 和 y 都是整数？18x1解：把 m 作为已知数，解方程组得m8 y2m8x 是整数， m 8 取 8 的约数± 1，± 2，± 4，± 8；y 是整数， m 8 取 2 的约数± 1，± 2；取它们的公共部分，m 8± 1，± 2； 解得m=9 ， 7， 10， 6；经检验 m=9 ，7， 10，6 时，方程组的解都是整数；例 4（古代问题）用100 枚铜板买桃，李，

4、榄橄共100 粒，己知桃，李每粒分别是3， 4 枚铜板，而榄橄7 粒 1 枚铜板；问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x,y,z 粒,依题意得xyz3x4y1001 z711002由（ 1）得 x= 100 y z3把（ 3）代入（ 2），整理得zy= 200+3z7设 zk7k 为整数 得 z=7k,y= 200+20k,x=300 27kx,y,z 都是正整数30020027k020k0 解得k1009k.10（ k 是整数）7k0k.0110 k< 11, k 是整数， k=119即 x=3 （桃） ,y=20 （李） ,z=77（榄橄）答略 丙练习 111 不解方程组

5、，判定以下方程组解的情形：x2 y33x6 y92xy34x2 y33x5y13x5 y12 a 取什么值时方程组x3 y9 x6 ya 2a19a 22a2 的解是正数？3 a 取哪些正整数值，方程组x2 y5a的解 x 和 y 都是正整数？3x4 y2a4 要使方程组xkyx2 yk的解都是整数，k 应取哪些整数值？15 （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？中学数学竞赛辅导资料（12）用交集解题甲内容提要1 某种对象的全体组成一个集合 ；组成集合的各个对象叫这个集合的元素； 例如 6 的正约数集合记作 6 的正约数1

6、， 2， 3，6，它有4 个元素 1， 2， 3，6；除以3 余 1的正整数集合是个无限集，记作除以3 余 1 的正整数1，4， 7， 10，它的个元素有很多多个；2 由两个集合的全部公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如 6 的正约数集合a 1， 2， 3， 6，10 的正约数集合b 1， 2， 5， 10， 6 与10 的公约数集合c 1， 2，集合 c 是集合 a 和集合 b 的交集；3 几个集合的交集可用图形形象地表示，数右图中左边的椭圆表示正数集合，正 正 整右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆数 整 数的公共部分，是它们的交集正整数集； 集 集 集不等式组的解集是不等式组

7、中各个不等式解集的交集；例如不等式组2x6x21 2解的集合就是不等式（ 1）的解集x>3 和不等式（ 2）的解集x2 的交集， x>3 .如数轴所示：0234一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答；把符合每个条件的全部的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案；有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一挑选、剔除，求得答案；（如例2）乙例题例 1. 一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以7 余 2，求这个自然数的最小值； 解：除以3 余 2 的自然数集合a 2，5， 8，11， 14， 17， 20，

8、23， 26，除以 5 余 3 的自然数集b 3， 8， 13， 18， 23 ， 28，除以 7 余 2 自然数集合c 2， 9， 16， 23， 30，集合 a 、b、c 的公共元素的最小值23 就是所求的自然数；例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数；解：二位的质数共21 个，它们的个位数字只有1， 3， 7， 9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是 1， 3，7， 9；其中差等于6 的有： 1 和 7； 3 和 9； 13 和 7，三组；平方数的个位数字相同的只有3 和 7； 1 和 9 二组；同时符合三个条件的个位数字是3 和 7 这一组故所

9、求质数是：23， 17 ；43 ， 37；53， 47；73， 67 共四组；例3. 数学爱好小组中订阅a 种刊物的有28 人，订阅b 种刊物的有21 人，其中6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订a 种、只订b 种的各几人？数学爱好小组共有几 人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅a 种、 b 种刊物的人数集合，就两圆重叠部分就是它们的交集（ a 、b 两种都订的人数集合） ；只订 a 种刊物的人数是28 6 22 人；只订 b 刊物的人数是21 6 15 人；小组总人数是22 15 6 144 人；a 28只ab 21a b只b22615设 n ，n （ a ），n （ b）， n（

10、ab ）， n分别表示总人数，订a 种、 b 种、 ab 两种、都不订的人数，就得公式一 n n + n （ a ）+n （b） n （ ab ）；例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有24 人，篮球有18 人，排球有10 人，同时会玩乒乓球和篮球的有6 人，同时会玩乒乓球和排球的有4 人，三种球都会的只有1 人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？解：仿公式一 ,得公式二 ：n n + n（ a） +n （ b） +nc n（ ab ） n（ ac ） nbc+nabc只会打乒乓球的是24 64 1 15（人）求 n （bc）可用公式二：40 2418 106 4

