初中数学一元二次方程总复习知识点梳理2

1、一元二次方程总复习考点 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程一般形式： ax2 bx+c=0a 0）； 留意： 判定某方程是否为一元二次方程时，应第一将方程化为一般形式；考点 2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如x+a ） 2=b（ b 0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法；x+a=bx1=-a+bx2 =-a-b2.配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2 bx+c=0k 0）的一般步骤是： 化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配方，

2、即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为x+a ）2=b 的形式；假如b 0 就可以用两边开平方来求出方程的解；假如b 0，就原方程无解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二b2次方程的求根公式是xbb4ac 2a2 4ac 0；步骤：把方程转化为一般形式；确定a，b， c 的值；求出b2 4ac 的值，当 b2 4ac 0 时代入求根公式；4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论依据：如ab=0， 就 a=0 或 b=0 ；步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，

3、得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法；5一元二次方程的留意事项： 在一元二次方程的一般形式中要留意，强调a 0因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应留意：先化方程为一般形式再确定a， b， c 的值；如b2 4ac 0，就方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能任凭约去含有未知数的代数式如2x 4 2=3（ x 4）中，不能任凭约去x 4； 留意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特殊要求外）但又必需娴熟把握，解一元二次方程的一般次序是：开平方法因式分解法公式法

4、6一元二次方程解的情形 b2 4ac 0方程有两个不相等的实数根； b2 4ac=0方程有两个相等的实数根； b2 4ac 0方程没有实数根；解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往第一考虑用b2 4ac 解题；主要用于求方程中未知系数的值或取值范畴；考点 3：根与系数的关系 :韦达定理bc22对于方程ax2bx+c=0a 0）来说， x1 +x2 = a ， x1 x2=a ；2利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 x1x2 x1x2 2 x1 x211x1x2x1x2x1 x2；解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根

5、或未知系数时，可以用韦达定理；二、经典考题剖析：【考题 1 1】以下方程是关于x 的一元二次方程的是（）a ax2bx+c=0b. k2 x 5k+6=01c. 3x2 2x+ x=0d. k2 3 x2 2x+1=0【考题 1 2】解方程： x2 2x 3=0【考题 1 3】（2021、青岛， 6 分）已知方程5x2+kx 10=0 一个根是 5，求它的另一个根及k 的值三、针对性训练：1、以下方程中，关于x 的一元二次方程是（）2a.3x12x1b. 11202xyc. ax2bxc0d. x 22xx 2 12、如2x23与2x4互为相反数，就 x的值为a 12b 、2c、±

6、2d、± 123、用配方法解以下方程时，配方有错误选项（）a.x2-2x-99=0化为 x-12=100b.x2+8x+9=0化为 x+42=25tc.2t2-7t-4=0 化为7 281416 yd.3y2-4y-2=0化为2 210394、关于 x 的一元二次方程m1x2xm 22m30 的一个根为x=0 ，就 m 的值为（） a m=3 或 m= 1b m= 3 或 m= 1 c m= 1d m= 35、2021 济南 如 x1 ， x2是方程 x25x+6=0 的两个根，就x1 +x2 的值是（）a .1b.5c. 5d.616、2021 眉山 如 x1 ， x2是方程 x2

7、3x 1=0 的两个根，就x11x2 的值为（）1a.3b. 3c. 31d 3xx227、2021 潍坊 如 x1 ， x2是方程 x26x+k 1=0 的两个根，且1224 ，就 k 的值为（）a.8b. 7c.6d.528、2021 成都 如关于 x 的方程 kx 2x 1=0 有两个不相等的实数根，就k 的取值范畴是（）a.k 1b. k 1 且 k 0c. k 1d. k 1 且 k 09、已知一元二次方程x 2+2x 8=0 的一根是2，就另一个根是 .10、2021 泰安 如关于 x 的方程 x 2+（ 2k+1 ）x+2 k 2 =0 有实数根，就k 的取值范畴是 211、解方

8、程： 1 22 x332;23y y12 y1 ;3 34x2 9 2x 3=0;4 x2 6x+8=0k212、 2021 鄂州 关于 x 的方程 kx+k+2x+4 =0 有两个不相等的实数根，1求 k 的取值范畴；2是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？如存在求出k 的值；不存在说明理由；考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a1± x）2=b ，其中 a 表示增长（降低）

9、前的数据，x 表示增长率（降低率） ， b 表示后来的数据；留意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1； 经济利润问题：总利润=（单件销售额单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额总成本； 动点问题：此类问题是一般几何问题的延长，依据条件设出未知数后，要想方法把图中变化的线段用未知数表示出来，再依据题目中的等量关系列出方程；2留意解法的挑选与验根：在详细问题中要留意恰当的挑选解法，以保证解题过程简洁流畅，特殊要对方程的解留意检验，依据实际做出正确取舍，以保证结论的精确性二、经典考题剖析：c【考题 1】（2021、深圳南山区） 课外植物小组预备利用学校仓库旁的一块空地，开创一个面