11、n（ bc ） 1n （ bc） 3，即同时会打篮球和排球的是3 人aab246b 18ac abc41c 10只会打排球的是10 3 1 6（人）例 5. 十进制中，六位数19xy87 能被 33 整除，求x 和 y 的值解： 0 x， y 9， 0 x+y 18， 9 x y 9， x+y>x y33 3×11，1 9 x+y+8 7 的和是 3 的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 1+x+8 9+y+7 是 11 的倍数，故 x y= 4， 7xy8xy14xy11xy17xy4xy4xy7xy7x2x5x9x12y6y9y2y5x+y 和 x y 是同奇数或

12、同偶数，它们的交集是以下四个方程组的解：解得（ x=12 不合题意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2丙练习 121 负数集合与分数集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集；3 12 的正约数集合a ，30 的正约数集合b12 和 30 的公约数集合c，集合 c 是集合 a 和集合 b 的4 解以下不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：3x6x5x25x01 x132x2x20x205 某数除以3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值；6 九张纸各写着1 到 9 中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿

13、的两张 数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？7 求符合如下三条件的两位数：能被3 整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同；8 据 30 名同学统计， 会打篮球的有22 人，其中 5 人仍会打排球； 有 2 人两种球都不会打；那么会打排球有几人？只会打排球是几人？9 100 名同学代表选举同学会正付主席，对侯选人a 和 b 进行表决，赞成a 的 有 52 票，赞成 b 的有 60 票，其中a 、b 都赞成的有36 人，问对a 、b 都不赞成的有几人？10. 数、理、化三科竞赛，参与人数按单科统计，数学24 人，

14、物理 18 人，化学10 人；按两科统计，参与数理、数化、理化分别是13、 4、5 人，没有三科都参与的人；求参赛的总 人数，只参与数学科的人数；（此题假如改为有2 人三科都参与呢？）11. xy3xy5012. 十进制中，六位数1xy285能被 21 整除，求x,y 的值（仿例5）中学数学竞赛辅导资料（13）用枚举法解题甲内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律；列举解答要留意：按肯定的次序，有系统地进行；分类列举时，要做到既不重复又不违漏；遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律；乙例题例 1如图由西向东走，a从 a 处到 b 处有几种走法？11n34

15、11bc4p13m11解：我们在交叉路上有次序地标上不同走法的数目，例如从 a 到 c 有三种走法，在c 处标上 3，从 a 到 m （ n ）有 3 1 4 种，从 a 到 p 有 34 4 11 种，这样逐步累计到 b ，可得 11 11 13（种走法）例2写出由字母x ， y， z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的全部四次单项式；解法一：按x 4， x 3， x 2，x ，以及不含x 的项的次序列出（如左）解法二：按x y z x 的次序轮换写出（如右）x 4 ，x 4 ， y 4 ，z 4x 3y，x 3z，x 3y ， y 3z ， z 3xx 2y2 ， x 2z 2，

16、x 2yz ，x 3z ， y 3x ，z3y xy 3，xz 3，xy 2z， xyz 2，x2y 2， y 2z 2 ， z2x 2 y 4，z 4y 3z ，y 2z 2 ，yz 3 ；x 2yz ，y 2zx ， z2xy解法三：仍可按3 个字母， 2 个字母， 1 个字母的次序轮换写出略例3争论不等式ax<b 的解集；解：把 a、b、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情形列表ax<0 的解集b正负零a正负零当 a>0 时，解集是x<b b,当 a<0 时，解集是x>,aa当 a=0,b>0 时，解集是全部学过的数， 当 a=0,b 0

17、 时，解集是空集即无解 例 4如图把等边三角形各边4 等分，分别连结对应点，试运算图中全部的三角形个数解：设原等边三角形边长为4 个单位，就最小的等边三角形边长是1 个单位，再按顶点在上和顶点在下两种情形，逐一统计：边长 1 单位，顶点在上的有：1+2+3+4=10边长 1 单位，顶点在下的有：1+2+3=6边长 2 单位，顶点在上的有：1+2+3=6边长 2 单位，顶点在下的有：1边长 3 单位，顶点在上的有：1+2=3边长 4 单位，顶点在上的有：1合计共 27 个丙练习 131 己知 x， y 都是整数，且xy=6 ，那么适合等式解共个，它们是2 a+b=37,适合等式的非负整数解共 组

18、，它们是3 xyz=6, 写出全部的正整数解有：4 如图线段 af 上有 b ，c，d ，e 四点 ,试分别写出以a ，b ，c， d，e 为一端且不重复的全部线段，并统计总条数；abcdef5. 写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的全部三次单项式；6. 除以 4 余 1 两位数共有几个？7. 从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？8. 把 边长等于4 的正方形各边4 等分，連结各对应点成16 个小正方形，试用枚举法，运算共有几个正方形？假如改为5 等分呢？ 10 等分呢？9. 右图是街道的一部分，纵横各有5 条路，假如从a

19、a 到 b 只能从北向南，从西向东，有几种走法？10. 列表争论不等式ax>b 的解集 .11. 一个正整数加上3 是 5 的倍数，减去3 是 6 的倍数，就这个正整数的最小值是b中学数学竞赛辅导资料（14）体会归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、争论问题的方法叫做归纳法；通过有限的几个特例，观看其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做体会归纳法；例如由 12 1 ，（1 ） 3 1 ，（1 ） 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是1，而1 的偶次幂是 1 ；由两位数从10 到 99 共 90 个（9 × 10 ），三位数从100 到 999 共 9

20、00 个（ 9× 102），四位数有 9× 103 9000 个（ 9× 103），归纳出 n 位数共有9× 10n-1 个由 1+3=22,1+3+5=322,1+3+5+7=4推断出从1 开头的 n 个連续奇数的和等于n2 等；可以看出体会归纳法是猎取新学问的重要手段，是学问攀缘前进的阶梯；2.体会归纳法是通过少数特例的试验，发觉规律，猜想结论，要使规律明朗化，必需进行足夠次数的试验；由于观看产生的片面性，所猜想的结论， 有可能是错误的，所以确定或否定猜想的结论，都必需进行严格地证明；（到高中，大都是用数学归纳法证明）乙例题例1平面内 n 条直线，每

21、两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点，12第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得1 23第 4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得1 2 3第 5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，得1 2 3 4第 n 条直线和前n1 条直线都相交，增加了n1 个交点由此确定 n 条直线两两相交，最多有交点1 2 3n 1（个），这里 n 2，其和可表示为1+（ n+1 ）×n1nn,即221 个交点；例 2符号 n！表示正整数从1 到 n 的連乘积，读作n 的阶乘；例如5！ 1×2× 3× 4×

22、; 5；试比较3n 与（ n+1）！的大小（ n 是正整数）解：当 n 1 时， 3n 3,（ n 1）！ 1× 2 2当 n 2 时， 3n 9，（ n 1）！ 1× 2× 3 6当 n 3 时， 3n 27,（ n 1）！ 1× 2×3× 4 24当 n 4 时， 3n 81,（ n 1）！ 1× 2×3× 4× 5 120当 n 5 时， 3n 243,（ n 1）！ 6！ 720猜想其结论是：当n 1， 2， 3 时， 3n（ n 1）！，当 n>3 时 3n（ n1）！；例 3求

23、适合等式x1+x 2+x 3+x 2003=x 1x 2x 3x 2003 的正整数解；分析：这2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采纳体会归纳法从2 个， 3 个， 4 个直到发觉规律为止；解： x1+x 2=x 1x2 的正整数解是x 1=x 2=2x1+x 2+x 3=x 1x 2x 3 的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x 2+x 3+x 4=x 1x 2x3 x4 的正整数解是x 1=x 2=1,x 3=2,x4=4x1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x2 x3 x4x 5 的正整数解是x1=x 2=x 3=1,x 4=2,x 5

24、=5x1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=x 1x 2x 3x4x5x 6 的正整数解是x 1=x 2=x 3=x 4=1,x 5=2,x 6=6由此猜想结论是：适合等式x1+x 2+x 3+x 2003=x 1x 2x 3x 2003 的正整数解为x 1=x2 =x3=x2001=1,x 2002=2，x2003=2003 ；丙练习 141 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数有个；2 十 进 制 的 两 位 数a1 a2可 记 作10a1 a2, 三 位 数a1 a2 a3记 作100a1+10a2+a3, 四 位 数a1a2 a3 a4记作，