10、积为130 平方米的花圃（如图12 1），准备一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33 米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为x 米，就另一边长为332 x 米，依题意得x 332x130，2 x233 x13x1300 x11022又当x110 时，332 x13x132当2 时，x13332x20 152 不合题意，舍去x10答：花圃的长为13 米，宽为10 米【考题 2】（ 2021、襄樊）为了改善居民住房条件，我市方案用将来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 平方米提高到12.1 平方米，如每年的增长率相同，就年增长率为（） a.9 b.10c.

11、 11d.12 解：设年增长率为x，依据题意得2101+x=12.1 ，解得 x1=0.1 ， x2 = 2.1由于增长率不为负，所以x=0.1 ；应选 d ；【考题 3】（2021、海口） 某水果批发商场经销一种高档水果假如每千克盈利10 元，每天可售出500千克，经市场调查发觉，在进货价不变的情形下，如每千克涨价1 元，日销售量将削减20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得500 2 0 x （10+x ） =6000整理，得x 2 15x 50=0解这个方程，x 1 =5， x 2 =10 要

12、使顾客得到实惠，应取x=5 答：每千克应涨价5 元点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应依据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情形【考题 4】如图， 在 abc 中， b=90°，ab=5 ，bc=7 ，点 p 从 a 点开头沿ab 边向点 b 点以 1cm/s的速度移动，点q 从 b 点开头沿bc 边向点 c 以 2cm/s 的速度移动 .（ 1）假如点 p、 q 分别从 a 、b 两点同时动身，经过几秒钟，pbq 的面积等于4？（ 2）假如点 p、 q 分别从 a 、b 两点同时动身，经过几秒钟，pq 的长度等于5？cqbpa解：（ 1）设经过x 秒钟， pbq

13、 的面积等于4， 就由题意得ap=x ， bp=5 x ， bq=2x,11由 2 bp· bq=4 ，得 2（5 x）· 2x=4，解得， x 1 =1，x 2 =4当 x=4 时， bq=2x=8 7=bc ，不符合题意；故x=1222222（ 2）由 bp+bq=5得（ 5 x ）+（ 2x）=5,解得 x1=0 （不合题意） ， x2=2 所以 2 秒后， pq 的长度等于5； 三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三廉价0 5 元，结果小明的妈妈只比上次多花了2 元钱，却比上

14、次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发觉：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元；为了迎接“十·一”国庆节，商场打算实行适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快削减库存；经市场调查发觉：假如每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8 件；要想平均每天在销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条相互垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540 米 2，道路的宽应为多少？20m32m4小红的妈妈前年存了5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年

15、到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5如图 12-3 ， abc 中， b=90 °，点 p 从 a 点开头沿ab 向点 b 以 1cm/s 的速度移动，点q 从b 点开头沿bc 边向 c 点以 2cm/s 的速度移动；（ 1）假如 p、q 分别从 a 、b 同时动身，经几秒钟，使abq 的面积等于8cm2.2 假如 p、q 分别从 a、b 同时动身，并且p 到 b 后又连续在bc 边上前进， q 以 c 后又连续在ac边上前进，经几秒钟，使pcq 的面积等于12.6 cm2 ；1解：依题意，得：2（ 6-x）·

16、2x=8解这个方程得：x1=2 ，x2=4即经过 2s，点 p 到距离 b 点 4cm 处，点 q 到距离 b 点 4cm 处；经过4s，点 p 到距离 b 点 2cm 处，点 q 到距离 b 点 8cm 处；故本小题有两解；（ 2）设经过 x 秒，点 p 移动到 bc 上， 且有 cp=（ 14-x）cm, 点 q 移动到 ca 上，且命名 cq=（ 2x-8 ） cm，过 q 作 qd cb 于 d ； cqd cab ，qd 2x8ab6 2x8ac ，即 qd=10；16 2x8依题意，得：2 （ 14-x ）·10=12.6，解这个方程得：x1=7 ，x2=11经过 7s，

17、点 p 在 bc 距离 c 点 7cm 处，点 q 在 ca 上距离 c 点 6cm 处，使 s pcq=12.6cm2经过 11s，点 p 在 bc 距离 c 点 3cm 处，点 q 在 ca 上距离 c 点 14cm 处，14 0,点 q 已超出ca 范畴，此解不存在；故此题只有一解；中考真题1.钟老师出示了小黑板上的题目如图 1 2 2）后，小敏回答： “方程有一根为1”，小聪回答： “方程有一根为2”就你认为（）a 只有小敏回答正确b只有小聪回答正确 c两人回答都正确d两人回答都不正确2.解一元二次方程x 2 x 12=0，结果正确选项（）a x 1 = 4， x 2 =3b x 1