25、n 位数记作3 由 13 23（ 1 2） 2， 13 23 33（ 1 2 3） 2，13 23 33 43（）2 ,13152， 13 23 n3=2；4 用体会归纳法猜想以下各数的结论（是什么正整数的平方） 111110个 12225个 22 （）2； 1112n个 11 222n个 22 （） 2 ； 1119位1 559位56 （）2； 11n位1155n 位56 （）25 把自然数1 到 100 一个个地排下去：1239101199100这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6运算11111121213131411920（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试

26、比较aa+1 和a+1 a 的大小 .8 . 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长8 等分，分成24 个小长方形，那么这24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个；此题假如改为把宽m 等分 ,长 n 等分 m,n 都是大于1 的自然数 那么这 mn 个长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个 9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分，切成64 个小正方体，那么这64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四周都不涂色的有个；此题假如改为把长m 等分 ,宽 n 等分 ,高 p 等分，（ m,n,p 都是大于2 的自

27、然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四周都不涂色的有个；10一个西瓜按横， 纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块；11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，；中学数学竞赛辅导资料（15）乘法公式甲内容提要1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用；公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的仍可以推广到分式、根式；公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法绽开），仍可以由右到左逆用（因式分解），仍要记住一些重要的变形及其逆运算除法等；2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以

28、由此而推导出其他公式；完全平方公式：a± b2=a2± 2ab+b2,平方差公式： （ a+b） ab=a 2 b2立方和（差）公式：a±ba2ab+b2 =a3± b33.公式的推广：多项式平方公式：a+b+c+d22=a +b22+c +d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2 倍；二项式定理：a± b3=a3± 3a2b+3ab2± b3a± b4=a4± 4a3b+6a2b2± 4ab3+b4）（ a± b） 5=a5&#

29、177; 5a4b+10a3b2 ± 10a2b3 5ab4± b5）留意观看右边绽开式的项数、指数、系数、符号的规律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b） a3 a2b+ab2 b3=a4 b4 a+ba4 a3b+a2b2 ab3+b4=a5+b5a+ba5 a4b+a3b2 a2b3+ab4 b5=a 6 b6留意观看左边其次个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数a+ba 2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 ab2n2 b2n 1=a2n b2na+ba 2n a2n 1b+a2n 2b2 ab2n1+b2n

30、=a2n+1+b2n+1类似地：（ a b） an 1n 2n3 2n 2n1nbn+a4.公式的变形及其逆运算b+ab + ab+b=a由（ a+b） 2=a2+2ab+b2得 a2+b2=a+b 2 2ab由 a+b 3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3 +3aba+b得 a3+b3=a+b 3 3aba+b由公式的推广可知：当n 为正整数时an bn 能被 a b 整除 ,a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除 ,a2n b2n 能被 a+b 及 a b 整除；乙例题例 1. 己知 x+y=axy=b求 x2+y 2 x3+y 3 x4+y4 x 5+y 5解： x2+y2

31、 x+y 2 2xy a2 2b x3+y3 x+y 3 3xy（ x+y） a3 3ab x4+y4 x+y 4 4xy（ x2+y 2） 6x 2y2 a4 4a2b2b2y+x x5+y5（ x+y ） x 4 x 32 2 xy 34 +yy=x+y x4+y 4 xyx 2+y 2+x 2 y2=aa44a2b+2b2 ba2 2b+b 2a5 5a3b+5ab2例2.求证：四个連续整数的积加上1 的和，肯定是整数的平方；证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3a 为整数 aa+1a+2a+3+1=aa+3a+1a+2+1=a 2+3aa2+3a+2+1=a2+3a2+

32、2a2+3a+1=a22+3a+1 a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数 a2+3a+1 是整数证毕 例3.求证： 2222 3111 能被 7 整除证明： 2222 3111（ 22） 111 3111 41113111依据a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除，（见内容提要4） 4111 3111 能被4 3 整除 2222 3111 能被 7 整除例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5 的两位数的平方数”的运算规律解：10a+5 2=100a2 +2× 10a× 5+25=100aa+1+25“个位数字为5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个

33、位数字5如： 152=225幂的百位上的数字2=1 × 2，252=6256=2× 3，352=122512=3 × 4452 =202520=4× 5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1 的数的积；丙练习 151 填空： a2+b2=a+b 2 +ba+b 2=a b2+ a3+b3=a+b3 3ab a44=a22+b 2 , a5+b5=a+ba 4+b4 2 填空： a5+b5=a2+b2a3+b 3 x+y =x 4 y4 x y =x 4 y4x+y =x 5+y5（ x y ） =x 5 y 53.运算：552=652=