18、=4， x 2 = 3c x 1 =4， x 2 = 3d x 1 =4，x 2 =33.方程x x3x3 解是（）a x 1 =1b x 1 =0 ， x 2 = 3c x 1 =1，x 2 =3d x 1 =1， x 2 = 3 4.如 t 是一元二次方程ax 2 bx+c=0a 0）的根，就判别式 =b 2 4ac 和完全平方式m=2at+b 2的关系是（）a =mb mc md 大小关系不能确定5.方程2x x10的根是（）a 0b 1c 0， 1d 0，126.已知一元二次方程x 2x 7=0 的两个根为x 1 ， x 2 ，就 x 1 + x 2 的值为（）a 2b 2c 7d 7

19、7.已知 x1 、x是方程 x 2 3x 1 0 的两个实数根，就12x11的值是 x21a 、3b 、 3c、 3d 、18.用换元法解方程x 2 x 2 x 2 x 6 时，假如设x 2 x y，那么原方程可变形为（）a 、y 2 y 6 0b 、y 2 y 6 0c、y 2 y6 0d、 y 2 y 6 09.方程 x2 5x=0 的根是（）a 0b 0， 5c 5， 5d 510.如关于 x 的方程 x2 2x k=0 有实数根，就（）1212a k 1， b k 1c k 1d k 1 11.假如一元二次方程x 2 4x 2 0 的两个根是x， x，那么 x x等于（） a.4b.

20、4c.2d. 212.用换元法解方程x 2 x x 2x 6 时，设x 2xy，那么原方程可化为（）a. y2 y 6 0b.y 2 y 6 0c.y2 y 6 0d.y 2 y 6 02 +3x-2=0 的两个根，就x13.设 x 1 ， x 2 是方程 2x1 x 2 的值是22a -3b 3c 3d 314.方程 x 3 -x=0 的解是（）a 0， 1b 1， -1c0， -1d 0， 1， 1x25 x40时，如设x=y, 就原方程15.用换元法解方程x1x1x+1_16.两个数的和为6，差（留意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是 17.方程 x2 x=0 的解是 18.等

21、腰 abc 中，bc=8 ， ab 、bc 的长是关于x 的方程 x 2 10x+m= 0 的两根，就 m 的值是 .19.关于 x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0 的两个根同号，就a 的取值范畴是 .20.解方程2x2 -9x+5=x-321.解方程： x 3 2x 2 3x 0.22.解方程组：y=x+1x 2 +y 2 =5223.解方程： 2（x 1）+5（ x l ） +2=024.解方程： x 2 2x 2=025.解方程： x 2+5x+3=026.已知关于x 的一元二次方程x2 k1x60 的一个根是2，求方程的另一根和k 的值27.已知关于x 的一元二次方程 k4 x

22、23xk 23k40 的一个根为0，求 k 的值28.如图 1 23 为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2 在长方形的顶点处，就长方形的长为 厘米（此题用到三角函数）中考猜测题一、基础经典题 44 分 一挑选题 每题 4 分，共 28 分 【备考 1】假如在 1 是方程 x 2 +mx 1=0 的一个根，那么m 的值为（）a 2b 3c 1d 2【备考 2】方程 2 x x35 x3 的解是（）12x3b.x5c.x3, x5d.x3a 222【备考 3】如 n 是方程 xmxn0 的根， n 0，就 m+n 等于（）a 7b 6c 1d

23、12【备考 4】关于 x 的方程 xmxn0 的两根中只有一个等于0，就以下条件中正确选项（）a m 0， n 0b m 0， n 0 c m 0， n = 0d m0， n 0【备考 5】以 5 26 和 5+26 为根的一元二次方程是（）ax210 x10b x210 x10c x210x10d x 210 x10【备考 6】已知x1，2 x 3=0 的两根，x2 是方程 xx2那么1x2 值是（）249a 1b 5c 7d、 42【备考 7】关于 x 的方程1 x24m3xm0有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（）a 2b 1c 0d l（二）填空题（每题4 分，共 16 分）1212【备考 8】已知一元二次方程x 2 3x+1=0 的两个根为x，x那么（ 1+ x）（1+ x）的值等于 .【备考 9】已知一个一元二次方程x 2 +px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，就 p 的值是 .【备考 10】如图，在 abcd 中， ae bc 于 e，ae=eb=ec=a ，且 a 是一元二次方程x 2 +2x 3=0的根，就 abcd 的周长是