34、752= 852= 952=4. 运算以下各题，你发觉什么规律111× 19=22× 28= 34× 36=43× 47= 76×74=5.已知 x+=3,求 x2+1 xx2 x 3+1x 3 x 4+ 1的值x46.化简：（ a+b） 2a b2 a+ba2 ab+b2 aba+b 3 2aba2 b2 a+b+ca+b cab+c a+b+c7.己知 a+b=1,求证： a3+b33ab=18.己知2a =a+1，求代数式55a+2 的值a9.求证： 233 1 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的

35、数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长求：大圆面积减去三个小圆面积和的差；abc中学数学竞赛辅导资料（16）整数的一种分类甲内容提要1 余数的定义：在等式a mb r 中，假如a 、b 是整数， m 是正整数，r 为小于 m 的非负整数，那么我们称r 是 a 除以 m 的余数；即：在整数集合中被除数除数×商余数0余数 <除数 例如： 13，0， 1， 9 除以 5 的余数分别是3，0， 4， 1（ 1 5（ 1） 4； 9 5（ 2） 1；）2 明显，整数除以正整数m ,它的余数只有m 种；例如整数除以2，余

36、数只有0 和 1 两种，除以3 就余数有0、1、2 三种；3 整数的一种分类：按整数除以正整数m 的余数，分为m 类，称为按模m 分类；例如：m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作2k , 2k 1（ k 为整数）m=3 时，分为三类，记作3k ,3k+1 ,3k+2 .或 3k , 3k+1 ， 3k 1其中 3k 1表示除以3 余 2；m=5 时，分为五类， 5k . 5k+1 , 5k+2 , 5k+3 , 5k+4 或 5k, 5k ± 1 , 5k±2，其中 5k 2 表示除以5 余 3；4 余数的性质：整数按某个模m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律；

37、举例如下：（ 3k1+1） +3k 2+1=3k 1+k 2+2（余数 1 1 2）（ 4k1+1）4k 2+3=44k 1k2 +3k 1+k2 +3（余数 1× 3 3）（ 5k± 2） 225k 2± 20k+4=55k 2± 4k+4（余数 224）以上等式可表达为：两个整数除以3 都余 1，就它们的和除以3 必余 2；两个整数除以4，分别余1 和 3，就它们的积除以4 必余 3；假如整数除以5，余数是2 或 3，那么它的平方数除以5，余数必是4 或 9 ；余数的乘方，包括一切正整数次幂；如： 17 除以 5 余 2 176 除以 5 的余数是4

38、 （ 26 64）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m；乙例题例 1. 今日是星期日，99 天后是星期几？分析：一星期是7 天，选用模m=7, 求 99 除以 7 的余数解： 99（ 7 2） 9，它的余数与29 的余数相同，29（ 23） 3 83（ 7 1） 3 它的余数与13 相同， 99 天后是星期一；又解：设 a 表示 a 除以 7 的余数，99（ 72） 9 29 83（ 7 1）3 13 1例 2. 设 n 为正整数，求43 n+1 除以 9 的余数；分析：设法把幂的底数化为9k r 形式解： 43 n+1 4× 43n=4× 43n=4×

39、（ 64）n 4× 9× 71 n9× 7 1n 除以 9 的余数是1n=1 43 n+1 除以 9 的余数是4；例 3. 求证三个连续整数的立方和是9 的倍数解：设三个连续整数为n 1,n,n+13m=n 1 +n3+n+13=3nn2+2把整数 n 按模 3，分为三类争论；当 n=3k（k 为整数，下同）时，m 3× 3k 3k 2+2 =9k9k 2+2当 n=3k+1 时，m 3（ 3k+1 ）3k+1 2 +2 3（ 3k+1） 9k 2+6k+3=93k+13k 2+2k+1当 n=3k+2 时，m 3（ 3k+2 ）3k+2 2 +2 3（

40、 3k+2） 9k 2+12k+6 93k+23k 2+4k+2对任意整数n， m 都是 9 的倍数； 例 4. 求证：方程x 2 3y2=17 没有整数解证明：设整数x 按模 3 分类争论，=17,33k当 x 3k 时，（ 3k） 2 3y22 y2=17当 x=3k ± 1 时，（ 3k± 1） 2 3y2=1733k2± 2k y 2=16由左边的整数是3 的倍数，而右边的17 和 16 都不是 3 的倍数，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17 没有整数解例 5. 求证：不论n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被5 整除 证明：把n 按模 5

41、分类争论，当 n=5k 时， n2+n+1=5k 2+5k+1=55k 2+k+1当 n=5k ±1 时， n2+n+1（ 5k±1） 2 5k± 1 1 25k2±10k+1+5k ± 1 15（ 5k2± 2kk ） 2±1当 n=5k ±2 时， n2+n+1（ 5k± 2） 2 5k± 21 25k2±20k+4+5k ± 2 15（ 5k2± 4k+k+1 ）± 2 综上所述，不论n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被 5 整除又证： n2+n

42、+1 nn+1+1 nn+1 是两个连续整数的积，其个位数只能是0， 2， 6 n2+n+1 的个位数只能是1， 3， 7，故都不能被5 整除；丙练习 161.已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3ka,b,c,k 都是整数 填写表中各数除以3 的余数；a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b52.376÷ 7 的余数是天是星期几？1113今日是星期日，第2 天是星期一，那么第24已知 m,n 都是正整数，求证：3nmn2+25. 已知 a 是奇数但不是3 的倍数，求证：24（a2 1）（提示 a 可表示为除以6 余 1 或 5，即 a=6k± 1）一二三四

43、五123487659101112161514136 把正整数按表中的规律排下去，问100将排在哪一列？答：7 已知正整数n 不是 4 的倍数求证： 1n 2n3n 4n 是 10 的倍数8. 任给 5 个整数，必能从中找到3 个，其和能被10 整除，这是为什么？9 对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是3 的倍数，试说明理由；10任意10 个整数中，必有两个,它们的差是9 的倍数；这是为什么？假如改为任意n 1个，就必有两个,它们的差是n 的倍数，试说明理由；11.证明x 2+y 2-8z=6 没有整数解（ 1990 年德化县中学数学竞赛题）12.从 1 开头的正整数依次写下去，直到第

44、198 位为止即1234198位那么这个数用9 除之，余数是（ 1987 年全国中学数学联赛题）内容提要中学数学竞赛辅导资料（17） 奇数偶数1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2 整除的整数是偶数，如2， 02，不能被2 整除的整数是奇数，如1， 1， 3；假如 n 是整数，那么2n 是偶数， 2n 1 或 2n+1 是奇数；假如n 是正整数，那么2n 是正偶数， 2n-1 是正奇数；2 奇数、偶数是整数的一种分类；可表示为：奇数整数或 整数集合偶数奇数集偶数集这就是说， 在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，假如既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数；3 奇数偶数的运算性质：

45、奇数±奇数偶数，奇数±偶数奇数，偶数±偶数偶数 奇数×奇数奇数奇数×偶数偶数，偶数×偶数偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数；例题例1求证：任意奇数的平方减去1 是 8 的倍数证明：设k 为整数，那么2k1 是任意奇数，（2k 1） 2 1 4k2 4k 1 1 4kk 1 kk 1是两个連续整数的积，必是偶数 4kk 1是 8 的倍数即任意奇数的平方减去1 是 8 的倍数例2已知：有n 个整数它们的积等于n，和等于0求证： n 是 4 的倍数证明：设n个整数为x1,x2,x3,xn根据

46、题意得x1 x2 x3xnnx1x2x3xn0假如 n 为正奇数，由方程（ 1）可知 x 1,x2,x3,x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以 n 肯定是偶数；当 n 为正偶数时，方程（1）左边的 x 1,x2,x3,x n 中，至少有一个是偶数，而要满意方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2 个；所以 n 是 4 的倍数；例 3 己知： a,b,c 都是奇数求证：方程ax2+bx+c=0 没有整数解证明：设方程的有整数解x ，如它是奇数，这时方程左边的ax2 ，bx，c 都是奇数，而右边 0 是偶数，故不能成立；如方程的整数解x

47、是偶数，那么ax2,bx, 都是偶数， c 是奇数，所以左边仍旧是奇数，不行能等于0；既然方程的解不行能是奇数，也不能是偶数，方程 ax2+bx+c=0 没有整数解以上的证明方法是反证法例 4 求方程 x 2 y 2 60 的正整数解解： x+yx y=60，60 可分解为： 1× 60， 2× 30，3× 20，4× 15， 5× 12， 6×10左边两个因式 x+y ， x y 至少有一个是偶数因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0, 适合条件的只有两组xy30xy2xy10xy6x 16x8解得y 14y2方程 x2 y2 60 的正整数解是x 16x8y 14y2练习 171 挑选题设 n 是正整数，那么n2+n-1 的值是（）（a ）偶数（ b）奇数（ c）可能是奇数也可能是偶数求方程85x 324y=101 的整数解，以下哪一个解是错误的？（）x（ a